南京期初数学.DOC

南京市高三数学试卷第页(共6页)南京市2012届高三年级学情调研卷数学(满分160分，考试时间120分钟)201109参考公式：椎体的体积公式为VSh，其中S是椎体的底面积，h是椎体的高一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 命题“xR，x22x10”的否定是_2. 已知直线l经过点P(2,1)，且与直线2x3y10垂直，则l的方程是_3. 设复数z满足(z1)i1i，其中i是虚数单位，则复数z的模是_4. 某工厂生产某种产品5 000件，它们来自甲、乙、丙3条不同的生产线为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样若从甲、乙、丙三条生产线抽取的件数之比为122，则乙生产线生产了_件产品5. 有四条线段，其长度分别为2,3,4,5，现从中任取三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_6. 阅读右面的流程图若输入x的值为8，则输出y的值是_开始输入xx0ylog2x输出y结束y2xNY（第6题图）7. 设函数f(x)的定义域为集合A，则集合AZ中元素的个数是_8. 已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)x，则f(4)的值是_9. ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足csinAacosC，则角C_.10. 在等比数列an中，若a1，a44，则|a1|a2|a6|_.11. 已知a，b均为单位向量若|a2b|，则向量a，b的夹角等于_12. 如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是_(第12题)13. 已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.过点F作倾斜角为60的直线与抛物线在第一象限的交点为A，过A作l的垂线，垂足为A1，则AA1F的面积是_14. 在平面直角坐标系xOy中，若直线ykx1与曲线yxx有四个公共点，则实数k的取值范围是_二、 解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)已知函数f(x)2sinxcosx2sin2x.(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 求函数f(x)在区间，上的最大值和最小值16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点D、E分别在边BC、B1C1上，CDB1EAC，ACD60.求证：(1) BE平面AC1D；(2) 平面ADC1平面BCC1B1.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F.若C的右准线l的方程为x4，离心率e.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 设点P为直线l上一动点，且在x轴上方圆M经过O、F、P三点，求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程18. (本小题满分16分)经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km的水果批发市场据测算，J型卡车满载行驶时，每100 km所消耗的燃油量u(单位：L)与速度v(单位：km/h)的关系近似地满足u除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元已知燃油价格为每升(L)7.5元(1) 设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用)，将y表示成速度v的函数关系式；(2) 卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？19. (本小题满分16分)已知函数f(x)x2(12a)xalnx(a为常数)(1) 当a1时，求曲线yf(x)在x1处切线的方程；(2) 当a0时，讨论函数yf(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间20. (本小题满分16分)设等差数列an的前n项和是Sn，已知S39，S636.(1) 求数列an的通项公式；(2) 是否存在正整数m、k，使am，am5，ak成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，说明理由；(3) 设数列bn的通项公式为bn3n2.集合Ax|xan，nN*，Bx|xbn，nN*将集合AB中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，求cn的通项公式.南京市高三数学附加题试卷第页(共2页)南京市2012届高三年级学情调研卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修41：几何证明选讲如图，AB为圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，若DADC，求证：AB2BC.B. 选修42：矩阵与变换已知矩阵A.在平面直角坐标系中，设直线l：2xy70在矩阵A对应的变换作用下得到另一直线l：9xy910，求实数m、n的值C. 选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l：cos，圆C：4cos，求直线l被圆C截得的弦长D. 选修45：不等式选讲解不等式：|2x1|3x1.【必做题】 第22题、第23题，每小题10分，共20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. 一个口袋中装有大小和质地都相同的白球和红球共7个，其中白球个数不少于红球个数依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球记取球的次数为随机变量X.若P(X2).(1) 求口袋中的白球个数；(2) 求X的概率分布与数学期望23.如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点P，Q，R分别是棱AB，CC1，D1A1的中点(1) 求证：B1D平面PQR；(2) 设二面角B1PRQ的大小为，求|cos|.南京市高三数学参考答案第页(共4页)南京市2012届高三年级学情调研卷数学参考答案及评分标准一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. xR，x22x102. 3x2y403. 4. 2 0005. 6. 37. 58. 29. 10. 11. 12. 13. 414. 二、 解答题：本大题共6小题，共90分15. 解：(1) 因为f(x)sin2x12sin2x1sin2xcos2x1(4分)2sin1，(6分)所以函数f(x)的最小正周期T.(8分)(2) 因为x，所以2x.(10分)于是，当2x，即x时，f(x)取得最小值2；当2x，即x时，f(x)取得最大值1.(14分)16. 证明：(1) 由三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，得BCB1C1，BCB1C1.因为点D、E分别在边BC、B1C1上，CDB1E，所以BDC1E，BDC1E.所以四边形BDC1E是平行四边形所以BEC1D.(4分)因为C1D平面AC1D，BE平面AC1D，所以BE平面AC1D.(6分)(2) 由三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，得CC1平面ABC.因为AD平面ABC，所以ADCC1.(8分)在ACD中，由CDAC，ACD60，得ADAC.所以AD2CD2AC2.所以ADC90，即ADBC.(10分)因为BC平面BCC1B1，CC1平面BCC1B1，BCCC1C，所以AD平面BCC1B1.(12分)因为AD平面ADC1，所以平面ADC1平面BCC1B1.(14分)17. 解：(1) 由题意，设椭圆C的标准方程为1(ab0)，则解得a2，c2.(4分)从而b2a2c24.所以所求椭圆C的标准方程为1.(6分)(2) (方法一)由(1)知F(2,0)由题意可设P(4，t)，t0.线段OF的垂直平分线方程为x1.因为线段FP的中点为，斜率为，所以FP的垂直平分线方程为y(x3)，即yx.联立，解得即圆心M.(10分)因为t0，所以22，当且仅当，即t2时，圆心M到x轴的距离最小，此时圆心为M(1,2)，半径为OM3.故所求圆M的方程为(x1)2(y2)29.(14分)(方法二)由(1)知F(2,0)由题意可设P(4，t)，t0.因为圆M过原点O，故可设圆M的方程为x2y2DxEy0.将点F、P的坐标代入得解得所以圆心M的坐标为，即.(10分)因为t0，所以22，当且仅当，即t2时，圆心M到x轴的距离最小，此时E4.故所求圆M的方程为x2y22x4y0.(14分)18. 解：(1) 由题意，当0v50时，y7.5u30030300690；(4分)当v50时，y7.5u30030300600.所以y(8分)(2) 当0v50时，y690是单调减函数，故v50时，y取得最小值ymin6903 150；(10分)当v50时，y600(v50)由y0得v100.(12分)当50v100时，y0，函数y600单调递减；当v100时，y0，函数y600单调递增所以当v100时，y取得最小值ymin6002 400.(14分)由于3 1502 400，所以当v100时，y取得最小值答：当卡车以100 km/h的速度行驶时，运送这车水果的费用最少(16分)19. 解：(1) 当a1时，f(x)x2xlnx，所以f(x)2x1.(2分)所以f(1)2，且f(1)2.所以曲线yf(x)在x1处切线的方程为y22(x1)，即y2x.(4分)(2) 由题意得f(x)2x(12a)(x0)由f(x)0，得x1，x2a.(7分) 当0a时，由f(x)0，结合x0，得0xa，或x1；由f(x)0，结合x0，得ax.所以函数f(x)的单调增区间是(0，a)和，单调减区间是.(10分) 当a时，f(x)0，且仅当x时，f(x)0，所以函数f(x)在区间(0,1)上为增函数(12分) 当a1时，由f(x)0，结合x0，得0x，或ax1；由f(x)0，结合x0，得xa.所以函数f(x)的单调增区间是和(a,1)，单调减区间是.(14分) 当a1时，由f(x)0，结合x0，得0x；由f(x)0，得x1.所以函数f(x)的单调增区间是，单调减区间是.(16分)20. 解：(1) 设等差数列an的公差是d，由S39和S636，得解得a11，d2.所以ana1(n1)d2n1.即数列an的通项公式是an2n1(nN*)(3分)(2) am，am5，ak成等比数列等价于(2m1)(2k1)(2m9)2，等价于2k12m120.即km10，m、k是正整数(7分)所以存在正整数m、k，使am，am5，ak成等比数列m和k的值是m1，k61；或m3，k23；或m13，k25.(9分)(3) 因为a3k22(3k2)16k5，a3k12(3k1)16k3，a3k23k16k1；b2k13(2k1)26k5a3k2，b2k32k26k2A，(12分)所以a3k2b2k1a3k1b2ka3k，k1,2,3，(14分)即当n4k3(kN*)时，cn6k5；当n4k2(kN*)时，cn6k3；当n4k1(kN*)时，cn6k2；当n4k(kN*)时，cn6k1.所以cn的通项公式是cn(kN*)，即cn(16分)南京市高三数学附加题参考答案第页(共2页)南京市2012届高三年级学情调研卷数学附加题参考答案及评分标准21. A. 选修41：几何证明选讲证明： 连结OD.因为DC是圆O的切线，所以ODDC.(3分)因为DADC，记A，则CA.又DOCOADODA2OAD2.在ODC中，DOCDCO390，所以30.(7分)所以OC2OD.又OBOD，所以BCOB.所以AB2BC.(10分)B. 选修42：矩阵与变换解：设(x0，y0)是直线l上任一点，点(x0，y0)在矩阵A对应的变换作用下变为(x，y)，则，所以(4分)因为点(x，y)在直线l：9xy910上，所以9xy910.代入得9mx0(x0ny0)910，即(9m1)x0ny0910.因为点(x0，y0)在直线l：2xy70上，所以2x0y070，所以(9m1)xny910与2xy70表示同一直线，所以，解得m3，n13.(10分)C. 选修44：坐标系与参数方程解：直线l的极坐标方程可化为cossin3，化为直角坐标方程为xy30.(3分)圆C: 4cos化为直角坐标方程为x2y24x，即(x2)2y24.(6分)因为圆心C(2,0)到直线l的距离d，所以弦长为2.(10分)D. 选修45：不等式选讲解：不等式|2x1|3x1同解于或(5分)同解于或即x或0x.所以不等式解集为x|x0(10分)22. 解：(1) 设口袋中白球数为n，则由P(X2)，得.(3分)即n(7n)12，解得n4或3.因为白球数不少于红球数，故白球个数为4.(5分)(2) 因为P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以X的分布列为X1224P(8分)E(X)12341.6，即X的数学期望是1.6.(10分)23. 解：(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，以点A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴