南通数学卷小.DOC

2013届高三调研测试试卷(五)数学(满分160分，考试时间120分钟)201301一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 已知全集UR，集合Ax|x10，则UA_2. 已知复数z(i是虚数单位)，则复数z所对应的点位于复平面的第_象限3. 已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是_4. 定义在R上的函数f(x)，对任意xR都有f(x2)f(x)，当x(2，0)时，f(x)4x，则f(2 013)_5. 已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q的_(填“逆命题”“否命题”“逆否命题”或“否定”)6. 已知双曲线1的一个焦点与圆x2y210x0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为_7. 若Sn为等差数列an的前n项和，S936，S13104，则a5与a7的等比中项为_8. 已知实数x1，9，执行如右图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为_(第8题)9. 在ABC中，若AB1，AC，|，则_10. 已知0a1，loga(2xy1)loga(3yx2)，且xy，则的最大值为_11. 曲线f(x)exf(0)xx2在点(1，f(1)处的切线方程为_12. 如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时则该物体5 s时刻的位移为_cm.(第12题)13. 已知直线yax3与圆x2y22x80相交于A、B两点，点P(x0，y0)在直线y2x上，且PAPB，则x0的取值范围为_14. 设P(x，y)为函数yx21(x)图象上一动点，记m，则当m最小时，点P的坐标为_二、 解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点求证：(1) EF平面ABC；(2) 平面AEF平面A1AD.16. (本小题满分14分)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，tanC.(1) 求角C的大小；(2) 若ABC的外接圆直径为1，求a2b2的取值范围17. (本小题满分14分)某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4 m这种薄板须沿其对角线折叠后使用如图所示，ABCD(ABAD)为长方形薄板，沿AC折叠后AB交DC于点P.当ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACBPD的面积最大时制冷效果最好(1) 设ABx m，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；(2) 若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？(3) 若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？18. (本小题满分16分)已知数列an中，a21，前n项和为Sn，且Sn.(1) 求a1；(2) 证明数列an为等差数列，并写出其通项公式；(3) 设lgbn，试问是否存在正整数p、q(其中1pq)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由19. (本小题满分16分)已知左焦点为F(1，0)的椭圆过点E.过点P(1，1)分别作斜率为k1、k2的椭圆的动弦AB、CD，设M、N分别为线段AB、CD的中点(1) 求椭圆的标准方程(2) 若P为线段AB的中点，求k1；(3) 若k1k21，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标20. (本小题满分16分)已知函数f(x)ax(x0且x1)(1) 若函数f(x)在(1，)上为减函数，求实数a的最小值；(2) 若x1、x2e，e2，使f(x1)f(x2)a成立，求实数a的取值范围. 2013届高三调研测试试卷(五)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A. 选修4-1：几何证明选讲(本小题满分10分)如图，ABC是O的内接三角形，若AD是ABC的高，AE是O的直径，F是BC的中点求证：(1) ABACAEAD；(2) FAEFAD.B. 选修4-2：矩阵与变换(本小题满分10分)已知曲线C：y22x，在矩阵M对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩阵N对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线C2的方程C. 选修4-4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合曲线C的极坐标方程为2cos232sin23，直线l的参数方程为 (t为参数，tR)试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大D. 选修4-5：不等式选讲(本小题满分10分)已知a0，b0，且2ab1，求S24a2b2的最大值【必做题】 第22题、第23题，每题10分，共20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. 如图，已知定点R(0，3)，动点P、Q分别在x轴和y轴上移动，延长PQ至点M，使，且0.(1) 求动点M的轨迹C1；(2) 圆C2：x2(y1)21，经过(0，1)的直线l交C1于A、D两点(从左到右)，交C2于B、C两点(从左到右)，求证：为定值已知数列an满足：a12a2，an1aan11(nN*)(1) 若a1，求数列an的通项公式；(2) 若a3，试证明：对nN*，an是4的倍数2013届高三调研测试试卷(五)(南通)数学参考答案及评分标准1. (，12. 三3. 484. 5. 否命题6. 17. 48. 9. 10. 211. yex12. 1.513. (1，0)(0，2)14. (2，3)15. 证明：(1) 连结A1B和A1C.因为E、F分别是侧面AA1B1B和侧面AA1C1C的对角线的交点，所以E、F分别是A1B和A1C的中点所以EFBC.(3分)又BC平面ABC，EF平面ABC，所以EF平面ABC.(6分)(2) 因为三棱柱ABCA1B1C1为正三棱柱，所以A1A平面ABC，所以BCA1A.故由EFBC，得EFA1A.(8分)又D是棱BC的中点，且ABC为正三角形，所以BCAD.故由EFBC，得EFAD.(10分)而A1AADA，A1A、AD平面A1AD，所以EF平面A1AD.(12分)又EF平面AEF，故平面AEF平面A1AD.(14分)16. 解：(1) 因为tanC，即，所以sinCcosAsinCcosBcosCsinAcosCsinB，即sinCcosAcosCsinAcosCsinBsinCcosB，得sin(CA)sin(BC)(4分)所以CABC，或CA(BC)(不成立)即2CAB，得C.(7分)(2) 由C，设A，B，0A、B，知.因为a2RsinAsinA，b2RsinBsinB，(8分)所以a2b2sin2Asin2B11cos2.(11分)由，知2，cos21，故a2b2.(14分)17. 解：(1) 由题意，ABx，BC2x.因x2x，故1x2.(2分)设DPy，则PCxy.因ADPCBP，故PAPCxy.由PA2AD2DP2，得(xy)2(2x)2y2y2，1x2.(5分)(2) 记ADP的面积为S1，则S1(2x)(6分)322，当且仅当x(1，2)时，S1取得最大值(8分)故当薄板长为 m，宽为(2) m时，节能效果最好(9分)(3) 记ADP的面积为S2，则S2x(2x)(2x)3，1x2.(10分)于是S20x.(11分)关于x的函数S2在(1，)上递增，在(，2)上递减所以当x时，S2取得最大值(13分)故当薄板长为 m，宽为(2) m时，制冷效果最好(14分)18. (1) 解：令n1，则a1S10.(3分)(2) 证明：由Sn，即Sn，得Sn1.，得(n1)an1nan.于是nan2(n1)an1.，得nan2nan2nan1，即an2an2an1.(7分)又a10，a21，a2a11，所以，数列an是以0为首项，1为公差的等差数列所以，ann1.(9分)(3) 解：假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是，.(11分)所以，q3q(*)易知(p，q)(2，3)为方程(*)的一组解(13分)当p3，且pN*时，0，故数列(p3)为递减数列，于是0，所以此时方程(*)无正整数解综上，存在唯一正整数数对(p，q)(2，3)，使b1、bp、bq成等比数列(16分)19. (1) 解：依题设c1，且右焦点F(1，0)所以，2aEFEF2，b2a2c22，故所求的椭圆的标准方程为1.(4分)(2) 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.，得0.所以，k1.(9分)(3) 证明：依题设，k1k2.设M(xM，yM)，直线AB的方程为y1k1(x1)，即yk1x(1k1)，亦即yk1xk2，代入椭圆方程并化简得(23k)x26k1k2x3k60.于是xM，yM.(11分)同理xN，yN.当k1k20时，直线MN的斜率k.(13分)直线MN的方程为y，即yx，亦即yx.此时直线过定点.(15分)当k1k20时，直线MN即为y轴，此时亦过点.综上，直线MN恒过定点，且坐标为.(16分)20. 解：(1) 因为f(x)在(1，)上为减函数，所以f(x)a0在(1，)上恒成立(2分)所以当x(1，)时，f(x)max0.又f(x)aaa，故当，即xe2时，f(x)maxa.所以a0，于是a，故a的最小值为.(6分)(2) 命题“若x1，x2e，e2，使f(x1)f(x2)a成立”等价于“当xe，e2时，有f(x)minf(x)maxa”(7分)由(1)，当xe，e2时，f(x)maxa， f(x)maxa.问题等价于：“当xe，e2时，有f(x)min”(8分)1 当a时，由(1)，f(x)在e，e2上为减函数，则f(x)minf(e2)ae2，故a.(10分)2 当a时，由于f(x)a在e，e2上为增函数，故f(x)的值域为f(e)，f(e2)，即.() 若a0，即a0，f(x)0在e，e2恒成立，故f(x)在e，e2上为增函数，于是，f(x)minf(e)eaee，不合(12分)() 若a0，即0a，由f(x)的单调性和值域知唯一x0(e，e2)，使f(x0)0，且满足：当x(e，x0)时，f(x)0，f(x)为减函数；当x(x0，e2)时，f(x)0，f(x)为增函数；所以，f(x)minf(x0)ax0，x0(e，e2)所以，a，与0a矛盾，不合(15分)综上，得a.(16分)高三数学附加题试卷(五)参考答案第页(共2页)(这是边文，请据需要手工删加)2013届高三调研测试试卷(五)(南通)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明：(1) 连BE，则EC.又ABEADCRt，所以ABEADC，所以. ABACAEAD.(5分)(2) 连OF， F是BC的中点， BAFCAF.由(1) 得BAECAD， FAEFAD.(10分)B. 解：设ANM，则A，(3分)设P(x，y)是曲线C上任一点，在两次变换下，在曲线C2上的对应的点为P(x，y)，则，即 (7分)又点P(x，y)在曲线C：y22x上， 2y，即yx2.(10分)C. 解：曲线C的普通方程是y21.(2分)直线l的普通方程是xy0.(4分)设点M的直角坐标是(cos，sin)，则点M到直线l的距离是d.(7分)因为sin，所以当sin1，即2k(kZ)，即2k(kZ)时，d取得最大值此时cos，sin.综上，点M的极坐标为时，该点到直线l的距离最大(10分)注：凡给出点M的直角坐标为，不扣分D. 解： a0，b0，2ab1， 4a2b2(2ab)24ab14ab，(2分)且12ab2，即，ab，(5分) S24a2b22(14ab)24ab1，当且仅当a，b时，等号成立(10分)22. (1) 解法1：设M(x，y)，P(x1，0)，Q(0，y2)，则由0，及R(0，3)，得化简，得x24y.(4分)所以，动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线(5分)解法2：设M(x，y)由，得P，Q.所以，.由0，得0，即x23y0.化简得x24y.(4分)所以，动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线(5分)(2) 证明：由题意，得ABCD，圆C2的圆心即为抛物线C1的焦点F.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则ABFAFBy111y1.(7分)同理CDy2.设直线l的方程为xk(y1)由得yk2(y1)2，即k2y2(2k24)yk20.所以，ABCDy1y21.(10分)23. 解：(