北师大版选修21 第三章4.1曲线与方程 课件（48张）.ppt

4曲线与方程4 1曲线与方程 第三章圆锥曲线与方程 学习导航 第一章常用的逻辑用语 1 曲线与方程的概念一般地 在平面直角坐标系中 如果某曲线c 看作满足某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系 1 曲线上点的坐标都是 2 以这个方程的解为坐标的点都在 那么 这条曲线叫作方程的曲线 这个方程叫作曲线的方程 这个方程的解 曲线上 2 求曲线方程 直接法 的一般步骤 1 建立适当的坐标系 用 表示曲线上任意一点m的坐标 2 写出符合条件的点m的集合 3 用坐标表示条件p m 列出方程 4 化方程f x y 0为最简形式 5 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 简记为 建系 列式 代换 化简 证明 一般地 步骤 5 可以省略不写 如有特殊情况 可以适当说明 另外也可以省略 2 直接列出曲线方程 x y d m p m f x y 0 3 求曲线方程的方法 1 按动点的特点求轨迹方程一般有下列几种方法 条件直译法 直接法 基本思想 根据形成轨迹的几何条件和图形性质 直接写出所求动点坐标满足的关系 即题设中有明显的等量关系的 或可用平面几何知识推出等量关系的 可用直译法 定义法定义法求轨迹有两种类型 一是若能确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义 如圆 椭圆 双曲线 抛物线等 则可根据曲线的定义直接写出轨迹方程 二是动点的轨迹与圆锥曲线有关 则可运用圆锥曲线定义求出动点的轨迹方程 相关点代入法基本思想 如果所求轨迹中的动点 随着另一动点的运动而运动 而另一动点又在某一条已知曲线c f x y 0上运动 此类问题常设法利用轨迹中的动点坐标 x y 表示已知曲线上的动点坐标 x1 y1 再将它代入已知曲线c的方程f x y 0即可 参数法基本思想 有时很难直接找出动点的坐标满足的关系 可借助中间变量 参数 建立动点坐标x y之间的联系 然后消去参数得到曲线方程 使用参数法求轨迹方程的关键是选择恰当的参数和如何消去参数 解题的一般步骤为 引入参数 建立参数方程 消去参数 得到一个等价的普通方程 注意 设立参数的原则 突出主要矛盾 抓住问题的关键 使运算相对简便 通常与圆有关的问题 设角为参数 与过定点的直线有关的问题 与两条互相垂直的直线有关的问题 设直线的斜率为参数 与动点有关 与两条直线或直线与曲线的交点有关的问题 设点的坐标为参数 交轨法在求动点轨迹时 有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题 这类问题常常通过解方程组得出交点 含参数 的坐标 再消去参数求出所求轨迹的方程 该法经常与参数法并用 2 求曲线的方程要注意以下几点 这也是在求轨迹方程时需要注意的 坐标系建立的不同 同一曲线的方程也不同 一般地 求哪个点的轨迹方程 就设哪个点的坐标是 x y 而不是设成 x1 y1 或 x y 等 化简方程化简到什么程度 课本没有给出明确的规定 一般指将方程f x y 0化成x y的整式 如果化简过程破坏了同解性 就需要剔除不属于轨迹上的点 找回属于轨迹而遗漏的点 轨迹方程 是坐标关系式 是一个方程 有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围 而 轨迹 是点的集合 是曲线 是几何图形 故求点的轨迹除了写出方程外 还必须指出这个方程所代表的曲线的形状 位置 范围 大小等 所以说 求轨迹方程和求轨迹是有所不同的 1 判断正误 正确的打 错误的打 1 在求曲线方程时 如果点有了坐标或曲线有了方程 则说明已经建立了平面直角坐标系 2 求曲线的方程时 所建坐标系不同 则求得的方程也不同 3 化简方程 x y 为 y x 是恒等变形 4 按照直接法求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验 c 解析 把点代入方程检验知点a c d成立 b点不成立 3 如图 方程x y 1 0表示的曲线是 解析 方程可化为 y 1 x 0 x 0 故选b b 曲线与方程的概念 1 如果曲线c上的点的坐标 x y 都是方程f x y 0的解 那么 a 以方程f x y 0的解为坐标的点都在曲线上b 以方程f x y 0的解为坐标的点 有些不在曲线c上c 不在曲线c上的点的坐标不是方程f x y 0的解d 坐标不满足f x y 0的点不在曲线c上 d 2 以方程f x y 0的解为坐标的点都在曲线c上 是 曲线c的方程是f x y 0 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 b 解析 1 条件中曲线c上的点的坐标 x y 都是方程f x y 0的解 满足定义中的纯粹性 但是以方程的解为坐标的点是否都在曲线上 这是无法判断的 故d正确 2 根据曲线方程的概念 曲线c的方程是f x y 0 包含 曲线c上的点的坐标都是这个方程f x y 0的解 和 以方程f x y 0的解为坐标的点都在曲线c上 的两层含义 可知是必要不充分条件 方法归纳解决此类问题要从两方面入手 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 即直观地说 点不比解多 称为纯粹性 2 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 即直观地说 解不比点多 称为完备性 只有点和解一一对应 才能说曲线是方程的曲线 方程是曲线的方程 1 设方程f x y 0的解集非空 如果命题 坐标满足方程f x y 0的点都在曲线c上 是不正确的 则下列命题正确的是 a 坐标满足方程f x y 0的点都不在曲线c上b 曲线c上的点的坐标都不满足方程f x y 0c 坐标满足方程f x y 0的点有些在曲线c上 有些不在曲线c上d 一定有不在曲线c上的点 其坐标满足f x y 0 d 解析 本题考查命题形式的等价转换 所给命题不正确 即 坐标满足方程f x y 0的点不都在曲线c上 是正确的 不都在 包括 都不在 和 有的在 有的不在 两种情况 故a c错 b显然错 方程与曲线的判断 方法归纳 1 判断方程表示什么曲线 必要时要对方程适当变形 变形过程中一定要注意与原方程等价 否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线 2 判断点是否在方程所表示的曲线上 只需将点的坐标代入方程 若方程成立 则点在曲线上 若方程不成立 则点不在曲线上 c 求轨迹方程 设圆c x 1 2 y2 1 过原点o作圆的任意弦 求所作弦的中点的轨迹方程 方法归纳求轨迹方程关键是建立恰当的坐标系 已给的不需建系 常见的建系方法有 以已知定点为原点 以已知定直线为坐标轴 x轴或y轴 以已知线段所在的直线为坐标轴 x轴或y轴 以已知线段的中点为原点 以已知互相垂直的两定直线为坐标轴 让尽量多的已知点在坐标轴上 总之一句话 遵循垂直性和对称性原则 3 已知在直角三角形abc中 角c为直角 点a 1 0 点b 1 0 求满足条件的点c的轨迹方程 求曲线2y2 3x 3 0与曲线x2 y2 4x 5 0的公共点 两曲线的交点问题 方法归纳曲线与曲线的交点问题需要解方程组 4 已知直线l y x b与曲线c y 有两个公共点 求b的取值范围 2014 安阳高二检测 已知点q 2 0 和圆x2 y2 1 动点m到圆o的切线长等于圆o的半径与 mq 的和 求动点m的轨迹方程