概率论和数理统计理工类(周概容著)高等教育出版社.doc

SBGX概率统计(理工类) 习题1解答 事件的概率 第 68 页 共 69 页习题1 随机事件及其概率习题解答（A）一、事件的关系和运算1.1 以表示10次射击命中的次数，考虑事件，说明如下事件的含义：, .解 1.2 说明事件的含义：(1) 自等十个阿拉伯数字中随机选八个(允许重复)，组成一个八位电话号码(第一位数不为0)引进事件：号码中不含数字，号码中含数字(=)，,(2) 靶子由半径为的同心圆构成，以表示事件“命中半径为的圆”()，解 (1) 不含0,9；不含0或9；=含9不含0；= 含0或9(2) 半径为的圆环；半径为的圆；半径为的圆；半径为的圆题1.3 插图MNab1.3 设电路中装有和两个继电器以和分别表示和为通路，以和分别表示和断路利用电路的“通”和“断”两种状态，导出关于事件和的对偶律：，解 引进事件为通路，则=为断路显然，因此在分别将换成，将换成，得，于是1.4 对任意二事件和，证明：(1) ； (2)解 (1) 由事件运算的分配律，可见(2) 由事件运算的分配律，可见1.5 设和是任意三事件，讨论下列命题是否正确：(1) 若，则； (2) 若，则；(3) 若，则； (4) 若，则解 易见，(1),(2),(3)都不正确，只有(4)正确事实上，由事件运算的对偶律，可见而由且，可见和互为对立事件，即，因此(4)确实正确(2) 不难说明(1),(2),(3)都不成立为此只需分别举出反例：例如，由于是三任意事件，取而是必然事件，则且，但，从而(1)和(2)不成立设，则但，从而(3)不成立注意，该题的结果反映了事件的运算与数的运算的不同之处二、概率的直接计算1.6 假设一批100件商品中有4件不合格品抽样验收时从中随机抽取4件，假如都为合格品，则接收这批产品，否则拒收，求这批产品被拒收的概率p解 以表示随意抽取的4件中不合格品的件数，则1.7 从等11个数中随机取出三个，求下列事件的概率：=三个数最大的是5；=三个数大于、等于和小于5的各一个；=三个数两个大于5，一个小于7解 从11个数中随机取出三个，总共有种不同取法，即总共有个基本事件，其中有利于的取法有种（三个数最大的是5，在小于5的5个数中随意取两个有种不同取法）；有利于的取法有55=20种（在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取一个，有55=25种不同取法）；有利于的取法有5种(在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取两个)于是，最后得1.8 考虑一元二次方程 , 其中B, C分别是将一枚色子接连掷两次先后出现的点数(1) 求方程无实根的概率，(2) 求方程有两个不同实根的概率解 显然，系数B和C各有1,2,3,4,5,6等6个可能值；将一枚色子接连掷两次，总共有36个基本事件考虑方程的判别式事件无实根和有两个不同实根，等价于事件和下表给出了事件和所含基本事件的个数B1 2 3 4 5 6含基本事件数0 0 2 3 6 617由对称性知和等价，因此易见，方程无实根的概率和有两个不同实根的概率为1.9 随机将分别印有1,2,3,4四张卡片排成一行求事件的概率：至少一张卡片排列的顺序号与其数字相同解 设=印有的卡片列的顺序号恰好是(1,2,3,4)，则那么，由一般加法公式，可见显然(例1.7)四张卡片排成一行，总共有4!种不同情形四张卡片中任何两张(例如第一张和第二张)的顺序号恰好所印数字一致，总共有11212 种不同情形(第一张和第二张各有一种选择，第三张剩下两种选择，第四张最后只剩下一种选择)因此若四张中任何三张(例如，第一、第二和第三张)都分别印有1，2，3，则第四张自然印有4因此于是，有1.10 从中，随意取4个数字(允许重复)排成一列，结果恰好形成一个四位数求下列事件的概率：=4个数字两两不等；=此数是奇数；=6至少出现一次； =6恰好出现一次解 考虑自总体的次放回抽样基本事件的总数：第一位数字（不为0）有9种选择，其余三位数字共有103种选择分别以表示所含基本事件的个数(1) ；(2) ：第一位数字有9种、最后一位数字有5种、中间两位数字共有102种选择；(3) ，即基本事件的总数减去的对立事件6不出现所含基本事件的个数；(4) ：只有第一位数是6的共有种情形，6只出现在第2,3或4位数上的情形各有种；于是，所求概率为三、概率的基本公式和运算法则1.11 假设箱中黑、白、红球各有个，12个球除颜色外完全相同现在一个一个地从箱中取出所有的球，求取到红球比黑球早的概率解引进事件：取到红球比黑球早以和分别表示“黑球”，“白球”和“红球”； 以表示事件前两次抽到黑球，第三次抽到白球依此类推易见，其中右侧的4个事件显然两两不相容，其概率相应为：于是，由概率的可加性，红球比黑球早的概率为说明 我们是按古典型求的概率，显然可以用乘法公式来求1.12 对于随机变量和，求，已知概率解 引进事件，则由条件知由对立事件的概率的公式和加法公式，可见1.13 假设电话号码为八位数(第一位数不为0)，求事件电话号码中不含0或9和电话号码中含0不含9的概率解 引进事件：=电话号码中不含0，=电话号码中不含9， 电话号码中不含0或9，易见(1) 由加法公式，可见(2) 由减法公式，可见1.14 3个考生的准考证混放在一起，现在将其随机寄给3个人引进事件：恰好两个考生收到自己的准考证，求解 引进事件：Ak=第k个考生收到自己的准考证(k = 1,2,3,4)那么，而由古典型概率公式，有(1) 事件显然两两不相容，故(2) 由一般加法公式, 得于是，1.15 已知概率分别求下列各事件的概率：，,解 由事件运算的性质，易见1.16 设事件在每次试验中出现的概率为, 求，(1) 在n次独立重复试验中事件至少出现一次的概率；(2) 事件在n次试验中最多出现一次的概率b解 记次独立重复试验中事件出现的次数，=第i次试验中事件出现，它们显然相互独立，且(1) 事件“在次独立重复试验中至少出现一次”表示为由于以及相互独立，可见 (2) 事件“在n次试验中最多出现一次” 表示为易见，说明 求概率可以利用“n次伯努利试验恰好有次成功”的概率的计算公式1.17 把等前100个数偶分别写在100张卡片上，混合均匀后随机地取出一张卡片，设是该卡片上两个数字之和，而是该卡片上两个数字之积求条件概率解 易见，事件包含等=19个基本事件易见，事件含1个基本事件：00；对于，各含2个基本事件：故对于，显然于是1.18 假设箱中有一个球，只知道不是白球就是红球现在将一个白球放进箱中，然后从箱中随机取出一个球，结果是白球求箱中原来是白球的概率解 引进事件：取出的是白球，箱中原来是白球，箱中原来是红球，则构成完全事件组，并且由条件知由贝叶斯公式，有1.19 在无线电通信中接连不断地发送信号0和1，其中0占60%，而1占40%由于存在干扰，发送信号0时接收信号可能是0，1和（模糊信号），概率相应为070，010和020；发送信号1时接收信号也可能是0，1和，概率相应为0.85，0.05和0.10问接收到模糊信号时最好译成0还是1？解 引进事件：=发送信号是0，=发送信号是1，=接收信号为()，则由贝叶斯公式，有计算结果表明，在接收到模糊信号时译成0比译成1为好四、事件的独立性和独立试验1.20 设三台独立工作设备的可靠性(无故障工作的概率)相同，已知至少一台无故障的概率为9.99%，求每台设备的可靠性解 引进事件=第台设备无故障(=1,2,3)，=至少一台无故障易见，1.21 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.30需进一步进行调试， 经调试以概率0.90可以出厂，以概率0.10定为不合格品不能出厂现在该厂在生产条件稳定的情况下，新生产了20台仪器求最后20台仪器(1) 都能出厂的概率；(2) 至少两台不能出厂的概率解 这里认为仪器的质量状况是相互独立的设=仪器需要调试，=仪器不需要调试，=仪器可以出厂由条件知(1) 10台仪器都能出厂的概率(2) 记10台中不能出厂的台数，即10次伯努利试验“成功(不能出厂)”的次数由(1)知成功的概率为p=0.06易见，10台中至少两台不能出厂的概率习题1.22插图31245MN1.22 设电路中有5个独立工作的元件1,2,3,4,5，它们的可靠性均为，将它们按插图的方式连接(称其为桥式电路)求该电路的可靠性M(通畅的概率)解 引进事件=第元件工作正常(=1,2,3,4,5)，=电路通畅由条件知事件（=1,2,3,4,5）相互独立解法1 由插图，易见由概率的一般加法公式(见本题下面的说明)和事件(=1,2,3,4,5)的独立性，可见解法2 引进事件：=元件3工作正常，=元件3出现故障，则它们构成完全事件组因此由全概率公式，有易见于是说明 容易证明：对于任意4事件1.23 设是任意二事件，证明：(1) 若事件和独立且，则或；(2) 若事件和独立且不相容，则和中必有一个是0概率事件证明(1) 由于，可见因此，若，则；若，(2) 对于事件和，由于它们相互独立而且不相容，可见，因此，概率和至少有一个等于01.24 设事件和独立，且，证明和，独立证明 由与不相容，可见与不相容，故由加法公式，有因此和独立类似可以证明和独立事实上，因此和独立最后，因为根据条件，即是不可能事件，而不可能事件与任何事件都独立，所以和独立（B）一、单项选择题1.25 甲、乙两个篮球队进行比赛，假设有三种可能的结局：甲胜，乙胜与平局，考虑事件=甲胜乙负，则=(A) =甲负而乙胜 (B) =甲和乙平局(C) =甲胜或平局 (D) =乙胜或平局 分析 应填(D)把“甲、乙两个篮球队比赛”视为随机试验E，其基本事件空间为，其中事件=甲胜乙负，因此，即表示“=乙胜或平局”于是(D)为正确选项说明 题中事件可以通过基本事件分别表示为：1.26 设是任意事件，满足，则(A) 且 (B) (C) 或 (D) 分析 (1) 直选法 因为根据条件所以由事件运算的对偶律，可见，于是(B)是正确选项(2) 排除法 为说明选项(A)，(C)，(D)不成立，只需分别举出反例 例如，设，则，但是且，从而选项(A)错误；假设随机变量在上均匀分布，引进事件则显然，但是，因此选项(C)不成立；最后，对于选项(C)，若，则根据对偶律，从而(D)也是错误选项于是，只有(B)是正确选项1.27 设是任意二事件，则下列各选项中错误的选项是(A) 若，则可能不相容 (B) 若，则也可能相容(C) 若，则也可能相容 (D) 若，则一定不相容 分析 应该选(D)宜采用直选法确定符合题目要求的选项；如果用排除法，则需要对其中三个选项分别举出反例(1) 直选法 对于选项(D)容易举出反例设，则故然而显然相容：，因此产生矛盾，故(D)确实是题目所指的错误选项，从而应该选(D)(2) 排除法 只需举例说明(A)，(B)，(C)可能成立，即不符合题意的错误选项例如，若和互为对立事件，即，则，且也互为对立事件，因此不相容，故选项(A)成立；设且，那么假如不相容：，则，而这与矛盾，可见也相容，从而选项(B)成立；设不相容但，那么若不相容，则，这与矛盾，可见也相容，从而选项(C)成立于是，(D)符合题意的要求的正确选项1.28 对于任意三事件，下列各等式正确的是(A) (B) (C) (D) 分析 应该选(B)该题采用直选法比较简便(1) 直选法 由事件的运算和性质，可见于是(B)是正确选项(2) 排除法 对于选项(A)，因此选项(A)错误；对于选项(C)，事件显然等价于事件“出现但是不出现”，即，因而（只要不是不可能事件）选项(C)一般不成立；最后，对于选项(D)，因为事件运算的对偶律，知所以选项(D)一般不成立于是，只有(B)是正确选项1.29 设和是任意三事件，则下列选项中正确选项是(A) 若，则； (B) 若，则(C) 若，则； (D) 若，则 分析 应该选(D)该题宜用直选法，因为直观上选项(A)，(B)，(C)明显不成立(1) 直选法 由事件运算的对偶律，可见而由且，可见A和B互为对立事件，即于是，(D)是正确选项(2) 排除法 为说明前三个选项都不成立，只需分别举出反例由于是二任意事件，例如，设，而是必然事件，则，但是，从而命题(A)和(B)不成立；设，则但，从而命题（C）不成立于是，(D)是正确选项说明 该题的结果反映了事件的运算与数的运算的不同之处1.30 对于任意事件A，B，C，若，则(A) (B) (C) (D) 分析 应该选(C)本题采用直选法比较简便(1) 直选法 因为，由，可见，所以(C)是正确选项(2) 排除法 容易证明选项(A)，(B)和(D)不成立事实上，设，由条件，知，因此，选项(A)和(D)都不成立；其次由条件，可见，所以选项(B)不成立于是，(C)是正确选项说明 该题可以用概率的语言表述为：对于任意事件A,B,C，若，则(A) (B) (C) (D) 那么，利用上面的分析容易看到选项(C)正确二、解答题1.31 设备或部件无故障工作的概率叫做可靠性为了提高设备某种部件的可靠性，给它配备了若干同样的备件：当部件发生故障时，由一台自动转换器自动打开一备件代替原部件的工作假设该部件的可靠性为，而转换器的可靠性为求上述部件的可靠性问为使系统可靠性不小于给定的，应配备多少备件？解 引进事件原部件无故障，第个备件无故障，转换器无故障，系统无故障，则于是，有为使，只要满足由此，得于是，为使可靠性不小于给定的，备件的数量应满足：1.32 从n双不同型号的皮鞋中随机取出只求下列事件的概率：取出的鞋任何两只都不成双；取出的鞋恰好一对成双；取出的鞋恰好两对成双解 从双(只)鞋中随意取出总共有种不同取法，即基本事件的总数为(1) 为使取出的鞋无一对成双，只须先从双鞋中取出双，然后从每双鞋中任取一只；总共有种不同取法，因此(2) 为使取出的鞋中只有一对成双，只须先从双鞋中任取一双，然后从其余双鞋中任取双，再从这双中各任取一只；总共有种不同取法，因此(3) 为使取出的鞋中恰好有两双，只须先从n双鞋中任取两双，然后从其余n2双鞋中任取2(m2)双，再从这双中各任取一只；总共有种不同取法，因此1.33 将一枚完全对称和均匀的硬币接连掷次引进事件：正面最多出现一次，正面和反面各至少出现一次就的情形讨论事件和的独立性解 以表示“将硬币掷次正面出现的次数”易见，事件表示“正面恰好出现次（反面恰好出现次）”，因此 其次，有当时，由于，可见事件和独立，当且仅当由此可见，事件和独立，当且仅当由于上式当时成立，故当时事件和独立，但是上式当和4时不成立，从而当或4时事件和不独立1.34 甲、乙二人轮流射击，首先命中目标者获胜，已知其命中率分别为假设甲首先开始射击，(1) 求甲和乙获胜的概率和；(2) 求射击无休止地进行下去而不分胜负的概率解 设甲射击命中，乙射击命中，则比赛结果可以表示为：设=甲胜，=乙胜，=比赛无休止，则三、证明题1.35 证明事件和构成完全事件组证明 首先，易见三个事件和两两不相容： 其次，三个事件和之和是必然事件：于是，和构成完全事件组1.36 设和任意二事件，证明下列各关系式等价：，证明 设 即若出现，则也随之出现；从而，若不出现，则也不出现，因此由可见 从而 设，则由和，可见最后，若，则由，得于是，事件和的四个关系式等价得证1.37 设是任意二事件，证明，若，则证明 设由条件概率的定义，知由此可见1.38 设事件两两不相容，且事件与各事件都独立，证明与它们的和也独立证明 由于两两不相容，且事件与各事件都独立，可见于是，与独立习题二 随机变量及其概率分布（A）一、随机变量及其分布函数2.1将随机变量表示为随机试验E的基本事件的函数(1) 设E接连对同一目标射击命中为止，射击的次数(2) 设E将一枚硬币接连掷3次，正面出现的次数(3) 设E自集合0,1,2,3的先后两次非还原抽样，奇数出现的次数解 (1) ，(2) =000,001,010,011,100,101,110,111，其中0正面, 1反面；(3) ， 2.2 将随机变量表示为随机试验E的基本事件的函数(1) 设E接连对同一目标射击直到恰好两次命中目标为止，射击的次数(2) 设E接连进行3次射击，命中目标的次数解 (1) (2)000 001 010 011 100 101 110 1110 1 1 2 1 2 2 32.3 已知随机变量X的分布函数为(1) 当取何值时，为连续函数；(2) 当连续时，求解 (1) 由于分布函数是连续函数，可见；因此，将和代入，得常数a和b的方程组解得因此(2) 由于分布函数是连续函数，可见2.4 求常数的值和事件的概率，已知随机变量的分布函数且解 由分布函数的基本性质，可见2.5 向直线上掷一随机点，假设随机点落入区间的概率分别等于0.2，0.5和0.3，并且随机点在区间上分布均匀假设随机点落入得0分，落入得1分，落入坐标为的点得分试求得分X的分布函数 解 以分别表示事件：随机点落入和，它们构成完全事件组由条件知易见于是，由全概率公式，有易见，分布函数既不是离散型的也不是连续型的，我们称之为离散-连续型的二、离散型随机变量2.6 求常数C，假设随机变量的概率分布为解 由无限等比级数的求和公式，有2.7 将一颗色子掷两次，以表示两次掷出的最小点数，求的概率分布解 将一颗色子掷两次，有36个等可能基本事件：，有1,2,6个可能值在36个基本事件中，有利于的11个：；有利于的9个：有利于只有1个：由此易见的概率分布为：2.8 口袋中有7个白球，3个黑球，每次从中任取一球且不再放回(1) 求4次抽球出现黑球次数的概率分布；(2) 抽球直到首次出现白球为止，求抽球次数的概率分布解 (1) 随机变量有0,1,2,3等4个可能值，若以W和B分别表示白球和黑球，则试验“4次抽球”相当于“含7个W和3个B”的总体的4次不放回抽样，其基本事件总数为，其中有利于的基本事件个数为：，因此，或(2) 随机变量显然有1,2,3,4等4个可能值；以和分别表示第次抽到白球和黑球，则“不放回抽球直到首次出现白球为止”相当于“自含7个白球3个黑球的总体的4次不放回抽样”，其基本事件总数易见2.9 假设某自动生产线上产品的不合格品率为0.02，求随机抽取的30件中，(1) 不合格品不少于两件的概率；(2) 在已经发现一件不合格品的条件下，不合格品不少于两件的概率解 设是抽到的30件产品中不合格品的件数，则服从参数为(30,0.02)的二项分布(1) 不合格品不少于两件的概率(2) 在已经发现一件不合格品的条件下，不合格品不少于两件的条件概率说明 本题亦可用古典概型求解2.10某生产线平均每三分钟生产一件产品，假设不合格品率为0.01(1) 求8小时内出现不合格品件数的概率分布；(2) 问为使至少出现一件不合格品的概率超过95%最少需要多长时间？解 (1) 由条件知，若每三分钟生产一件成品，则8小时内平均可以生产8603=160件产品，每件产品为不合格品的概率是p=0.01，在160件成品中不合格品的件数X显然服从参数为（160，0.01）的二项分布(2) 设n至少出现一件不合格品所要生产产品的件数，则n件成品中不合格品的件数服从参数为（n，0.01）的二项分布；按题意，n应满足条件于是，要使至少出现一件不合格品的概率超过95%，最少需要2993=897分钟2.11设服从泊松分布，且已知，求解 以X表示随意抽取的一页上印刷错误的个数，以表示随意抽取的第k页上印刷错误的个数，由条件知X和服从同一泊松分布，未知分布参数决定于条件：于是=2由于随机变量显然相互独立，因此2.12 假设某药物产生副作用的概率为2求在1000例服用该药的患者中，(1) 恰好有0,1,2,3例出现副作用的概率，并利用泊松分布求其近似值；(2) 最少有一例出现副作用的概率，并利用泊松分布求其近似值解 设n例服药者出现副作用的人数，则服从参数为(n, p)的二项分布，近似服从参数为2的泊松分布(1) 恰好有0,1,2,3例出现副作用的概率相应为(2) 最少有一例出现副作用的概率2.13 某种玻璃器皿在汽车运输中的破损率为2%，现在一次运送1200件，试求，(1) 破损件数的概率分布；(2) 最多破损30件的概率，并利用泊松分布求其近似值解 1) 为求破损件数X的概率分布，考虑n=1200次伯努利试验，每次试验成功的概率为p=0.02，可见的概率分布是参数(1200, 0.02)为的二项分布由于，显然满足泊松定理的条件，可见X近似服从参数为24的泊松分布2) 最多破损30件的概率(利用泊松分布累积概率数值表)三、连续型随机变量2.14 设随机变量服从区间上的均匀分布，求对进行3次独立观测中，至少有2次的观测值大于3的概率解法1 易见，事件的概率设，则由条件知相互独立且若事件对的3次独立观测中至少两次的观测值大于3，则对的3次独立观测中，观测值都不大于3或恰好一次大于3；那么解法2 设3次独立试验事件出现的次数，则服从参数为的二项分布，其中因此2.15 某加油站每周的销售量(单位：104 L)是随机变量，其概率密度假设该加油站每周初将油库充满假如一周内油库被吸干的概率为1%，求油库的容积V解 由题意知，容积V满足条件由此可见(104 L)=6019 L2.16 假设随机变量，求 (1) 事件的概率；(2) 满足的常数；(3) 满足的常数解 由条件知，随机变量(1) 由标准正态分布函数数值表(附表1)，可见事件的概率(2)设标准正态分布函数，由条件知其中是标准正态分布水平双侧分位数(附表3)(3) 注意到，由条件知由标准正态分布水平双侧分位数(附表3)，可见2.17 设随机变量，分别求常数和使之满足：(1) ；(2) 解 (1) 由，可见于是 (2) 同理由此及标准正态分布函数值表(附表1)，可见于是2.18 假设某年级学生“概率论与数理统计”考试的成绩（百分制）服从正态分布；考试成绩75分以下者占34%，而90分以上的考生占14%，试求分布参数解 以表示该年级随意一个学生“概率论与数理统计”的考试成绩，由条件知，而且由此及标准正态分布函数值表(附表1)，得关于和的方程组:解方程组，得2.19 假设收音机的有效使用时间(单位：年)服从参数为0.125的指数分布现在某人买了一台旧收音机，试求收音机还能使用8年以上的概率解 以表示使用的年限，由条件知服从参数为0.125的指数分布不妨假设收音机至少已经使用了年熟知参数为0.125的指数分布函数为由于指数分布的无后效性，知于是，还能使用8年以上的概率2.20 某仪器上装有三只同样电气元件，其寿命同服从参数为=1/600的指数分布已知这各元件的状态相互独立，求在安装后工作的前200个小时里，至少有一只元件损坏的概率解 以表示第只元件的寿命，都服从同一指数分布，参数为；从而的分布函数为以表示事件“第只元件在仪器工作的前200个小时里损坏”，则四、随机变量的函数2.21 设随机变量服从二项分布, 求随机变量的概率分布.解 由于随机变量有0,1,2,3等4个可能值，可见有等3个可能值易见由可见于是，的概率分布为2.22 设随机变量服从上的均匀分布，求随机变量的分布律，其中解 由于服从上的均匀分布，知随机变量的概率分布为2.23 求随机变量的概率密度，其中随机变量的概率密度为解 设为随机变量的分布函数，则对于任意，有2.24 对圆片的直径进行测量，测量值在上均匀分布，求圆面积的密度函数解 圆面积是直径测量值的话是的函数：由于在上取值，而在之外=0，因此直径为圆面积表示为易见圆面积的值属于区间，其分布函数为由于圆面积的值属于区间，可见对于，有于是，圆面积的密度函数为2.25由统计物理学知，气体分子运动的绝对速度服从麦克斯韦(Maxwell)分布，其密度为求分子动能的概率密度，其中是分子的质量解 为的分布函数，则当时，=0当时，有于是2.26 设电流强度是一随机变量，在9A11A之间均匀分布；已知此电流通过2W的电阻时消耗的功率为，求的概率密度解 电流在区间（9,11）上均匀分布，其概率密度为由于是单调连续函数，它有唯一反函数：；当时，因此函数的值域为（162,242）于是，由随机变量的函数的概率密度公式（2.8），功率的概率密度为（B）一、单项选择题2.27 设是连续型随机变量X的概率密度，则一定是(A) 可积函数 (B) 连续函数(C) 可导函数 (D) 分析 应该选(A)因为正确选项比较明显，故宜用直选法(1) 直选法 由于概率密度都是可积函数，故(A)是正确选项(2) 排除法 为说明选项(B) (C) (D)都是应排除的错误选项，只需分别举出反例事实上，熟知概率密度一般未必是连续函数，例如，均匀密度、指数分布密度都不是连续函数，故选项(B)错误；均匀密度、指数分布密度都不导，故选项(C)错误；概率密度都不小于0，但是未必不大于1；例如，区间0,0.5上的均匀密度、参数为2的指数分布密度，其最大值都大于1，当方差充分小时正态密度的最大值也大于1于是选项(B) (C) (D)都是应排除的错误选项2.28 设，其概率密度为，分布函数为，则(A) (B) (C) (D) 分析 应填(D)(1) 直选法 因为对于，故从而(D)是正确选项(2) 排除法 概率密度为显然不是偶函数，故选项(A)错误；选项(B)成立当且仅当，然而对于显然，故选项(B)也是错误选项最后，例如，故选项(C)也是错误选项于是选项(A) (B) (C)都是应排除的错误选项2.29 设随机变量X服从指数分布，则随机变量的分布函数(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点(C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点 分析 应填(D)事实上，因为X的分布函数是连续函数设是的分布函数，则因为而，所以在y处恰好有一个间断点2.30 设是随机变量的分布函数，是相应的概率密度，则(A) 是分布函数 (B) 是分布函数(C) 是概率密度 (D) 是概率密度 分析 应该选(B)该题宜用直选法，亦可采用排除法(1) 直选法 设只需证明具有分布函数的三条基本性质由分布函数的基本性质，可见是单调不减的右连续函数，且满足，因此本身也是一个分布函数，因此(B)是正确选项(2) 排除法 容易验证(A), (C)和(D)不成立例如，故不是分布函数因此选项（A）错误；由于，可见不是概率密度，因此选项(C)错误；最后，设是标准正态密度，而是区间上的均匀分布密度，则，因此不是概率密度于是，只有(B)是正确选项2.31 随机变量与随机变量服从同一名称分布，如果服从(A) 二项分布 (B) 泊松分布(C) 正态分布 (D) 指数分布 解 应该选(C)该题宜用直选法，因为正态分布随机变量的线性函数仍然服从正态分布，应该是熟知的事实(1) 直选法设随机变量服从正态分布，其概率密度记作，以表示随机变量的概率密度因为，所以函数有唯一反函数；将代入随机变量的函数的密度公式(2.8)，得的概率密度由此可见，于是选项(C)正确(2) 排除法对于(A)和(B)，由于一般不取自然数为值，所以一般不服从二项分布和泊松分布对于(D)，假设服从参数为的指数分布，其概率密度为的概率密度为概率密度为的分布称做二参数指数分布或移位指数分布，不是选项(D)中的分布于是(A)，(B)和(D)都是错误选项，只有(C)是正确选项二、解答题2.32 设一本书的各页的印刷错误个数服从泊松分布律已知有一个和两个印刷错误的页数相同，试求随意抽查的4页中无印刷错误的概率解 以X表示随意抽取的一页上印刷错误的个数，以表示随意抽取的第k页上印刷错误的个数，由条件知X和服从同一泊松分布，未知分布参数决定于条件：于是由于随机变量显然相互独立，因此2.33 假设一日内到过某商店的顾客数服从参数为的泊松分布，而每个顾客实际购货的概率为分别以和表示一日内到过该商店的顾客中购货和未购货的人数，分别求和的概率分布解 是一日内到过该商店的顾客人数根据条件服从参数为的泊松分布由条件知，在一日内有个顾客到过该商店的条件下，购物人数的条件概率分布为由全概率公式可见，对于，有于是，一日内到过该商店的顾客中购物的人数服从参数为的泊松分布同理，服从参数为的泊松分布2.34 假设运载火箭在飞行中进入仪器舱的宇宙线粒子数服从参数为的泊松分布，而进入仪器舱的粒子到达仪器的要害部位的概率为试求到达要害部位的粒子数的概率分布解 设X是进入仪器舱的宇宙线粒子数，则由条件知X服从参数为的泊松分布，其中到达要害部位的粒子数关于X=n的条件概率分布是参数为的二项分布（参数为(0, p)的二项分布是只有0一个可能值的退化分布）：，其中由全概率公式可见，对于，有于是，服从参数为的泊松分布2.35设汽车发动机无故障工作的时间服从指数分布，已知平均无故障工作的时间为100个小时，试求其实际无故障工作的时间不少于80个小时的概率解 以X表示汽车发动机无故障工作的时间，则由条件知X服从指数分布，分布参数=0.01熟知这里指数分布的分布函数为因此无故障工作的时间不少于80个小时的概率2.36假设随机变量在区间上均匀分布，试求一元二次方程(1) 有两个不同实根的概率；(2) 有重根的概率解 因为随机变量在区间上均匀分布，所以其分布函数为一元二次方程的判别式为(1) 一元二次方程有两个不同实根，当且仅当 由于在区间上均匀分布，显然，因此当且仅当，可见该一元二次方程有两个不同实根，当且仅当于是一元二次方程有两个不同实根的概率为(2) 一元二次方程有重根，当且仅当，即当且仅当因此所给一元二次方程有重根的概率为，因为连续型随机变量等于任何给定值的概率都等于02.37 由于加工误差，钢球半径是随机变量，其概率密度为试求钢球的体积和表面积的概率密度和解 (1) 求钢球体积的概率密度由于半径的值域为，可见当和时设，则体积的分布函数为于是，钢球的体积的概率密度为(2) 求钢球表面积的概率密度由于半径的值域为，可见当和时=0设，则体积的分布函数为于是钢球表面积的概率密度为三、证明题2.38设和是随机变量的分布函数，和是非负常数，证明：也可以做随机变量的分布函数证明 只需验证满足分布函数的三条基本性质由条件知和是非负常数且由于和都是分布函数，可见：(1) 对于任意，有；对于任意实数，由于，可见,即单调不减(2) 由分布函数的一般性质，知和都右连续，可见也右连续(3) 由于和都是分布函数，知因此于是具有随机变量的分布函数的三条基本性质，所以它可以做随机变量的分布函数2.39 设随机变量X的密度函数关于对称，证明其分布函数满足：证明 假设的概率密度关于直线对称，即对于任意，有由随机变量的分布函数的定义，并经相应的换元，有由此可见于是命题正确2.40 设是分布函数，而且，证明，函数是分布函数证明 凡是具有这三条基本性质：单调不减性、右连续性，以及在等于0和在等于1的函数都可以做随机变量的分布函数因此，为证明是分布函数，只需证明它满足上述三条基本性质(1) 单调不减性对于任意，；对于任意，由于的单调不减性，可见因此是单调不减函数(2) 右连续性首先，记，由于不难证明是的左连续函数（见12例3.2.2的说明）：对于，从而右连续(3) 当时，当时，而且左连续因此于是，是分布函数2.41 设是连续型随机变量，是常数，证明随机变量也是连续型的证明 设的分布函数为，其中作为连续型随机变量的分布函数是连续函数因此，的分布函数为：由于分布函数数有概率密度，可见连续型随机变量2.42设，证明随机变量服从标准正态分布证明 (1) 设是标准正态分布函数由标准正态分布的对称性,对任意，有对于任意，有对于任意，有于是，随机变量服从标准正态分布习题3 随机向量及其概率分布习题解答（A）一、联合分布3.1 设随机变量等可能地取1,2,3为值，而随机变量等可能地取区间上的整数为值，求和的联合概率分布解 由条件概率的公式，有而由乘法公式，可见现在将的概率分布用列联表表示：YXX第3.2题和的联合分布1 2 3123 1/3 1/6 1/90 1/6 1/90 0 1/93.2 设，求解 引进事件：，则由条件知：因此，由加法公式，可见3.3 假设随机变量在区间服从均匀分布，随机变量 求和的联合概率分布解 随机向量有等4个可能值，于是和的联合概率分布为3.4 假设一批产品中有4件不合格品和16件合格品，接连从中随机地抽出两件，以和分别表示先后抽到不合格品的件数(0或1)，试求，(1)和的联合分布；(2) 由和的联合分布求和的概率分布解 (1) 按古典型概率公式分别计算为值的概率，得(2) 和都有0和1两个可能值，由全概率公式，有由此得和的概率分布：3.5* 将一颗色子独立地掷两次以表示第一次掷出的点数，表示两次出现点数的最大值求，(1) 随机变量与的联合分布；(2) 概率与；(3) 随机变量和的概率分布解 易见，随机变量有6个等可能值，而也有6个等可能值；基本事件的总数为36(1) 与的联合分布 有利于事件的有个等可能基本事件；对于，事件；对于，事件含5！=120个基本事件因此(2) 与 导致事件的基本事件共有6个，故设当基本事件属于集合时事件出现，而共含4个等可能基本事件，故(3) 和的概率分布 显然由于基本事件的总数为36个，其中导致事件的基本事件为；导致的基本事件3个：，导致的基本事件5个：易见，导致的基本事件个，因此3.6设随机变量和的联合密度为(1) 试求的概率密度；(2) 试求事件“大于”的概率；(3) 求条件概率解 (1) 易见，当时=0；对于，有(2) 事件“大于”的概率(3) 条件概率，其中于是3.7 假设随机变量X和Y联合密度为(1) 求未知常数以及概率密度；(2)* 求关于的条件密度解 (1) 未知常数 由此可见(2) 是的边缘密度当时显然=0；对于,有(2)* 条件密度 对于任意，有3.8 已知随机变量和的联合密度为求随机变量和的密度和解 对于；对于，有对于；对于，有于是 3.9 已知随机向量的概率密度为(1) 求随机变量和的概率密度和；(2) 求+不大于1的概率解 1) 随机变量和的概率密度和都是的边缘密度； y例3.9(2) 插图1O1/2xy=x1/2yxx+y=1同样可得随机变量的概率密度(2) +不大于1的概率其中积分区域是插图的阴影部分3.10 假设射手甲、乙的命中率相应为0.6和0.7二人各独立地进行一次射击，分别以和表示他们命中的次数(0或1)，求和的联合分布函数及其边缘分布函数解 (1) 求和的联合分布引进事件甲命中，乙命中由条件知和独立，；有4个可能值：，显然，因此于是得和的联合概率分布设为和的联合分布函数若或，则=0；对于，；对于对于，对于，显然=1于是，和的联合分布函数为(2) 求和的联合分布函数的边缘分布函数，可以通过两个途径：一是先由和的联合分布分别求和的概率分布，然后求分布函数；二是直接由联合分布函数求边缘分布函数我们用后一种方法求和的分布函数和易见，当时，=0；当时，=1；现在设，有于是，的分布函数为类似可得的分布函数3.11 设随机变量和的联合密度为求随机变量和的联合分布函数和概率解 设是和的联合分布函数当或时；设，则于是Gx1yO例3.12插图D43.12 设是