2013年四川省高考数学试卷（文科）.doc

2013年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1（5分）设集合A=1，2，3，集合B=2，2，则AB=（）AB2C2，2D2，1，2，32（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A棱柱B棱台C圆柱D圆台3（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）AABBCCDD4（5分）设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集若命题p：xA，2xB，则（）Ap：xA，2xBBp：xA，2xBCp：xA，2xBDp：xA，2xB5（5分）抛物线y2=8x的焦点到直线的距离是（）AB2CD16（5分）函数f（x）=2sin（x+）（0，）的部分图象如图所示，则，的值分别是（）ABCD7（5分）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示以组距为5将数据分组成0，5），5，10），30，35），35，40时，所作的频率分布直方图是（）ABCD8（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5yx的最大值为a，最小值为b，则ab的值是（）A48B30C24D169（5分）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）ABCD10（5分）设函数f（x）=（aR，e为自然对数的底数）若存在b0，1使f（f（b）=b成立，则a的取值范围是（）A1，eB1，1+eCe，1+eD0，1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）lg+lg的值是 12（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=，则= 13（5分）已知函数f（x）=4x+（x0，a0）在x=3时取得最小值，则a= 14（5分）设sin2=sin，（，），则tan2的值是 15（5分）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，1）的距离之和最小的点的坐标是 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）在等比数列an中，a2a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列an的首项、公比及前n项和17（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos（AB）cosBsin（AB）sin（A+C）=（）求sinA的值；（）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影18（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，24这24个整数中等可能随机产生（）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi（i=1，2，3）；（）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据甲的频数统计表（部分） 运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数301461021001027376697乙的频数统计表（部分）运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数301211721001051696353当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，AB=AC=2AA1=2，BAC=120，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点（）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面ADD1A1；（）设（）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1QC1D的体积（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高）20（13分）已知圆C的方程为x2+（y4）2=4，点O是坐标原点直线l：y=kx与圆C交于M，N两点（）求k的取值范围；（）设Q（m，n）是线段MN上的点，且请将n表示为m的函数21（14分）已知函数，其中a是实数设A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）为该函数图象上的两点，且x1x2（）指出函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x20，证明：x2x11；（）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围2013年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1（5分）设集合A=1，2，3，集合B=2，2，则AB=（）AB2C2，2D2，1，2，3【分析】找出A与B的公共元素即可求出交集【解答】解：集合A=1，2，3，集合B=2，2，AB=2故选：B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A棱柱B棱台C圆柱D圆台【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，则该几何体可以是圆台故选：D【点评】考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查3（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）AABBCCDD【分析】直接利用共轭复数的定义，找出点A表示复数z的共轭复数的点即可【解答】解：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，虚部相反，对应的点关于x轴对称所以点A表示复数z的共轭复数的点是B故选：B【点评】本题考查复数与共轭复数的关系，复数的几何意义，基本知识的考查4（5分）设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集若命题p：xA，2xB，则（）Ap：xA，2xBBp：xA，2xBCp：xA，2xBDp：xA，2xB【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题【解答】解：“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，命题p：xA，2xB 的否定是：p：xA，2xB故选：C【点评】本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识属于基础题命题的否定即命题的对立面“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述如“对所有的都成立”与“至少有一个不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”5（5分）抛物线y2=8x的焦点到直线的距离是（）AB2CD1【分析】由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），再利用点到直线的距离公式可得点F（2，0）到直线的距离【解答】解：由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），点F（2，0）到直线的距离d=1故选：D【点评】熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键6（5分）函数f（x）=2sin（x+）（0，）的部分图象如图所示，则，的值分别是（）ABCD【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T=，解得=2由函数当x=时取得最大值2，得到+=+k（kZ），取k=0得到=由此即可得到本题的答案【解答】解：在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，函数的周期T满足=，由此可得T=，解得=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+）又当x=时取得最大值2，2sin（2+）=2，可得+=+2k（kZ），取k=0，得=故选：A【点评】本题给出y=Asin（x+）的部分图象，求函数的表达式着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（x+）的图象变换等知识，属于基础题7（5分）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示以组距为5将数据分组成0，5），5，10），30，35），35，40时，所作的频率分布直方图是（）ABCD【分析】根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进而可以做出频率分布直方图【解答】解：根据题意，频率分布表可得：分组频数频率0，5）10.055，10）10.0510，15）40.2030，35）30.1535，40）20.10合计1001.00进而可以作频率直方图可得：故选：A【点评】本题考查频率分布直方图的作法与运用，关键是正确理解频率分布表、频率分步直方图的意义并运用8（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5yx的最大值为a，最小值为b，则ab的值是（）A48B30C24D16【分析】先根据条件画出可行域，设z=5yx，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点B（8，0）时的最小值，过点A（4，4）时，5yx最大，从而得到ab的值【解答】解：满足约束条件的可行域如图所示在坐标系中画出可行域，平移直线5yx=0，经过点B（8，0）时，5yx最小，最小值为：8，则目标函数z=5yx的最小值为8经过点A（4，4）时，5yx最大，最大值为：16，则目标函数z=5yx的最大值为16z=5yx的最大值为a，最小值为b，则ab的值是：24故选：C【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定9（5分）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）ABCD【分析】依题意，可求得点P的坐标P（c，），由ABOPkAB=kOPb=c，从而可得答案【解答】解：依题意，设P（c，y0）（y00），则+=1，y0=，P（c，），又A（a，0），B（0，b），ABOP，kAB=kOP，即=，b=c设该椭圆的离心率为e，则e2=，椭圆的离心率e=故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得点P的坐标（c，）是关键，考查分析与运算能力，属于中档题10（5分）设函数f（x）=（aR，e为自然对数的底数）若存在b0，1使f（f（b）=b成立，则a的取值范围是（）A1，eB1，1+eCe，1+eD0，1【分析】根据题意，问题转化为“存在b0，1，使f（b）=f1（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b0，1由y=f（x）的图象与y=f1（x）的图象关于直线y=x对称，得到函数y=f（x）的图象与y=x有交点，且交点横坐标b0，1因此，将方程化简整理得ex=x2x+a，记F（x）=ex，G（x）=x2x+a，由零点存在性定理建立关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围【解答】解：由f（f（b）=b，可得f（b）=f1（b）其中f1（x）是函数f（x）的反函数因此命题“存在b0，1使f（f（b）=b成立”，转化为“存在b0，1，使f（b）=f1（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b0，1，y=f（x）的图象与y=f1（x）的图象关于直线y=x对称，y=f（x）的图象与函数y=f1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b0，1，根据，化简整理得ex=x2x+a记F（x）=ex，G（x）=x2x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，可得，即，解之得1ae即实数a的取值范围为1，e故选：A【点评】本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b0，1使f（f（b）=b成立的情况下，求参数a的取值范围着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）lg+lg的值是1【分析】直接利用对数的运算性质求解即可【解答】解：=1故答案为：1【点评】本题考查对数的运算性质，基本知识的考查12（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=，则=【分析】依题意，+=，而=2，从而可得答案【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，+=，又O为AC的中点，=2，+=2，+=，=2故答案为：2【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题13（5分）已知函数f（x）=4x+（x0，a0）在x=3时取得最小值，则a=36【分析】由题设函数在x=3时取得最小值，可得 f（3）=0，解此方程即可得出a的值【解答】解：由题设函数在x=3时取得最小值，x（0，+），得x=3必定是函数的极值点，f（3）=0，f（x）=4，即4=0，解得a=36故答案为：36【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值，解题的关键是理解“函数在x=3时取得最小值”，将其转化为x=3处的导数为0等量关系14（5分）设sin2=sin，（，），则tan2的值是【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sin不为0求出cos的值，由的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin的值，进而求出tan的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tan的值代入计算即可求出值【解答】解：sin2=2sincos=sin，（，），cos=，sin=，tan=，则tan2=故答案为：【点评】此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键15（5分）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，1）的距离之和最小的点的坐标是（2，4）【分析】如图，设平面直角坐标系中任一点P，利用三角形中两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PCBD+AC=QA+QB+QC+QD，从而得到四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程，联立方程组求交点坐标即可【解答】解：如图，设平面直角坐标系中任一点P，P到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，1）的距离之和为：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PCBD+AC=QA+QB+QC+QD，故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，1），AC，BD的方程分别为：，即2xy=0，x+y6=0解方程组得Q（2，4）故答案为：（2，4）【点评】本小题主要考查直线方程的应用、三角形的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）在等比数列an中，a2a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列an的首项、公比及前n项和【分析】等比数列的公比为q，由已知可得，a1qa1=2，4，解方程可求q，a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：设等比数列的公比为q，由已知可得，a1qa1=2，4联立可得，a1（q1）=2，q24q+3=0或q=1（舍去）=【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及等差中项等基础知识，考查运算求解的能力17（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos（AB）cosBsin（AB）sin（A+C）=（）求sinA的值；（）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影【分析】（）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值；（）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小，然后求解向量在方向上的投影【解答】解：（）由，可得，即，即，因为0A，所以（）由正弦定理，所以=，由题意可知ab，即AB，所以B=，由余弦定理可知解得c=1，c=7（舍去）向量在方向上的投影：=ccosB=【点评】本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想18（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，24这24个整数中等可能随机产生（）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi（i=1，2，3）；（）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据甲的频数统计表（部分） 运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数301461021001027376697乙的频数统计表（部分）运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数301211721001051696353当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大【分析】（I）由题意可知，当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，从而得出输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；（II）当n=2100时，列出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率的表格，再比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大【解答】解：（I）当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1=；当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2=；当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3=；输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；（II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率如下： 输出y的值为1的频率 输出y的值为2的频率 输出y的值为3的频率 甲 乙 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大【点评】本题综合考查程序框图、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，AB=AC=2AA1=2，BAC=120，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点（）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面ADD1A1；（）设（）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1QC1D的体积（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高）【分析】（）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，根据直线和平面平行的判定定理可得直线l与平面A1BC平行等腰三角形ABC中，根据等腰三角形中线的性质可得ADBC，故lAD再由AA1底面ABC，可得 AA1l再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l平面ADD1A1 （）过点D作DEAC，证明DE平面AA1C1C直角三角形ACD中，求出AD的值，可得 DE 的值，从而求得 =的值，再根据三棱锥A1QC1D的体积 =DE，运算求得结果【解答】解：（）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，由于直线l不在平面A1BC内，而BC在平面A1BC内，故直线l与平面A1BC平行三角形ABC中，AB=AC=2AA1=2，BAC=120，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，ADBC，lAD再由AA1底面ABC，可得 AA1l而AA1AD=A，直线l平面ADD1A1 （）设（）中的直线l交AC于点Q，过点D作DEAC，侧棱AA1底面ABC，故三棱柱ABCA1B1C为直三棱柱，故DE平面AA1C1C直角三角形ACD中，AC=2，CAD=60，AD=ACcos60=1，DE=ADsin60=1，三棱锥A1QC1D的体积 =DE=1=【点评】本题主要考查直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题20（13分）已知圆C的方程为x2+（y4）2=4，点O是坐标原点直线l：y=kx与圆C交于M，N两点（）求k的取值范围；（）设Q（m，n）是线段MN上的点，且请将n表示为m的函数【分析】（）将直线l方程与圆C方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，根据两函数图象有两个交点，得到根的判别式的值大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围；（）由M、N在直线l上，设点M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），利用两点间的距离公式表示出|OM|2与|ON|2，以及|OQ|2，代入已知等式中变形，再利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2，用k表示出m，由Q在直线y=kx上，将Q坐标代入直线y=kx中表示出k，代入得出的关系式中，用m表示出n即可得出n关于m的函数解析式，并求出m的范围即可【解答】解：（）将y=kx代入x2+（y4）2=4中，得：（1+k2）x28kx+12=0（*），根据题意得：=（8k）24（1+k2）120，即k23，则k的取值范围为（，）（，+）；（）由M、N、Q在直线l上，可设M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），|OM|2=（1+k2）x12，|ON|2=（1+k2）x22，|OQ|2=m2+n2=（1+k2）m2，代入=+得：=+，即=+=，由（*）得到x1+x2=，x1x2=，代入得：=，即m2=，点Q在直线y=kx上，n=km，即k=，代入m2=，化简得5n23m2=36，由m2=及k23，得到0m23，即m（，0）（0，），根据题意得点Q在圆内，即n0，n=，则n与m的函数关系式为n=（m（，0）（0，）【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：根的判别式，根与系数的关系，两点间的距离公式，以及函数与方程的综合运用，本题计算量较