第38讲数学归纳法.docx

第38讲数学归纳法考纲要求考情分析命题趋势了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.2015陕西卷，212014重庆卷，22数学归纳法一般以数列、集合为背景，用“归纳猜想证明”的模式考查.分值：05分一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取n0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明()(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项()(4)用数学归纳法证明不等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应该为122223.()解析 (1)错误用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n为初始值时结论成立，不一定是n1.(2)错误不一定所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明(3)错误不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数的增加根据题目而定(4)正确用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223是正确的2在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时，第一步检验n(C)A1B2C3D4解析 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n3.3用数学归纳法证明“12222n12n1(nN*)”的过程中，第二步nk时等式成立，则当nk1时，应得到(D)A12222k22k12k11B12222k2k12k12k1C12222k12k12k11D12222k12k2k11解析 由条件知，左边从20,21到2n1都是连续的，因此当nk1时，左边应为12222k12k，而右边应为2k11.4用数学归纳法证明1222(n1)2n2(n1)22212时，则从nk到nk1时，等式左边应添加的式子是(B)A(k1)22k2B(k1)2k2C(k1)2D(k1)2(k1)21解析 由nk到nk1时，左边增加(k1)2k2，故选B5用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN*)时命题为真，进而需证n_2k1_时，命题亦真解析 因为n为正奇数，所以与2k1相邻的下一个奇数是2k1.一数学归纳法证明等式数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少(2)注意点：由nk时等式成立，推出nk1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确地写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法【例1】 求证：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*)证明 当n1时，左边12223，右边3，等式成立假设nk(k1，kN*)时，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1时，等式也成立由得，等式对任意nN*都成立二数学归纳法证明不等式(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证明，则可考虑应用数学归纳法(2)数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等方法证明【例2】 已知数列an，an0，a10，aan11a，求证：当nN*时，anan1.证明 当n1时，因a2是方程aa210的正根，所以a10，f(x)，令a11，an1f(an)，nN*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论解析 (1)a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).猜想an(nN*)(2)证明：易知，n1时，猜想正确假设nk(kN*)时猜想正确，即ak，当nk1时，ak1f(ak).这说明nk1时猜想正确由知，对于任意nN*，都有an.1设f(n)1(nN*)，求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)证明 当n2时，左边f(1)1，右边21，左边右边，等式成立假设nk(k2，kN*)时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当nk1时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，当nk1时结论仍然成立由可知，f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)2用数学归纳法证明11n(nN*)证明 当n1时，左边1，右边1，1，即命题成立假设当nk(kN*)时命题成立，即11k，则当nk1时，112k1，又1k2k(k1)，即nk1时，命题成立由可知，命题对所有nN*都成立3将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1S3S5S2n1的结果，并用数学归纳法证明S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，解析 由题意知，当n1时，S1114；当n2时，S1S31624；当n3时，S1S3S58134；当n4时，S1S3S5S725644；猜想：S1S3S5S2n1n4.下面用数学归纳法证明：当n1时，S1114，等式成立假设当nk(kN*)时等式成立，即S1S3S5S2k1k4，那么，当nk1时，S1S3S5S2k1S2k1k4(2k2k1)(2k2k2)(2k2k2k1)k4(2k1)(2k22k1)k44k36k24k1(k1)4，所以当nk1时，等式也成立根据和，可知对于任意的nN*，S1S3S5S2n1n4都成立4已知函数f(x)xxln x，数列an满足0a11，an1f(an)，nN*.证明：对任意nN*，不等式0an0，故f(x)在x(0,1)时为单调递增函数下面用数学归纳法证明：对任意nN*，不等式0an1都成立当n1时，已知0a11，不等式成立；又当n2时，由a1ln a1a10，且有a2f(a1)a1a1ln a1f(1)1，即0a21，不等式也成立假设当nk(kN*)时，有0akak11成立，则当nk1时，由f(x)在x(0,1)时为单调递增函数，且0a1akak11，得f(ak)f(ak1)f(1)，即ak1ak20，所以有0ak1ak21，不等式也成立综合知，对任意nN*，不等式0an，11,1，12，你能猜想得到一个怎样的一般不等式？用数学归纳法证明你的结论解析 根据给出的几个不等式：1，11,1，12，即一般不等式为1.用数学归纳法证明如下：当n1时，1，猜想正确假设nk(k1，kN*)时猜想成立，即不等式为1，则当nk1时，1，即当nk1时，猜想也成立，所以对任意的nN*，不等式成立【跟踪训练1】 设a11，an11(nN*)，求a2，a3，an，并用数学归纳法证明你的结论解析 a22，a31，可写为a11，a21，a31.因此猜想an1.下面用数学归纳法证明上式：当n1时结论显然成立假设nk时结论成立，即ak1，则ak1111.这就是说，当nk1时结论成立综上可知，an1(nN*)课时达标第38讲解密考纲在高考中，数学归纳法常在压轴题中使用，考查利用数学归纳法证明不等式一、选择题1用数学归纳法证明：“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)”，从“k到k1”左端需增乘的代数式为(B)A2k1B2(2k1)CD解析 当nk时，有(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)，则当nk1时，有(k2)(k3)(2k1)(2k2)显然增乘的2(2k1)2用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(C)A2B3C5D6解析 n4时，24421；n5时，25521，故n05.3已知f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的关系是(A)Af(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2Bf(k1)f(k)(k1)2Cf(k1)f(k)(2k2)2Df(k1)f(k)(2k1)2解析 f(k1)122232(2k)2(2k1)22(k1)2f(k)(2k1)2(2k2)2，故选A4(2018安徽黄山模拟)已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证(B)Ank1时等式成立Bnk2时等式成立Cn2k2时等式成立Dn2(k2)时等式成立解析 根据数学归纳法步骤可知，要证n为正偶数对原式成立，已知假设nk(k2且k为偶然)时，命题为真，则下一步需证下一个正偶数即nk2时命题为真，故选B5设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命题总成立的是(D)A若f(1)1成立，则f(10)100成立B若f(2)4成立，则f(1)1成立C若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立D若f(4)16成立，则当k4时，均有f(k)k2成立解析 A，B项与题设中不等方向不同，故A，B项错；C项中，应该是k3时，均有f(k)k2成立；D项符合题意6对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，所以当nk1时，不等式成立(D)A过程全部正确Bn1验证不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1推理不正确解析 在nk1时，没有应用nk时的假设，即从nk到nk1的推理不正确，故选D二、填空题7用数学归纳法证明11)时，第一步应验证的不等式是_11知，n取第一个值n02，当n2时，不等式为12.8设数列an的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn1)2anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn_.解析 由(S11)2S，得：S1；由(S21)2(S2S1)S2，得：S2；由(S31)2(S3S2)S3，得：S3.猜想Sn.9设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)个平面区域，则f(2)_4_，f(n)_n2n2_(n1，nN*)解析 易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n1)f(n)2n(n1)，所以f(n)f(1)n(n1)，而f(1)2，从而f(n)n2n2.三、解答题10求证：1(nN*)证明 当n1时，左边1，右边，左边右边，等式成立假设nk(kN*)时等式成立，即1，则当nk1时，.即当nk1时，等式