北师大版选修41 1.2.1 圆周角定理 课件（23张） .ppt

2圆与直线第一课时圆周角定理 基础梳理1 圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 应当注意的是 圆周角与圆心角一定是对着 它们才有上面定理中所说的数量关系 2 圆心角定理圆心角的度数它所对弧的度数 一半 同一条弧 等于 3 圆周角定理的推论推论1同弧或等弧所对的圆周角 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧 推论2半圆 或直径 所对的圆周角是 90 的圆周角所对的弦是 相等 也相等 直角 直径 2 如图 ab bc a 25 则 boc a 25 b 50 c 30 d 都不对答案 b 要点阐释1 在一个圆中 圆周角与它所对的弧的对应关系在解决问题中有什么作用 实践中如何加以应用 剖析 在圆中 只要有弧 就存在着弧所对的圆周角 同弧所对的圆周角相等 而相等的角为几何命题的推论提供了条件 但是在刚刚学习圆的知识或图形比较复杂时 往往缺少用这个知识的意识 应该在实践中不断摸索和总结规律 2 在圆中 直径所对的圆周角等于90 解决问题时 应怎样利用这一条件 剖析 只要在已知中给出了直径这一条件 一是要想到它和半径的关系 还要想到它所对的圆周角 便得到了直角三角形 这样有关直角三角形的性质便可应用了 此题必须先证ad ab所在 abd为直角三角形 此时连接bd 可由直径所对的圆周角为90 这样就得到了所需的条件 又如图 2 在 o中 直径ab cd 弦ae cf 要证 abe cdf 在知 a c ab cd时 缺少一个条件 由ab cd为直径 想到连接be df 便可知 e f 90 这就为证三角形全等提供了条件 1 2 注意 1 在圆周角定理的证明中 运用了数学中分类讨论和化归的思想以及归纳的证明方法 这个定理是从特殊情况入手研究的 当角的一边过圆心时 得到圆周角与同弧上的圆心角的关系 然后研究当角的一边不经过圆心时 圆周角与同弧上的圆心角之间的关系 在角的一边不经过圆心时 又有两种情况 一是圆心在圆周角内 二是圆心在圆周角外 经过这样分不同情况的讨论 最后得到不论角的一边是否经过圆心 都有定理中的结论成立 在几何里 许多定理的证明 都需要像这样分情况进行讨论 后面还会遇到这种分情况证明的定理 2 通过圆周角定理的分析 证明 可以看到 在几何里讨论问题时 常常从特殊情况入手 因为在特殊情况下问题往往容易解决 如图 中间一种情况为圆周角的一边经过圆心 此时 aob 2 c很容易证明 特殊情况下的问题解决之后 再想办法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题 如图左图和右图的情况 通过辅助线 把它们变成中间那样的两个角的和或差 这样利用特殊情况下的结论 便可使一般情况下的结论得证 3 圆周角定理也可理解成一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半 4 圆周角定理及其推论是进一步推导圆及其他重要性质的理论依据 而且对于角的计算 推证角相等 弧相等 弦相等 判定相似三角形 直角三角形等平面几何中常见问题提供了十分简便的方法 学习中要注意体会 典例剖析类型一圆周角与圆心角问题 例1 已知ad是 abc的高 ae是 abc的外接圆的直径 求证 bae dac 证明 连接be 因为ae为直径 所以 abe 90 因为ad是 abc的高 所以 adc 90 所以 adc abe 因为 e c 所以 bae 180 abe e dac 180 adc c 所以 bae dac 点评 当题目中出现直径时 要有意识地构造直径所对的圆周角 从而出现直角和直角三角形 1 如下左图 oa是 o的半径 以oa为直径的 c与 o的弦ab相交于点d 求证 d是ab的中点 证明 连接od be 因为 ado abe 90 所以od和be平行 又因为o是ae的中点 所以d是ab的中点 类型二圆周角 圆心角在实际问题中的应用 例3 为了保证船只航行安全 在暗礁区近旁设两个灯塔a b 图 海港工人把灯塔a b对暗礁区所张的角amb 称为危险角 的大小通知船只s 航行船只只要保持对灯塔a b所张的视角 asb小