第2章 第11节　第2课时　导数与函数的极值、最值.doc

第2课时导数与函数的极值、最值(对应学生用书第37页)利用导数解决函数的极值问题角度1根据函数图象判断函数极值的情况设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图2113所示，则下列结论中一定成立的是()图2113A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D由题图可知，当x2时，f(x)0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值角度2求已知函数的极值(2017全国卷)若x2是函数f(x)(xax1)e1的极值点，则f(x)的极小值为()A1B2e3C5e3 D1A函数f(x)(xax1)e1，则f(x)(2xa)e1(xax1)e1e1x(a2)xa1由x2是函数f(x)的极值点得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30，所以a1.所以f(x)(xx1)e1，f(x)e1(xx2)由e10恒成立，得x2或x1时，f(x)0，且x0；2x1时，f(x)1时，f(x)0.所以x1是函数f(x)的极小值点所以函数f(x)的极小值为f(1)1.故选A角度3已知函数极值求参数的值或范围(1)已知f(x)x33axbxa在x1时有极值0，则ab_.(2)(2018湖北调考)已知函数f(x)x4x3ln x在(t，t1)上存在极值点，则实数t的取值范围为_(1)7(2)(0,1)(2,3)(1)由题意得f(x)3x6axb，则解得或经检验当a1，b3时，函数f(x)在x1处无法取得极值，而a2，b9满足题意，故ab7.(2)由题意得f(x)x4(x0)由f(x)0得x1或x3，所以要使函数f(x)在(t，t1)上存在极值点，则t1t1或t3t1，即0t1或2t3，所以实数t的取值范围为(0,1)(2,3)规律方法1.利用导数研究函数极值问题的一般流程2已知函数极值点和极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值列方程组，利用待定系数法求解(2)验证：因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性跟踪训练(1)已知函数f(x)x3axbxa7a在x1处取得极大值10，则的值为()【导学号：97190081】AB2C2或 D不存在(2)函数y2x的极大值是_(1)C(2)3(1)f(x)x3axbxa7a，f(x)3x2axb，由题意知f(1)32ab0，b32a，又f(1)1aba7a10，将代入整理得a8a120，解得a2或a6.当a2时，b1；当a6时，b9.2或，故选C(2)y2，令y0，得x1.当x1时，y0；当1x0时，y0；当x0时，y0，所以当x1时，y取极大值3.利用导数解决函数的最值问题(2017北京高考)已知函数f(x)ecos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)因为f(x)ecos xx，所以f(x)e(cos xsin x)1，f(0)0.又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)e(cos xsin x)1，则h(x)e(cos xsin xsin xcos x)2esin x.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减所以对任意x有h(x)h(0)0，即f(x)0.所以函数f(x)在区间上单调递减因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f.规律方法求函数f(x)在a，b上的最大值、最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值.(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b).(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.跟踪训练设函数f(x)aln xbx(x0)，若函数f(x)在x1处与直线y相切(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值解(1)f(x)2bx，因为函数f(x)在x1处与直线y相切，所以解得(2)由(1)知，f(x)ln xx，f(x)x，因为当xe时，令f(x)0，得x1；令f(x)0，得1xe，所以f(x)在上单调递增，在(1，e上单调递减，所以f(x)maxf(1).函数极值与最值的综合问题已知常数a0，f(x)aln x2x.(1)当a4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于a时，求实数a的取值范围. 【导学号：97190082】解(1)由已知得f(x)的定义域为(0，)，f(x)2.当a4时，f(x).所以当0x2时，f(x)0，即f(x)单调递减；当x2时，f(x)0，即f(x)单调递增所以f(x)只有极小值，且在x2时，f(x)取得极小值f(2)44ln 2.所以当a4时，f(x)只有极小值44ln 2.(2)因为f(x)，所以当a0，x(0，)时，f(x)0，即f(x)在x(0，)上单调递增，没有最小值；当a0时，由f(x)0得，x，所以f(x)在上单调递增；由f(x)0得，x，所以f(x)在上单调递减所以当a0时，f(x)的最小值为faln2.根据题意得faln2a，即aln(a)ln 20.因为a0，所以ln(a)ln 20，解得a2，所以实数a的取值范围是2,0)规律方法解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小.(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较才能下结论，即函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.跟踪训练已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在区间1，e(e为自然对数的底数)上的最大值解(1)当x1时，f(x)3x2xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)极小值极大值所以当x0时，函数f(x)取得极小值f(0)0，函数f(x)的极大值点为x.(2)当1x1时，由(1)知，函数f(x)在1,0)和上单调递减，在上单调递增因为f(1)2，f