福建省泉州市2020届高三上学期单科质量检查 数学（文）试题 含答案.pdfVIP

市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 1 页 共页 共 8 页 页 准考证号准考证号 姓名姓名 在此卷上答题无效 保密保密 启用前启用前 泉州市泉州市 2020 届高中毕业班单科质量检查届高中毕业班单科质量检查 文文 科科 数数 学学 2020 1 注意事项注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用 橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并收回 一一 选择题选择题 本题共本题共 12 小题小题 每小题每小题 5 分分 共共 60 分分 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目只有一项是符合题目 要求的要求的 1 已知集合 2 20Ax xx 则A R A 0 B 2 C 0 2 D 0 2 试题简析 易得集合 0 2 A 故 0 2 A R 选 B 2 若复数 2i 1 i a 为纯虚数 则实数a的值是 A 2 B 1 C 1D 2 试题简析 复数 2i 1 i a 2 2 iaa 为纯虚数 所以20a 解得2a 故选A 3 若 2 sin cos 445 则cos2 A 4 5 B 2 5 C 2 5 D 4 5 试题简析 由 2 sin cos 445 得 4 sin 2 25 即 5 4 2cos 故选 A 4 新中国成立 70 周年 社会各界以多种形式的庆祝活动祝福祖国 其中 快闪 因其独特新颖的传播方 式吸引大众眼球 根据腾讯指数大数据 关注 快闪 系列活动的网民群体年龄比例构成 及男女比例构 成如图所示 则下面相关结论中不正确的是 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 2 页 共页 共 8 页 页 A 35 岁以下网民群体超过 70 B 男性网民人数多于女性网民人数 C 该网民群体年龄的中位数在 15 25 之间 D 25 35 岁网民中的女性人数一定比 35 45 岁网民中的男性人数多 试题简析 依题意可得 35 岁以下网民群体所占比例为 74 故 A 对 由男女比例构成图可得男性所 占比例为 55 故B对 因为 15 岁以下所占比例为 23 35 岁以下所占比例为 54 故 该网民群体年龄的中位数在 15 25 之间 C 对 D 答案无法判断 所以 D 错 故选 D 5 设E是中心在坐标原点的双曲线 若 2 0 A是E的一个顶点 4 0 F 是E的一个焦点 则E的一 条渐近线方程为 A 1 3 yx B 3 3 yx C 3yx D 3yx 试题简析 由已知双曲线的焦点在x轴上 2 a 4 c 所以 22 2 3bca 所以双曲线E的 渐近线方程为 b yx a 即3yx 故选 C 6 已知等差数列 n a中 36 8aa 则 47 5 aa A 32B 27C 24D 16 试题简析 设等差数列 n a公差d 则872 163 daaa 所以24 72 32165 1174 dadaaa 故选 C 7 堑堵 是中国古代数学名著 九章算术 中记载着的一种多面体 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗实线画出的是某 堑堵 的三视图 则该 堑堵 的体积等于 A 12B 8C 6D 4 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 3 页 共页 共 8 页 页 试题简析 由已知可得该 堑堵 是直三棱柱 其体积 1 2 3 26 2 V 故选 C 8 函数 sinf xxx 的图象大致为 A B C D 试题简析 结合各选项 函数xxxfsin 是偶函数且在 0 2 上单调递增 故选 B 9 明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的 等程律 在创造律制的过程中 他不仅给出了求解三项等 比数列的等比中项的方法 还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法 比如 若已知黄钟 大吕 太簇 夹钟四个音律值成等比数列 则有 大吕黄钟 太簇 2 3 大吕黄钟夹钟 2 3 太簇黄钟夹钟 据此 可得正项等比数列 n a中 k a A 1 1 nk nk n aa B 1 1 n k n k n a a C 1 1 1 n kk n n aa D 1 1 1 kn k n n aa 试题简析 因为 1 1 n n aa q 所以1 1 n n a q a 所以 1 1 1 1 k n n k a aa a 1 1 1 1 k n n a a a 1 11 1 n kk nn n aa 1 1 1 n kk n n aa 故选 C 10 若直线0 xay 与函数 e x f x x 的图象有且只有一个公共点 则a的取值范围为 A 2 4 0 e B 2 4 e C 2 e 4 D 2 1 e e4 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 4 页 共页 共 8 页 页 试题简析 解法解法 1 由 0 ex xay y x 消去y 得 2 0 ex x ax 则依题意 可知直线ya 与曲线 2 0 ex x yx 恰有一个公共点 如图 10 1 作出ya 与 2 0 ex x yx 的图象 由图可得 2 e 4 a 图 10 1图 10 2 解法解法 2 如图 10 2 作出直线 x y a 与函数 e x f x x 的图象 设过原点的直线l与曲线 x y x e 相切 于点 e 0 0 0 x xP x 则 2 0 0 0 0 00 0 ee 0 0 e x x x x k xx x l 故2 0 x 4 e2 l k 由图可知 4 e1 0 2 l k a 故 2 e 4 a 故选 B 11 若椭圆E的顶点和焦点中 存在不共线的三点恰为菱形的中心和顶点 则E的离心率等于 A 2 2 B 51 2 C 1 2 或 2 2 D 2 2 或 51 2 试题解析 依题意 由菱形对角线互相垂直可转化为 在椭圆的顶点和焦点中找到不共线的三点能构成 一个直角三角形 结合椭圆的对称性 只需考虑以下三种情况 1 如图 11 1 若以顶点D焦点B为菱形顶点 C为中心 则DCBC 由勾股定理得 2222 abaac 由 222 bac 化简得 22 0caca 两边同除以 2 a 得 2 10ee 又因为01e 可得 51 2 e 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 5 页 共页 共 8 页 页 图 11 1图 11 2图 11 3 2 如图 11 2 若以焦点A B为菱形顶点 C为中心 则ACBC 故 45OCB 易得 2 2 c e a 3 如图 11 3 若以焦点B为菱形的中心 C E为顶点 则CBEB 易得 2 2 c e a 故选 D 12 已知函数 sin 0 0 2 f xx 若 8 f x 为奇函数 8 f x 为偶函数 且 2 2 f x 在 0 6 至多有2个实根 则 的最大值为 A 10B 14C 15D 18 试题简析 由题意 可得 0 8 为 f x的图象的对称中心 直线 8 x 为 f x的图象的一条对称轴 所以 1 12 2 8 82 k k k k 两式相加得 12 42 kk 又因为 0 2 所以 4 代入 2 82 k 得82 kk 因为 0 6 x 时 44 64 tx 即由已知可得 2 sin 2 t 4 64 t 至多有 2 个实根 即 11 644 由此可得015 又因为82 kk 所以1k 时 的最大值为 10 故选 A 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 6 页 共页 共 8 页 页 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分分 13 已知向量 a b 且 3 2 a 5 2 a b 则 b 试题简析 2 4 ba ba 所以 22 242 5 b 答案 2 5 14 若 x y满足约束条件 0 1 0 220 x xy xy 则32zxy 的最大值为 试题简析 不等式组表示的可行域如图所示 由32zxy 得 3 22 z yx 在y轴上的截距越大 z越大 所以当直线 3 22 z yx 过 点 0 2A时 z取得最大值 所以z的最大值为4 答案 4 15 已知直线 1 10 l mxm ym R与圆 22 8O xy 交于 A B两点 C D分别为 OA AB的 中点 则AB CD 的最小值为 试题简析 直线l的方程可化为 10m xyy 由 0 10 xy y 解得 1 1 x y 直线l恒过点 1 1 P 因为 C D分别为 OA AB的中点 所以 1 2 2 CDOB 当OPAB 时 AB最小 此时 2 2 22 222 6AB 所以 22 2 6 4 3ABCDAB 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 7 页 共页 共 8 页 页 答案 4 3 16 已知正方体 1111 DCBAABCD 的棱长为 1 动点P在棱 1 AA上 四棱锥 11B BDDP 的顶点都在球O 的球面上 则球O的表面积取值范围是 试题简析 如图 设球O的球心为G 1 AA的中点 1 O 1 CC的中点 2 O 21O O的中点O 且 2 2 1 OO 2 3 OBOA 因为 11 BDDB在球面上 所以球心在线段 2 OO上 点P也在球面上 RGBGP 设yGOxPO 11 则 2 2 yOG 在 1 RtO PG 中 222 yxR 在RtBOG 中 22 2 2 2 2 3 yR 联立 得yx2 4 5 2 因为 1 0 2 x 所以 25 2 28 y 所以 32 25 4 3 4 3 2 2 4 5 2 22222 yyyyxR 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 8 页 共页 共 8 页 页 所以球O的表面积取值范围为 25 3 8 答案 25 3 8 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 1 页 共页 共 11 页 页 准考证号准考证号 姓名姓名 在此卷上答题无效 保密保密 启用前启用前 泉州市泉州市 2020 届高中毕业班单科质量检查届高中毕业班单科质量检查 文文 科科 数数 学学 2020 1 三 解答题 共三 解答题 共 70 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第第 17 21 题为必考题 每个试题考题为必考题 每个试题考 生都必须作答生都必须作答 第第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 一 必考题 共 60 分分 17 12 分 记数列 n a的前n项和为 n S 若233 nn Sa 1 证明 n a为等比数列 2 设 9 log nn ba 求数列 1 1 nn b b 的前n项和 n T 命题意图 本题主要考察等比数列的定义及通项公式 数列求和的裂项相消法等基础知识 考查运算求 解能力 考查化归与转化思想 体现基础性 导向对发展数学抽象 数学运算及数学建模等 核心素养的关注 试题简析 解解 1 由已知 得233 nn Sa 当2n 时 11 233 nn Sa 2 分 得 1 1 22 33 33 nnnn SSaa 即 1 233 nnn aaa 整理 得 1 32 n n a n a 5 分 又由 11 233Sa 得 1 3 0a 所以 n a是以 3 为首项 3 为公比的等比数列 6 分 2 由 1 得 3n n a 所以 9 log 3 2 n n n b 8 分 所以 1 1411 4 11 nn b bn nnn 10 分 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 2 页 共页 共 11 页 页 故 n T 11111114 4 4 4 4 1 1223111 n nnnn 12 分 18 12 分 ABC 的内角 A B C所对的边分别为 a b c 已知 3cos cosaCcA 1 求 b a 2 求cos A的最小值 命题意图 本小题主要考查正弦定理 余弦定理等解三角形的基础知识 结合考察了基本不等式的基础 知识 考查推理论证能力与运算求解能力等 考查数形结合思想 化归与转化思想 函数与 方程思想等 体现基础性 综合性与应用性 导向对发展直观想象 逻辑推理 数学运算及 数学建模等核心素养的关注 试题简析 解法解法 1 1 在ABC 中 由正弦定理 得 sinsinsin abc ABC 1 分 从而由 3cos cosaCcA 可得sin 3cos sincosACCA 2 分 整理 得3sinsincoscossinAACAC 即3sinsin AAC 4 分 又因为 ABC 所以sin3sinBA 5 分 所以3 b a 6 分 2 由 1 不妨设33ba 则3131c 7 分 在ABC 中 由余弦定理 得 222 cos 2 bca A bc 8 分 所以 2222 3 12126 cos 3232 32 3 cc Ac ccc 11 分 当 2 c c 即2c 时 等号成立 故cos A取到最小值为 6 3 12 分 解法解法 2 1 同解法 1 6 分 2 因为 3sinsinAB 所以 3aba 则A为锐角 7 分 因为sin1B 所以 33 sinsin 33 AB 8 分 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 3 页 共页 共 11 页 页 当且仅当sin1B 即 2 B 时 sin A的最大值为 3 3 9 分 因为sin A在 0 2 单调递增 所以此时A最大 10 分 又因为cos A在 0 2 单调递减 11 分 所以A最大时 cos A取到最小值为 2 6 1 sin 3 A 12 分 19 12 分 如图 MA平面ABCD CN平面ABCD 四边形ABCD是边长为2的菱形 60BAD 1 CN 3 AM 1 证明 BN平面ADM 2 求三棱锥NADM 的体积 命题意图 本小题主要考查直线与平面平行的判定 线面垂直的性质 三棱锥体积的求解等基础知识 考查空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力等 考查化归与转化思想等 体现基础性 综合性与应用性 导向对逻辑推理 直观想象 数学运算等核心素养的关注 试题简析 解法解法 1 1 因为 MA平面ABCD CN平面ABCD 所以NCMA 1 分 又 MA平面ADM NC平面ADM 所以 NC平面ADM 2 分 因为四边形ABCD是菱形 所以ADBC 3 分 又 AD平面ADM BC平面ADM 所以 BC平面ADM 4 分 又BCNCC BC 平面BCN CN 平面BCN 所以平面 BCN平面ADM 5 分 又 BN平面BCN 所以 BN平面ADM 6 分 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 4 页 共页 共 11 页 页 2 由 1 知 BN平面ADM 所以点N到平面ADM的距离等于点B到平面ADM的距离 8 分 取AD的中点E 连接BE BD 因为四边形ABCD是边长为2的菱形 60BAD 所以ABD 是边长为2的等边三角形 所以ADBE 且3 BE 10 分 又因为 MA平面ABCD BE 平面ABCD 所以BEMA 又MAADA MA 平面ADM AD平面ADM 所以 BE平面ADM 故所以点N到平面ADM的距离为BE 11 分 所以三棱锥NADM 的体积 111 2 333 332 NADMADM VSBE 12 分 解法解法 2 1 同解法 1 6 分 2 由 1 知 BN平面ADM 所以点N到平面ADM的距离等于点B到平面ADM的距离 8 分 所以 NADMB ADM VV 9 分 因为 MA平面ABCD 所以MA是三棱锥MABD 的高 10 分 又ABD 是边长为 2 的正三角形 所以 113 4 33 334 NADMB ADMMABDABD VVVSMA 12 分 20 12 分 已知抛物线E的顶点在原点 焦点在y轴上 过点 1 0 A且斜率为 2 的直线与E相切 1 求E的标准方程 2 过A的直线l与E交于 P Q两点 与y轴交于点R 证明 2 ARAPAQ 命题意图 本小题主要考查抛物线的标准方程和几何性质 直线与抛物线的位置关系等基础知识 考查 推理论证能力 运算求解能力等 考查化归与转化思想 数形结合思想 函数与方程思想等 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 5 页 共页 共 11 页 页 体现基础性 综合性与应用性 导向对发展逻辑推理 直观想象 数学运算等素养的关注 试题简析 解法解法 1 1 过点 1 0 A且斜率为 2 的直线方程为2 1 yx 即22yx 1 分 设E的方程为 2 0 xay a 2 分 由 2 22 yx xay 消去y 得 2 220 xaxa 3 分 因为直线与E相切 所以 2 480aa 4 分 解得0a 舍去 或2a 所以E的标准方程为 2 2xy 5 分 2 设l的方程为 1 yk x 1122 P x yQ xy 令0 x 得yk 即 0 Rk 6 分 由 2 1 2 yk x xy 消去y 得 2 220 xkxk 7 分 因为l与E相交 所以 2 480kk 解得2k 或0k 设 则 1212 2 2xxk x xk 12 2xxk 12 2x xk 8 分 2 1 11APkx 2 2 11AQkx 9 分 从而 222 211212 1 11 1 11APAQkxxkx xxxk 10 分 又 2 2 1ARk 11 分 所以 2 ARAPAQ 12 分 解法解法 2 1 过点 1 0 A且斜率为 2 的直线方程为2 1 yx 即22yx 1 分 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 6 页 共页 共 11 页 页 设E的方程为 2 0 xay a 即 2 1 yx a 2 分 则 2 yx a 3 分 直线22yx 与E相切于点 00 22 B xx 则 0 2 00 2 2 1 22 x a xx a 4 分 解得 0 2 2 x a 所以E的标准方程为 2 2xy 5 分 2 设l的方程为 1 yk x 1122 P x yQ xy 6 分 由 2 1 2 yk x xy 消去y 得 2 220 xkxk 7 分 因为l与E相交 所以 2 480kk 解得2k 或0k 12 2xxk 12 2x xk 8 分 分别过 P Q作 PPx 轴于 P QQx 轴于 Q 则 PPQQ 所以 APAP ARAO ARAO AQAQ 9 分 又 1 1APx 2 1AQx 1AO 10 分 所以 2 1212 11APAQx xxxAO 11 分 故 APAO AOAQ 从而 APAR ARAQ 即 2 ARAPAQ 12 分 21 12 分 已知函数 2 1 ln 2 a f xxaxx 1 讨论 f x的单调性 2 当1x 时 e 2 f x 求a的取值范围 命题意图 本题考查导数的应用 利用导数研究函数的单调性 最值等问题 考查抽象概括能力 推理 论证能力 运算求解能力 考查函数与方程思想 化归与转化思想 分类与整合思想 数形 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 7 页 共页 共 11 页 页 结合思想 有限与无限思想 体现综合性 应用性与创新性 导向对发展数学抽象 逻辑推 理 直观想象 数学运算以及数学建模等核心素养的关注 试题简析 解法解法 1 1 函数 f x的定义域为 0 2 1 1 1 1 1 1 axaxaxx fxaxa xxx 1 分 当0a 时 10ax 则 0fx 故 xf在 0 单调递减 2 分 当0 a时 令0 x f 得 a x 1 令0 x f 得 a x 1 0 故 xf在 1 0 a 上单调递减 在 1 a 单调递增 4 分 综上 可得当0a 时 xf在 0 单调递减 当0 a时 xf在 1 0 a 单调递减 在 1 a 单调递增 5 分 2 当0a 时 因为 242 e e e 1 e22 22 a fa 所以0a 不符合题意 6 分 当0 a时 由 1 知 xf在 1 0 a 单调递减 在 1 a 单调递增 当 1 1 a 即1a 时 1 1 0 a xx a fx x 所以 f x在 1 单调递增 7 分 故 31e 1 1 222 f xfa 故1a 满足题意 8 分 当1 1 a 即10 a时 f x在 1 1 a 单调递减 在 1 a 单调递增 9 分 故 min 111 1ln 2 f xf aaa 10 分 要使 当1x 时 e 2 f x 只需满足 1e 2 f a 令 1 1ln 0 2 g ttt t 则0 1 2 1 t tg 故 g t在 0 单调递减 11 分 又 e e 2 g 从而由 1e 2 f a 即 1 e gg a 可得 1 e a 解得 1 1 e a 综上 可得a的取值范围为 1 e 12 分 解法解法 2 1 同解法 1 5 分 2 当1x 时 e 2 f x 可化为 2lne 2 2 xx a x x 6 分 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 8 页 共页 共 11 页 页 令 22lne 1 2 xx g xx x x 则 22 2 1 2ln2e 2 xxx g x xx 7 分 因为 2ln2exxx 在 1 单调递减 且 e 0 8 分 所以当1ex 时 0 x 从而 0g x 故 g x在 1 e 单调递增 当ex 时 0 x 从而 0g x 故故 g x在 e 单调递减 9 分 所以 min 1 e e g xg 10 分 要使 当1x 时 e 2 f x 即 2lne 2 2 xx a x x 只需 min ag x 即 1 e a 所以a的取值范围为 1 e 12 分 解法解法 3 1 同解法 1 5 分 2 当1x 时 e 2 f x 可化为 1lne 1 1 22 x ax xx 6 分 令 lne 1 1 2 x g xx xx 则 e 1 1 2 g 222 1 lne2ln2e 22 xx g x xxx 7 分 令 0g x 得 2 e 2 ex 当 2 e 2 1ex 时 0g x 所以 g x在 2 e 2 1 e 单调递增 当 2 e 2 ex 时 0g x 所以 g x在 2 e 2 e 单调递减 9 分 设过点 2 0 的直线l与函数 g x的图象相切于点 00 x g x 则 0 0 0 0 2 g x g x x 即 00 0 2 000 e ln 2ln2e 2 2 2 xx x xx x 整理 得 00 2ln2exx 因为 2lnxxx 在 0 单调递增 且 e 2e 所以 0 ex 所以切线l的斜率 00 1 2e kg x 10 分 如图 作出函数 g x的图象 市单科质检数学 文科 试题市单科质检数学 文科 试题第第 9 页 共页 共 11 页 页 由图可知 要使 当1x 时 e 2 f x 即 1lne 1 1 22 x ax xx 只需 1 22e a 解得 1 e a 所以a的取值范围为 1 e 12 分 二 选考题 共 二 选考题 共 10 分分 请考生在第请考生在第 22 23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分如果多做 则按所做的第一题计分 22 选修44 坐标系与参数方程 10 分 在同一平面直角坐标系xOy中 经过伸缩变换 2 xx yy 后 曲线 22 1 1Cxy 变为曲线 2 C 1 求 2 C的参数方程 2 设 2 1A 点P是 2 C上的动点 求OAP 面积的最大值 及此时P的坐标 命题意图 本小题主要考查直角坐标系的伸缩变换 椭圆的参数方程 直线与椭圆的位置关系等基础知 识 考查推理论证能力与运算求解能力 考查函数与方程思想 转化与化归思想 数形结合 思想 体现基础性与综合性 导向对发展直观想象 逻