辅助函数在数学中的应用.doc

重庆三峡学院毕业设计（论文） 题目：辅助函数在数学中的应用 专 业： 数学与应用数学（师范） 年 级： 2012级 学 号: 姓 名： 指导老师: 完成时间: 2016年5月12016届数学与应用数学（师范类）毕业设计（论文）目录 摘要.IAbstract.1引言12 辅助函数在数学解题中的应用12.1 辅助函数在极限计算中的应用12.2 辅助函数在近似计算中的应用32.3 辅助函数在积分计算中的应用32.4 辅助函数在求函数表达式中的应用43 辅助函数在数学证明中的应用43.1 辅助函数在证明不等式中的应用43.1.1 利用函数的单调性证明不等式53.1.2 利用拉格朗日中值定理证明不等式63.1.3 利用函数的凸凹性证明不等式73.1.4 利用泰勒公式证明不等式93.2 辅助函数在证明恒等式中的应用103.3 辅助函数在讨论方程的根中的应用124几种常用构造辅助函数的方法134.1 微分方程法构造辅助函数134.2 常数分离法构造辅助函数144.3 待定系数法构造辅助函数155 结束语16致谢16参考文献16辅助函数在数学中的应用李春花重庆三峡学院数学与统计学院数学与应用数学专业2012级 重庆万州404000 摘要 在解决数学问题的时候，我们会运用很多办法，其中最常用的一个方法就是构造辅助函数法。这种方法看似没有什么捷径，但是我们只要细细研究还是可以找到一般规律和基本方法.在数学中学会引入辅助函数,可以很简便地解决一些证明问题, 常可使论证过程简洁明了,用好辅助函数法能起到事半功倍的效果。所以，在日常教学中应重视这种思想方法的引导和渗透 ,多加训练,归纳总结,使学生切实掌握, 这不仅可以提高学生的解题能力,也可以进一步提高学生的数学素质,培养数学能力，对培养学生的发散性思维也有重要作用。 本文则主要通过各种实例探讨了利用构造辅助函数法在数学解题中的应用、在数学证明中的应用、并简要介绍几种常用构造辅助函数的方法.因此，本课题对辅助函数的构造方法及其在数学中的应用的综合性研究具有十分重要的意义。关键词 辅助函数 不等式 恒等式 极限计算 方程的根 微分方程法 Application of auxiliary function in MathematicsLi Chun-huaSchool of mathematics and statistics, Chongqing Three Gorges University, mathematics and Applied Mathematics (normal) professional level 2012 Wanzhou Chongqing 404000 Abstract In solving mathematical problems, we will use a lot of ways, one of the most commonly used method is to construct the auxiliary function method. Seemingly there is no easy way to this approach, but we as long as careful study can still find the general rules and basic methods. By introducing auxiliary function in middle school mathematics, can easily solve some proof, often can make the argument is clear and concise, make good use of the method of auxiliary function can play a multiplier effect. So in the daily teaching should pay attention to the thought and method of guiding and penetration, more training, summarized, enable the students to master, which can not only improve the students ability of solving problems, can also further improve the quality of students in mathematics, mathematical ability culture, also has an important role in cultivating students divergent thinking. This paper is mainly through various examples discusses the application in solving mathematical problems by the method of constructing auxiliary functions, application in mathematical proof, and briefly introduces several common construction of auxiliary function method. Therefore, the subject of auxiliary function construction method and its application in mathematics comprehensive research has very important significance.Key words Auxiliary function inequality identity limit calculation Root of equation Differential equation methodII1引言 在解决数学问题的一个非常重要的手段就是构造辅助函数法，这是一种间接的求法。一般的做题步骤就是，仔细阅读题目，先理解题目已知的条件，然后利用条件对所求的问题进行证明或者计算。而有的时候我们直接通过已知条件对问题进行求解会觉得很困难，不好求，怎么办？这个时候就需要我们想到利用构造恰当的辅助函数，将所求的问题进行转化，将不好直接求解的数学问题转化为好求解、好证明的数学问题. 可能有人会觉得构造辅助函数的推理过程比较简单,但是对于大多初学者来说感到很晦涩难懂.所以在实际教学环境中教师应更加重视构造辅助函数的思想方法的引领并举出具体实例,多加练习,多加总结.这不仅能够提高学生的计算、证明能力 ,也可以进一步增强学生对数学知识学习的兴趣.本文通过计算极限，计算积分，证明不等式，证明存在性问题等，通过各种实例探讨，对构造辅助函数法进行整理，希望对以后的教学有积极地意义.2 辅助函数在数学解题中的应用 构造辅助函数法就是指在原有问题的基础上根据已知条件，将一些比较难的问题通过引入常见、容易求的辅助函数，通过间接地求法，将原有的问题变为求辅助函数问题，再通过求解出的辅助函数的结果间接地求出原问题的方法。这种方法在我们的解题中会经常运用到，所以要引起重视。 2.1 辅助函数在极限计算中的应用 我们做极限计算的题时，如果遇到了该题带有离散型随机变量，由于离散型随机变量我们不好求，这个时候就容易想到用构造辅助函数方法，将离散型随机变量变得离散变量连续化，然后再用求极限的方法计算该题。例1 求分析 本题要求极限，则需要构造函数 再利用求函数极限的方法进行.解 构造函数，则有，因此 所以有 第0页 共17页 例2 若，求数列的极限.分析 本题是求函数构造在数列极限解题中的应用，想要求的极限，根据迫敛性，则需要找到的确切范围，因此只需找出的范围进，而构造一个关于的函数解 构造数列，有故数列是单调递减函数，首项为最大，对，有，则 ，同理 ，所以 ，而 所以 . 例3 求解 由于 ，而 在0,1上连续，故可积.于是有 2.2 辅助函数在近似计算中的应用例1 求的近似值分析 要求的值，也就是需要求该函数当等于的时候的函数值，顺着这个思路，不难想到用构造辅助函数法来求解，再利用前面所学的公式，就可以求出的近似值.解 作函数，设，这里，因为，即，所以 的近似值是2.3 辅助函数在积分计算中的应用 当我们在做比较复杂的积分计算题的时候，直接去计算不好求，这个时候就容易想到构造辅助函数，通过先求构造的辅助函数的解，然后再去求解原函数的解。那么再难的积分计算题，只要用对方法，也就好求解了。例1 计算.解 作辅助函数，则，且和 在(上连续满足积分号下求导数条件 又因为 所以有 2.4 辅助函数在求函数表达式中的应用例1 已知函数在内满足关系式： 且,求分析 此题由, 很容易想到有可能,故构作辅助函数,再根据条件证明 即可.解 作辅助函数 ，则 .因为，所以，即.令可以得到 所以，即函数的表达式为.3 辅助函数在数学证明中的应用3.1 辅助函数在证明不等式中的应用我们用构造辅助函数的方法证明不等式，一般常见的方法有：利用函数的单调性证明不等式；利用拉格朗日中值定理证明不等式；利用函数的凸凹性证明不等式；利用最值证明不等式；利用泰勒公式证明不等式.3.1.1 利用函数的单调性证明不等式例1 证明 当时, 分析 根据题意，我们可以利用“求差”法构造辅助函数 ，.这时可以将要证明的结论变成证明，又因为.则我们只需要证明当时，有.证明 令 ，则 ，又由于，所以，即 .也就是说 例2 设函数在上连续且单调减少,证明：对于任意,均有 .分析 直接证明该不等式比较难,通过观察法，发现由于定积分的上限变化导致不等号的变化,因此可以想到用变上限积分的方法来构造辅助函数,最后根据导数来确定该辅助函数的单调性的方法来证明此不等式.证明 令 ,则 .因为在上单调减少,所以当时,；当时,故在上单调减少,于是对于任意的,有,即,亦即. 用辅助函数法证明不等式最常用的方法就是作差法，具体步骤是将不等号进行移项，即右边的式子移到左边，变成一个减法式，也就是说右边等于零，则接下来就是要证不等号左边减法式的单调性，证出了单调性，则该题也就解决了.例3 当，证明证明 我们做辅助函数当时,因此，在时是增函数，而在处连续，并且所以 这样，原不等式证毕.3.1.2 利用拉格朗日中值定理证明不等式 我们有时候解题时，会遇到含有常值不等式或函数不等式的题，通过恒等变形，有时会出现函数差值与自变量之差之比，这符合我们学习的拉格朗日定理的形式，所以我们应考虑用拉格朗日定理证明该不等式。例1 设，求证.证明 设，在使用拉格朗日中值定理，存在,使得 也就是 需要证明 利用单调性 令 ，所以 在内单调递减，则可得 ，也就是 ，即，所以有 ，故有 例2 设 ，证明：. 证明 当 时，上述不等式为等式.当时，令，.由于在区间上连续，在内可导，根据拉格朗日中值定理知，使得 ， 于是，即 .例3 证明不等式 ，.证明 令，则有在区间上是连续的，又开区间内可导，则由前面学习的拉格朗日中值定理可以知道，有，又因为，于是，即.3.1.3 利用函数的凸凹性证明不等式定理 若在区间严格上凹，则对,且恒有;若在区间严格上凸，则对，且恒有.例1 已知 求证证明 令 则,所以在内严格上凹,所以对，有 也就是 所以有 .例2 证明证明 作辅助函数,且记则从而知,即在上是凹函数,对于区间类似推知,则 例3 如果均为正数，那么证明不等式成立.证明 设,由可见在时为严格凸函数.由不等式有,从而,即,又因 , .3.1.4 利用泰勒公式证明不等式例1 设在上单调增加，且，证明.证明 对，在处的泰勒公式为 ,介于与之间.因为,所以,将,分别带入得 ,.上述两式相加得,.再将上式两边同时对在上求定积分得, .故. 例2 设函数在上二阶可导，且，试证存在一点，使得.证明 在，处使用泰勒公式得取，因为，所以，,从而.取,且.故有3.2 辅助函数在恒等式中的应用例1 设在上连续，在内可导，且，则至少存在一点，使得分析 我们先把看成变量，由于结论可转化为即 显然其通解为把常数变成一个关于的函数我们就得到一个辅助函数，证明 做辅助函数 那么 又由于已知条件我们可以得到并且若时，则那么就有 若时，那么一定存在使得 又在上是连续的，可得到一定两个点， 则当在区间上时，我们可以用罗尔定理，即至少一点使得即 例2 证明 ,证明 令,则. 当时，. 故在内，.令，则 故，所以在内，. 又，所以当时,.例3 证明 证明 当时，等式显然成立. 当时，设，则在区间内可导且，所以在区间上， 又因为，从而 .故在区间上恒有 .3.3 辅助函数在讨论方程的根中的应用 要求方程的根，也就是要求函数的零点，而求函数的零点，运用最多的方法就是利用构造辅助函数法，然后再根据我们学习的相关定理来解决问题。例1 已知在上非负连续，且，求证：对任意的实数必存在，使得，且.分析 此题要证，即可证，由题意可以构造辅助函数，辅助函数在处的值为0，于是该题就可以证明了.证明 作辅助函数，有 又因为 而在上连续，由介值定理知，也即是说，使得，即 证明完毕. 例2 设是定义在上的函数，证明：的任何两相异根之间必有的一个根，其中.证明 设 为的两个不相同的根，不失一般性，我们可以设.令则在上可导，且显然， 根据拉格朗日中值定理知，使得即 为的一个根.例3方程证明方程至少有一个正根且不超过.分析 由题意构造辅助函数且辅助函数在上是连续的，如果我们可以得出不同号，那么就可以得到，也就是说是方程的根并且小于.证明 设在上连续，则显然 现在我们讨论，若时，即 则方程有一个正根为另一种情况，若即则符合介值定理条件，则存在一点，使得那么就是方程的根，综上所述，方程至少有一个正根且不超过，证毕.4几种常用构造辅助函数的方法4.1 微分方程法构造辅助函数 用微分方程法来构造辅助函数，即是证明至少一点，的中值问题.也就是说将问题中的变成，这样可以得到一个一阶微分方程，然后求出一阶微分方程的通解，再解出一阶微分方程通解中的任意常数，即要构造的辅助函数就是该一阶微分方程. 例1 设函数在闭区间上可微且满足，求证在内至少存在一点，使得.证明 由题意可得，将变成，,那么求解的解微分方程的通解是，可以构造辅助函数,有积分中值定理，至少存在一点,可得到 ,又因为 ，从而有 ，即至少存在一点，使得，又有. 由罗尔中值定理，至少存在一点，使得，即，得到. 4.2 常数分离法构造辅助函数 例1 设，在上连续，在内可导，证明：至少存在一点，使得.分析 这里常数部分已经分离出来，可以令，将其变形为，等式两边关于端点对称，这是可以做 .证明 构造辅助函数，那么在区间上是连续的，在区间内是可导的，并且，所以我们可由学习的罗尔中值定理，得到至少， 从而有 ，故 .上面例题构造辅助函数的步骤为： 将问题中的常数部分设为； 进行变形，使等式一端为及的代数式另一端为及的代数式； 分析关于端点的表达式是否对称或轮换对称式.若是对称的，则可以把换成,改成 ，那么换变量后的端点表达式，就是我们所求的辅助函数.4.3 待定系数法构造辅助函数 用待定系数法来构造辅助函数，相对与前面讲的两种方法，这种方法要复杂一些，计算也比较复杂一点，需要我们计算要正确，做题要仔细，不能过于急躁。这种方法要求我们自己设未知变量，然后把待定系数求解出来，再求解出我们构造的辅助函数。 例1 设在上存在，且则使得 (1)证明 令(1)式左边为,即可证令 （其中，为待定常数）.由有解得 由(2)式和(3)式解出为(1)式的左边 ,由此可见只要选取满足(2)式或(3)式, 而任意,则有在 上满足 Rolle 定理.故存在使得存在，使得而在上满足Rolle 定理，则使得除了上面介绍的3种方法，我们在实际解题时还会经常用到其他方法。因此，这就要求我们在解相关题目时，需要灵活的选择构造辅助函数的方法，并加以运用，来提高我们的解题速度与准确率。5 结束语 经过两个多月的不懈努力，我完成了我的毕业设计论文辅助函数在数学中的应用.记得在刚开始看到这个论文题目的时候，真的是不知如何着手，因为辅助函数在我心中是抽象的.通过图书馆书阅相关书籍，知网中查阅相关文献，结合自己的认识理解，归纳总结，完成了毕业论文的设计.毕业设计加深了我对辅助函数的理解，增强了搜索资料，整理资料的能力，清楚了论文格式的要求.本文结合具体的实例，介绍了辅助函数在某些数学解题中的应用、辅助函数在数学证明中的应用以及辅助函数的几种常用构造方法.在毕业论文的设计过程中，我深刻明白学习数学知识仅仅知道理论是不够的，还须将它运用于实践，让数学理论与生活实际相结合,发挥出其美丽的光芒!在完成论文设计的过程中，一开始对论文题目充满迷茫，对辅助函数的思想、应用了解比较肤浅，我开始上网查阅资料，阅读相关内容，头脑中模糊无需的概念逐渐清晰有序.我深深体会要完成一件复杂的工作，要有系统科学的思维方式和方法，对于需要解决的问题，不可急躁、利用已有的资源并且寻找未知的资源.万事开头难，面对新事物，一定要从整体考虑,大局出发，一步一个脚印的完成,不能急功近利.致谢语 时光如流水，大学四年的学习生活即将结束，而我快要踏入进入社会工作的旅程.四年的