2010年高考六大题型初探三角函数.doc

高考六大题型初探-三角函数一、 考纲要求：（1）任意角的概念、弧度制 了解任意角的概念。 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。 （2）三角函数 理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 能利用单位圆中三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出的图象，了解三角函数的周期性。 理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间内的单调性。 理解同角三角函数的基本关系式： 了解函数的物理意义；能画出的图象，了解参数A，对函数变化的影响。 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。二、 知识整合：1、 基本知识：1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。要注意把握角概念的中心词“旋转”！旋转就有两个要素：旋转量与旋转方向，一个角是否确定关键是看这两个要素确定了没有，有一个要素不确定，这个角就不是确定的角。2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。注意：象限角只给出角的终边位置，跟角的大小无关。3. 终边相同的角的表示： （1）终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是，合弧度。（2）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上) .（3）终边与终边关于轴对称.（4）终边与终边关于轴对称.（5）终边与终边关于原点对称.（6）终边在轴上的角可表示为：；终边在轴上的角可表示为：；终边在坐标轴上的角可表示为：.如的终边与的终边关于直线对称，则_。4、与的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若是第二象限角，则是第_象限角5.弧长公式：，扇形面积公式：，1弧度(1rad). 如已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么，。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。如（1）已知角的终边经过点P(5，12)，则的值为。（2）设是第三、四象限角，则的取值范围是_.（3）若，试判断的符号7.三角函数线的特征是：正弦线MP“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线OM“躺在轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点处(起点是)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如（1）若，则的大小关系为_（2）若为锐角，则的大小关系为_ ,（3）函数的定义域是_,8. 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系： （2）商数关系：同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如（1）函数的值的符号为_ ,（2）若，则使成立的的取值范围是_ ,（3）已知，则_ ,（4）已知，则_ ；_ _;（5）已知，则等于A、B、C、D、（ ）；（6）已知，则的值为_ 。9.三角函数诱导公式（）的本质是：奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,；(2)转化为锐角三角函数。如（1）的值为_ ；（2）已知，则_ _，若为第二象限角，则_ _。10、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：如（1）下列各式中，值为的是 （ ） A、 B、C、D、；（2）命题P：，命题Q：，则P是Q的 （ ）A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件；（3）已知，那么的值为_ ；（4）的值是_ _；(5)已知，求的值（用a表示）甲求得的结果是，乙求得的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是_ ;12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如，等），如（1）已知，那么的值是_ ；（2）已知，且，求的值；（3）已知为锐角，则与的函数关系为_ ；(2)三角函数名互化(切割化弦)，如（1）求值；（2）已知，求的值；(3)公式变形使用（。如（1）已知A、B为锐角，且满足，则_；(2)设中，则此三角形是_ _三角形；(4)三角函数次数的降升(降幂公式：，与升幂公式：，)。如(1)若，化简为_ ；（2）函数的单调递增区间为_(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如（1）化简 ；（2）求证：；（3）：化简(6)常值变换主要指“1”的变换（等），如已知，求.(7)正余弦“三兄妹”的内存联系“知一求二”，如（1）若 ，则 _，特别提醒：这里；（2）若，求的值。；（3）已知，试用表示的值。13、辅助角公式中辅助角的确定：(其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用。如（1）若方程有实数解，则的取值范围是_.；（2）当函数取得最大值时，的值是_ _；（3）如果是奇函数，则= ；（4）求值：_ ；14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数和余弦函数图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。15、正弦函数、余弦函数的性质：（1）定义域：都是R。（2）值域：都是，对，当时，取最大值1；当时，取最小值1；对，当时，取最大值1，当时，取最小值1。如（1）若函数的最大值为，最小值为，则_，；（2）函数（）的值域是_ ；（3）若，则的最大值和最小值分别是_ 、_；（4）函数的最小值是_，此时 ；（5）己知，求的变化范围；（6）若，求的最大、最小值。特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？（3）周期性：、的最小正周期都是2；和的最小正周期都是。如(1)若，则_ ；(2) 函数的最小正周期为_ _；(3) 设函数，若对任意都有成立，则的最小值为_ _；（4）奇偶性与对称性：正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点）。如（1）函数的奇偶性是_ ；（2）已知函数为常数），且，则_；（3）函数的图象的对称中心和对称轴分别是_、_；（4）已知为偶函数，求的值。（5）单调性：上单调递增，在单调递减；在上单调递减，在上单调递增。特别提醒，别忘了！ 16、形如的函数：（1）几个物理量：A振幅；频率（周期的倒数）；相位；初相；（2）函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如，的图象如图所示，则_ ；（3）函数图象的画法：“五点法”设，令0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。（4）函数的图象与图象间的关系：函数的图象纵坐标不变，横坐标向左（0）或向右（0）平移个单位得的图象；函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象；函数图象的横坐标不变，纵坐标向上（）或向下（），得到的图象。要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位，如（1）函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象？；(2) 要得到函数的图象，只需把函数的图象向_平移_个单位；（3）将函数图像，按向量平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出；若不唯一，求出模最小的向量；（4）若函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点，则的取值范围是 ；（5）研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中的看成中的，但在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。如（1）函数的递减区间是_ ；（2）的递减区间是_ ；（3）设函数的图象关于直线对称，它的周期是，则 （ ）A、 B、在区间上是减函数C、D、的最大值是A；（4）对于函数给出下列结论：图象关于原点成中心对称；图象关于直线成轴对称；图象可由函数的图像向左平移个单位得到；图像向左平移个单位，即得到函数的图像。其中正确结论是_ ；（5）已知函数图象与直线的交点中，距离最近两点间的距离为，那么此函数的周期是_ ；17、正切函数的图象和性质：（1）定义域：。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变；（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。（5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。如下图：18. 三角形中的有关公式： (1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).注意：正弦定理的一些变式：；已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.(3)余弦定理：等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状. (4)面积公式：（其中为三角形内切圆半径）.如中，若，判断的形状（答：直角三角形）。特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如（1）中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的 A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 （ ）；（2）在中，AB是成立的_ _条件；（3）在中， ，则_ _；(4)在中，分别是角A、B、C所对的边，若，则_ _；（5）在中，若其面积，则=_ _；（6）在中，这个三角形的面积为，则外接圆的直径是_ _；（7）在ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，= ，的最大值为；（8）在ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是；（9）设O是锐角三角形ABC的外心，若，且的面积满足关系式，求19、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。如（1）若，且、是方程的两根，则求的值_ ；（2）中，则_ _；（3）若且，求的值.2、 常用知识板块：（1）、“1”的变换；（2）、正余弦“三兄妹”的内存联系“知一求二”；（3）、利用形如的函数解决三角函数问题；（4）三角函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性）（5）三角形内角和定理。3、 特别提醒：（1）把握角概念的中心词“旋转”！旋转就有两个要素：旋转量与旋转方向，一个角是否确定关键是看这两个要素确定了没有，有一个要素不确定，这个角就不是确定的角。（2）象限角只给出角的终边位置，跟角的大小无关。有关概念考核的题目从这点出发往往能很快得到答案。（3）角的变换是三角函数变换的核心：常见角的变换有，等；（4）求值角先行！这点必须时刻牢记！否则就会做无用功！（5）注意公式的变形使用如（6）研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中的看成中的，但在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正（7）三角函数的有关问题的表达中别忘了！（8）（1）求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。（9）正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。（10）在图象变换中，无论是“先平移后伸缩”，还是“先伸缩后平移”，须记清每次变换均对“”而言，尤其是左右平移在由形变换向数的问题转化的的时候，也是用“x + k”代替“x”，其它做法都是多余的。尤其是要弄清楚“变换谁？得到谁？”，这个问题不搞清楚，就不要做题。三、 2008年高考展望：1、 出题角度：(性质、应用、知识交汇)三角函数是高考考查的着力点，其中三角函数的概念与性质常以选择题、填空题的形式出现，三角恒等变换常以解答题的形式出现，它们多是容易题或中档题，是不应失分的题目因为三角函数内容丰富、公式众多，考查形式灵活，其题目也绚丽多姿 一、单调性问题此类问题主要考查三角函数的增减性，各象限中各个三角函数值的符号等很多情况下，需要通过三角恒等变换将已知函数式化为一个角的一个三角函数式的形式来求解例1写出函数在上的单调递增区间解：由已知可得，则，又，所以其单调递增区间是，点评：在求单调区间时，要注意给定的定义域，根据题意取不同的值；在求的单调区间时还应注意的正、负，同学们可以自己求一下的单调递减区间，并与本例所求得的区间对比一下二、图象变换问题三角函数的图象变换是一个重点内容解这类问题，先通过三角恒等变换将函数化为的形式，然后再探索其图象是由正弦曲线经过怎样的平移变换、伸缩变换或振幅变换得到的特别需要注意的是：在图象变换中，无论是“先平移后伸缩”，还是“先伸缩后平移”，须记清每次变换均对“”而言，尤其是左右平移在由形变换向数的问题转化的的时候，也是用“x + k”代替“x”，其它做法都是多余的。尤其是要弄清楚“变换谁？得到谁？”，这个问题不搞清楚，就不要做题。例2已知函数，该函数的图象可由，的图象经过怎样的变换而得到？解： 将函数依次作如下变换：（1）把函数的图象向左平移，得到函数的图象；（2）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；（3）把得到的图象上各点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象；（4）把得到的函数图象向上平移个单位长度，得到函数的图象综上得到函数的图象点评：由的图象变换得到的图象，一般先作平移变换，后作伸缩变换，即如果先作伸缩变换，后作平移变换，则左（右）平移时不是个单位，而是个单位，即是左（右）平移个单位长度三、最小正周期问题这类问题一般要通过恒等变换，然后得出我们所熟悉的三角函数-也就是形式三角函数问题，从而求得其周期最小正周期问题常与三角函数的奇偶性、单调性、对称性及最值交汇出现应掌握几个常用三角函数的最小正周期，会求的周期例3函数的最小正周期为（）（）（）（）（）解析：，故选（）点评：本题是通过平方关系、倍角公式、降次将函数化为单一且次数为一次的函数求解的四、求值与证明问题此类题是高考中出现较多的题型，要求同学们掌握从题设条件入手、以题目结论或要求为目标，正确运用各类三角公式，消除角的差异，实现函数名称的转化，达到解（证）题的目的深刻理解三角函数的概念，熟练掌握各类三角公式，熟悉三角恒等变换的常用思想方法和变换技巧，是解决问题的关键例4已知（1）求的值；（2）求的值解：（1）由题意知，解得；（2）点评：本题在解答过程中用到了两角和的正切公式、二倍角公式及正、余弦公式的关系，熟练掌握和灵活应用各类三角公式显得尤为重要，在此前提下，解决该类问题，必须先弄清楚“角”在哪里？否则容易求错题目，弄清楚“角”在哪也就是“求值角先行！”；另外，三角函数问题围绕“角和名”两大问题来思考，尽量寻求角之间的联系，尽量减少函数名，是解决这类问题的基本法则。五、最值或值域问题这是在考试中出现频率很高的一类题型，要求掌握基本的三角公式和正弦、余弦等基本三角函数的值域解题时，常常进行降次处理，尽量将异名三角函数化为同名三角函数，将不同的角化为相同的角例5若函数的最大值为，试确定常数的值解：因为的最大值为，所以，即，点评：本题先进行三角恒等变换，化为的形式，再求的值求一个复杂三角函数的最小正周期、最值、单调区间等，一般是将这个复杂的三角函数通过三角恒等变换化简为的形式后再求解另外，在求最值问题还有一类题型就是：把所给的函数运用换元的办法转化为一元二次函数的问题来解决，这里就不再举例。换元的时候要注意“引进新元要立刻根据旧元求出新元的取值范围”，当然，还有可能把三角函数问题跟导数简单结合，这样只能扩大知识点的覆盖，但不会增加试题的难度，要想正确解答这类问题，必须对三角函数的求导熟悉，否则在求导这一知识环节出问题，题目也就没办法进行了。六、实际应用问题这类问题主要考查利用三角函数的性质及三角恒等变换解决有关实际应用问题解题的关键是利用三角函数表示出各有关元素，从而建立起函数关系例6如图，是一块边长为的正方形地皮，其中是一半径为的扇形小山，其余部分都是平地一开发商在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点在上，相邻两边，落在正方形的边上求矩形停车场面积的最大值与最小值解：设，延长交于，则，则，=令，则故当时，有最小值；当时，有最大值点评：本题在求面积时采用设角来表示边长，然后用三角函数来表示面积，再通过三角变换达到求最值的目的有些面积问题，在不好设边长时，不妨考虑设角度2、 题型特点：（条件给出的变化、难度等）在这部分考题中，选择题，解答题多是基本题目，概念性比较强；这里就不再论述；在大题中，在条件的给出过程中，多与平面向量结合，这是近年来变化比较大的地方，多是利用平面向量的坐标运算以及平面向量数量积最终转化为三角函数的问题；在上面的分析中，我们给出了六类三角函数题型，其中估计在三角函数的应用部分2008年不会设置大题，三角函数图象变换出大题的可能性也不大，肯定要在三角函数图象和性质的利用上做文章，这点也是三角函数部分的重点之重点，大家除了要对三角函数的图象和性质非常熟练之外，还要对三角恒等变换以及诱导公式和两角和与差的公式非常熟悉。因此必须引起大家的高度重视。但历年来三角函数问题难度的设置上不会太多，多是中、低档题，因此，这部分不能丢分。更不能会而不对，对而不全。四、 往年高考数学试题三角函数题例（只选了部分小题和全部大题）：1、（海南、宁夏理3）函数在区间的简图是（A）2、（海南宁夏理9）若，则的值为（C）3、将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（A）C、4、（江苏11）若，则_5、（江苏15）在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则_6、（江西理5）若，则下列命题中正确的是（D）7、（全国卷1理1）是第四象限角，则（ D ）ABCD8、全国卷1理（12）函数的一个单调增区间是（ A ）ABCD9、（全国卷2理2）函数的一个单调增区间是（ C ）ABCD1O、（山东理5）函数的最小正周期和最大值分别为（ A ）A，B，C，D，11、（上海理6）函数的最小正周期 12、（四川理16）下面有五个命题：函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.终边在y轴上的角的集合是a|a=|.在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.把函数函数其中真命题的序号是 13、（天津理3）“”是“”的（A）充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件14、（浙江理2）若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则（D）AB C D15、（浙江理12）已知，且，则的值是 16、（安徽理16）已知为的最小正周期， ，且求的值主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力解：因为为的最小正周期，故因，又 故由于，所以17、（安徽）设函数，其中，将的最小值记为（I）求的表达式；（II）讨论在区间内的单调性并求极值本题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力解：（I）有 由于，故当时，达到其最小值，即 （II）列表如下：极大值极小值由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为18、（福建理17）在中，（）求角的大小；（）若最大边的边长为，求最小边的边长考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力解：（），又，（），边最大，即又，角最小，边为最小边由且，得由得：所以，最小边19、（广东理16）已知顶点的直角坐标分别为，（1）若，求的值； （2）若是钝角，求的取值范围解析： （1），若c=5， 则，sinA； 2）若A为钝角，则解得，c的取值范围是；20、（湖北理16）已知的面积为，且满足，设和的夹角为（I）求的取值范围；（II）求函数的最大值与最小值考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质，考查推理和运算能力解：（）设中角的对边分别为，则由，可得，（），即当时，；当时，21、（湖南理16）已知函数，（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值（II）求函数的单调递增区间解：（I）由题设知因为是函数图象的一条对称轴，所以，即（）所以当为偶数时，当为奇数时，（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）22、（江西理18）如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为（1）求和的值；（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值解：（1）将，代入函数得，因为，所以又因为，所以，因此（2）因为点，是的中点，所以点的坐标为又因为点在的图象上，所以因为，所以，从而得或即或23、（全国卷1理17）设锐角三角形的内角的对边分别为，（）求的大小；（）求的取