北师大版选修23 1.5 二项式系数的性质 课件（25张）.ppt

第一章计数原理5 2二项式系数的性质 1 二项式定理 2 通项公式 其中叫作二项式系数 复习回顾 导 a b 1 11 a b 2 121 a b 3 1331 a b 4 14641 a b 5 15101051 a b 6 1615201561 a b n展开式的二项式系数cnr 当n依次取1 2 3 时 如下所示 导 上述表格叫做二项式系数表 又叫杨辉三角 二项式定理展开式中共有n 1项 每一项的二项式系数为就是我们学过的组合数 本节课结合书本的内容杨辉三角及前面学习的知识探究二项式系数的性质 合作思考探究一 思 a b 1 11 a b 2 121 a b 3 1331 a b 4 14641 a b 5 15101051 a b 6 1615201561 在杨辉三角中 我们观察归纳二项式系数的的性质 导 这样的二项式系数表 早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的 详解九章算法 一书里就已经出现了 在这本书里 记载着类似下面的表 这个表称为杨辉三角 在欧洲 这个表被认为是法国数学家帕斯卡 1623年 1662年 首先发现的 杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的 导 杨辉三角 九章算术 杨辉 杨辉三角 详解九章算法 中记载的表 这样的二项式系数表 早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的 详解九章算法 一书里就已经出现了 在这本书里 记载着类似右面的表 1 对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 二项式系数的性质 2 可加性 合作思考探究二 从函数角度思考是否有增减性与最大值 展 思 展开式的二项式系数依次是 从函数角度看 可看成是以r为自变量的函数 其定义域是 从函数角度思考并归纳 3 增减性与最大值 当n为偶数时 中间一项的二项式系数取得最大值 当n为奇数时 中间两项的二项式系数 相等 且同时取得最大值 增减性 先增后减 合作思考探究三 观察每行二项式系数的和并归纳出所有二项式系数和的性质 思 4 各二项式系数的和 在二项式定理中 令 则 这就是说 的展开式的各二项式系数的和等于 同理 大家还可以用赋值法发现如下公式 的展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和 赋值法 一般地 展开式的二项式系数有如下性质 1 对称性 二项式系数的性质 2 可加性 3 增减性与最大值 增减性 先增后减 当n为奇数时 中间两项的二项式系数 相等 且同时取得最大值 当n为偶数时 中间一项的二项式系数取得最大值 4 各二项式系数的和 5 1 设二项式展开式的各项系数的和为p 二项式系数的和为s 且p s 272 则展开式的常数项为 108 合作应用探究一 展 1 求a0 2 求 3 求 4 求 5 求 2 设 合作应用探究二 展 评 求展开式中系数最大 小 的项 解 设项是系数最大的项 则 二项式系数最大的项为第11项 即 所以它们的比是 合作应用探究三 展 评 解决系数最大问题 通常设第项是系数最大的项 则有 由此确定r的取值 归纳 检 2 已知的展开式中只有第10项系数最大 求第五项 解 依题意 为偶数 且 变式 若将 只有第10项 改为 第10项 呢 3 在的展开式中 系数绝对值最大的项 解 设系数绝对值最大的项是第r 1项 则 所以当时 系数绝对值最大的项为 1 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数 它有四条性质 要理解和掌握 小结 2 要注意 系数 与 二项式系数 的区