讲座：实验假设放飞思维.doc

验 假设 放飞思维“鸡兔同笼”问题解法探讨安徽省界首市逸夫第一小学 邢浩 摘要：“鸡兔同笼”问题是中国古代非常著名的一个趣题，曾引起古今中外很多专家学者的兴趣，因为它具有很高的教学价值，蕴含着丰富的数学思想。不仅能有效地促进学生数学思维的发展、数学技能的提升，还能培养学生解决问题的基本策略。关键词：鸡兔同笼；教学价值；数学思想；基本策略善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。 华罗庚大约1500年前，我国出现了一本数学名著孙子算经，这本古书上记载了一个著名的数学趣题“鸡兔同笼”问题。原文为：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”一千多年来，国内外的专家学者对破解、应用这道趣题的研究工作一直没有停止。匈牙利数学家波利亚在他的名著数学的发现一书中曾这样评价：“鸡兔同笼问题曾在好几个世纪里引起了人们的兴趣，今天它还会引起一些聪明小朋友的兴趣”，因为大家都充分的意识到：“鸡兔同笼”问题具有较高的教学价值，它蕴含着丰富的数学思想方法，而这些思想方法都是最原始的、最能广泛迁移应用的。只要教透了其中的任何一种，都能够有效地促进学生数学思维的发展和数学技能的提升。所以，根据新课标编写的新课程教材中，苏教版、人教版和北师大版的新编教材都破天荒地把“鸡兔同笼”问题安排在了高年级段（这个问题之前一直都在奥数教程中）进行教学。这个教学素材在小学数学教学中的重要地位由此可见一斑。作为一个在小学数学教学一线工作了二十多年的庸师，笔者听了不少有关的公开课，翻阅了不少资料，也看到了很多专家学者（如数学家波利亚、华罗庚教授、张景中院士、单墫博士还有特级教师周沛耕等）对这个问题的研究成果。现结合笔者的浅见，将这一趣题的解法整理如下，以求斧正。例题：鸡兔同笼，有20个头，54条腿，鸡兔各有多只？一 算术解法1 图表法1 列表法头/个鸡/只兔/只腿太多，说明兔多鸡少，应该减少兔的只数，增加鸡的只数。腿还多，继续减少兔的只数，增加鸡的只数。腿仍然多，一只一只地调整太慢，怎么办？腿与54接近了，再小幅度调整。腿比54多2条，再调整一次就行了。腿/条201197821876317741010601285613754上表中，20个头不变，每当鸡增加1只，同时兔减少1只，则腿的条数减少4-2=2条。所以，当第三次实验鸡有3只、兔17只、仍有74条腿，和题目中的54条腿依然相差很远时，可以采取跳跃式的枚举法，直接实验有10只鸡、有10只兔（其实，10只鸡、10只兔的枚举法，也是头数折半取中枚举法），采用这样的调整方法，可以加快速度，更快一点找到准确答案。虽然用枚举方法解题似乎有些慢、笨，而且局限于数据较小的情况。但这种解题方法恰恰体现了“善于退，足够的退，退到最原始而又不失去重要性的地方。”而且这种解题方法开放性强，灵活性大，是解决问题最普遍最适用的方法。它不仅能更好地提高学生的综合素质，还能培养学生解决问题的基本策略。2 画图法假如用“”代表头，用“”代表腿，用“ ”代表一只鸡，用“ ”代表一只兔。20个 先画20个圆圈表示20个头 再为每个动物画两条腿，20只动物共用了220=40条腿，还20个剩下5440=14条腿。20个 再把剩下的14条腿每两条腿为一组，能添给其中的142=7只动物，所以，这7只动物有四条腿，就是兔子，另外的207=13只动物就是鸡了。若是先给每个动物画4条腿，将能画出420=80条腿，多出8054=26条腿，这样又该怎么办呢？2 假设法抬腿法假如所有的兔子听从口令全体起立，这样每只兔子只有两条腿着地，20个头就只有220=40条腿着地，为什么少了5440=14条腿呢？是因为兔子起立了，每只起立的兔子少了42=2条腿，所以一共有142=7只兔，有207=13只鸡。 架拐法假如所有的鸡都用双翅架双拐，就相当于一只鸡有4条腿着地，这样20个头就有420=80条腿着地，为什么多了8054=26条腿呢？是因为架了双拐后每只鸡多了42=2条腿。所以共有262=13只鸡，有2013=7只兔。3 戴帽法如果给每只兔子的尾巴上都戴上一个卡通小丑帽，看起来就像一只兔子长了两个头。假如把每只兔子都拦腰斩为两段，这样就全都成了一头两脚的兔。54条腿应该有542=27个头，比实际的20个头多了2720=7个头，因为这7个头是由兔子尾巴带上卡通小丑帽后冒充的，而一只兔子只有一个尾巴，所以笼中共有7只兔，有207=13只鸡。4 合鸡法如果把两只鸡的头用绳子捆绑在一起成为一个合鸡，这样每只合鸡也会有4条腿。由于兔子也有4条腿，故腿的总条数应该是4的倍数，而544=132条腿，所以我们就抱走一只鸡。这时总共就只有201=19个头、542=52条腿了。当每只合鸡计算一个头、四条腿，则应有524=13个头。为什么少了1913=6个头呢？是因为每个合鸡少算了一个头，所以就有6只合鸡，原来笼中共有62+1=13只鸡，有2013=7只兔。金鸡独立法如果笼中的鸡全都做“燕式平衡”，单腿着地，且所有的兔也都站立起来。这时着地的腿只有原来的一半，即542=27条腿。由于一只鸡只有一条腿着地，而一只兔却有两条腿着地。所以，腿比头多的数目2720=7就是兔子的只数，而鸡有207=13 只。鸡飞兔立法如果让所有的鸡全都返祖飞起来，同时让所有的兔也都站起来，那么笼中着地的腿就会少220=40条，这时着地的腿应还有5440=14条，且全部都是兔子的腿，而每只兔子都是两条腿着地，所以兔子有142=7只，鸡有207=13只。二方程解法解：设鸡有X只，那么兔有（20X）只 2X + 4(20X) = 54， 2X + 80 4X = 54 X = 13 2013 = 7（只） 即：鸡有13只，兔有7只。如果假设兔有X只，该怎样列方程解答呢？以上列举的种种解法