北师大版选修11：2.1.1椭圆及其标准方程 课件（38张）.pptx

第二章圆锥曲线与方程 1椭圆 1 1椭圆及其标准方程 1 椭圆的定义我们把平面内到两个定点f1 f2的距离之和等于常数 大于 f1f2 的点的集合叫作椭圆 这两个定点f1 f2叫作椭圆的焦点 两个焦点f1 f2间的距离叫作椭圆的焦距 名师点拨点m满足集合p m mf1 mf2 2a f1f2 2c a 0 c 0 且a c都为常数 1 当a c 即2a 2c时 动点轨迹为以f1 f2为焦点的椭圆 2 当a c 即2a 2c时 动点轨迹为线段f1f2 3 当a c 即2a 2c 动点轨迹不存在 对于后两种情况应该注意 它们可以帮助我们理解椭圆的定义 并在具体问题中做出适当的判断 做一做1 1 命题甲 动点p到两个定点a b的距离之和 pa pb 2a a 0 且a为常数 命题乙 点p的轨迹是椭圆 且a b是焦点 则命题乙是命题甲的 a 充要条件b 充分不必要条件c 既不充分也不必要条件d 必要不充分条件 2 已知f1 f2是定点 f1f2 8 动点m满足 mf1 mf2 8 则动点m的轨迹是 a 椭圆b 直线c 线段d 圆 解析 1 若点p的轨迹是椭圆 且a b是焦点 则一定有 pa pb 2a 所以乙是甲的充分条件 反之 若 pa pb 2a 不能推出点p的轨迹是椭圆 仅当2a ab 时 点p的轨迹才是椭圆 2 mf1 mf2 8 f1f2 点m的轨迹是线段f1f2 故选c 答案 1 b 2 c 2 椭圆的标准方程 名师点拨对椭圆标准方程的认识 1 标准的几何特征 椭圆的中心在坐标原点 焦点在x轴或y轴上 对称轴是坐标轴 2 标准的代数特征 方程右边是1 左边是关于x y的平方和 并且分母不相等 3 a b c三个量的关系 椭圆的标准方程中 a表示椭圆上的点m到两焦点间距离的和的一半 可借助图形帮助记忆 a b c 都是正数 恰是构成一个直角三角形的三条边 a是斜边 所以a b a c 且a2 b2 c2 4 由椭圆的标准方程如何判断其焦点的位置 椭圆的焦点在x轴上 在标准方程中 x2项的分母比较大 椭圆的焦点在y轴上 在标准方程中 y2项的分母比较大 2 由已知椭圆的焦点在x轴上 且a2 16 b2 7 c2 9 c 3 椭圆的焦点坐标为 3 0 和 3 0 答案 1 c 2 3 0 和 3 0 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 平面内与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹就是椭圆 2 在椭圆的标准方程中 a b的大小是不确定的 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例1 已知两定点f1 1 0 f2 1 0 动点p满足 pf1 pf2 2 f1f2 1 求点p的轨迹方程 2 若 f1pf2 120 求 pf1f2的面积 分析 1 利用定义求出方程 2 由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于 pf1 pf2 的方程 求出 pf1 pf2 的值 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 依题意知 f1f2 2 pf1 pf2 2 f1f2 4 2 f1f2 点p的轨迹是以f1 f2为焦点的椭圆 2 设m pf1 n pf2 则m n 2a 4 在 pf1f2中 由余弦定理 得 f1f2 2 m2 n2 2mncos f1pf2 4 m n 2 2mn 1 cos120 解得mn 12 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟椭圆定义的应用技巧 1 椭圆的定义具有双向作用 即若 mf1 mf2 2a 2a f1f2 则点m的轨迹是椭圆 反之 椭圆上任意一点m到两焦点的距离之和必为2a 2 在椭圆中 由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多 要解决这些题目 我们经常利用椭圆的定义 正弦定理 余弦定理及三角形面积公式 这就需要我们在解题时 要充分理解题意 分析条件 利用椭圆定义 正弦定理 余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系 在解题中 经常把 pf1 pf2 看作一个整体来处理 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1如图所示 已知过椭圆的右焦点f2的直线ab垂直于x轴 交椭圆于a b两点 f1是椭圆的左焦点 求 af1b的周长 所以a 5 故有 af1 af2 2a 10 bf1 bf2 2a 10 af2 bf2 ab 所以 af1b的周长为 af1 bf1 ab af1 bf1 af2 bf2 af1 af2 bf1 bf2 2a 2a 20 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 两个焦点的坐标分别为f1 3 0 f2 3 0 并且椭圆上一点p与两焦点的距离的和等于10 分析应用待定系数法求椭圆的标准方程 注意 定位 与 定量 的确定 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟求椭圆标准方程的步骤 1 作判断 依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上 还是在两个坐标轴上都有可能 2 设方程 在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2 ny2 1 m 0 n 0 且m n 3 找关系 依据已知条件 建立关于a b c或m n的方程组 4 得方程 解方程组 代入所设方程即为所求 其主要步骤可归纳为 先定型 再定量 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 两个焦点的坐标分别是 4 0 4 0 椭圆上一点p到两焦点距离的和是10 2 焦点在y轴上 且经过两个点 0 2 和 1 0 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例3 已知两圆c1 x 4 2 y2 9 c2 x 4 2 y2 169 动圆p与c1外切 与c2内切 求圆心p的轨迹 分析由平面几何知识知 两圆相切时常连接两圆心 利用切点在连心线上及圆心距与两半径的关系 求解此类问题 解由条件 两圆半径分别是3和13 设p x y 动圆半径为r 即p点到两定点c1 c2的距离之和为定值16 又16 c1c2 8 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟利用椭圆的定义求轨迹方程 是先由题意找到动点所满足的条件 看其是否符合椭圆的定义 再确定椭圆的方程 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3已知b c是两个定点 bc 8 且 abc的周长等于18 求这个三角形的顶点a的轨迹方程 解以过b c两点的直线为x轴 线段bc的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系xoy 如图所示 由 bc 8可知点b 4 0 c 4 0 由 ab ac bc 18得 ab ac 10 8 bc 因此 点a的轨迹是以b c为焦点的椭圆 这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a 10 但点a不在x轴上 由a 5 c 4 得b2 a2 c2 25 16 9 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因考虑不全面而导致失误 典例 已知椭圆经过点p 3 0 a 3b 求椭圆的标准方程 易错分析本题没有说明焦点在哪个坐标轴上 应考虑焦点在x轴 y轴上两种情形 解题时易主观地认为焦点在x轴上 这是初学者易犯的错误 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练已知椭圆的中心为原点 焦距为8 两个顶点坐标分别是 6 0 6 0 求椭圆的方程 12345 1 设p是椭圆上的点 若f1 f2是椭圆的两个焦点 则 pf1 pf2 等于 a 4b 5c 8d 10解析 由椭圆定义知 pf1 pf2 2a a2 25 2a 10 pf1 pf2 10 答案 d 6 12345 2 已知椭圆上一点m到椭圆的一个焦点的距离为2 则点m到另一个焦点的距离等于 a 1b 2c 4d 6解析 由椭圆方程可知2a 8 设f1 f2为焦点 令 mf1 2 则 mf2 2a 2 6 答案 d 6 12345 3 已知椭圆4x2 ky2 4的一个焦点坐标是 0 1 则实数k的值是 答案 2 6 12345 6 12345 6 12345 6 5 已知椭圆上一点p与椭圆两焦点f1 f2的连线夹角为直角 则 pf1 pf2 f1f2 2c 10 由于pf1 pf2 所以由勾股定理得 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 即 pf1 2 pf2 2 100 又由椭圆定义知 pf1 pf2 2a 14 所以