北师大版选修22 1.2　函数的极值 课件（30张）.pptx

1 2函数的极值 第1课时函数的极值 1 结合函数的图像 了解可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件 2 理解函数极值的概念 理解函数的极值与导数的关系 会求函数的极值 并能确定是极大值还是极小值 3 增强学生数形结合的思维意识 提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力 1 函数的极值的有关概念 1 在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值 称点x0为函数y f x 的极大值点 其函数值f x0 为函数的极大值 在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值 称点x0为函数y f x 的极小值点 其函数值f x0 为函数的极小值 极大值与极小值统称为极值 极大值点与极小值点统称为极值点 说明1 极值是一个局部性的概念 由定义知 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小 即反映的是函数值在某一点附近的大小情况 2 函数的极值点一定出现在区间的内部 区间的端点不能成为极值点 3 函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上的极大值或极小值可以不止一个 4 如果函数f x 在 a b 上有极值的话 那么它的极值点的分布是有规律的 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点 同样 相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 5 极大值与极小值之间并无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值 如图所示 x1是极大值点 x4是极小值点 而f x4 f x1 2 如果函数y f x 在区间 a x0 上是增加的 在区间 x0 b 上是减少的 那么x0是极大值点 f x0 是极大值 如果函数y f x 在区间 a x0 上是减少的 在区间 x0 b 上是增加的 那么x0是极小值点 f x0 是极小值 做一做1 函数y 2 x2 x3的极值情况是 a 有极大值 没有极小值b 有极小值 没有极大值c 既无极大值也无极小值d 既有极大值又有极小值答案 d 2 求函数极值点的步骤 1 求出导数f x 2 解方程f x 0 3 对于方程f x 0的每一个解x0 分析f x 在x0左 右两侧的符号 即f x 的单调性 确定极值点 若f x 在x0两侧的符号 左正右负 则x0为极大值点 若f x 在x0两侧的符号 左负右正 则x0为极小值点 若f x 在x0两侧的符号相同 则x0不是极值点 说明导数值为0的点不一定是函数的极值点 例如 对于函数f x x3 我们有f x 3x2 显然f 0 0 但无论x 0 还是x0 所以x 0不是函数f x x3的极值点 一般地 函数y f x 在一点处的导数存在 且导数值为0 是 函数y f x 在这点处取得极值 的必要不充分条件 a 2b 2 1c 1d 3解析 f x x2 x 2 令f x 0 即 x2 x 2 0 解得x1 1 x2 2 当x2时 f x 0 f x 在 1 2 上是增加的 故x 1是函数的极小值点 答案 c 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思1 极大值不一定比极小值大 这是因为极值是相对某一区间而言的 2 借助函数的性质 如奇偶性 单调性 极值 周期等 研究函数图像是重要手段 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 例2 已知f x ax3 bx2 cx a 0 在x 1处取得极值 且f 1 1 1 试求常数a b c的值 2 试判断x 1是函数的极大值点还是极小值点 并说明理由 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 2 x 1是极大值点 x 1是极小值点 理由如下 当x1时 f x 0 当 1 x 1时 f x 0 函数f x 在 1 和 1 上是增加的 在 1 1 上是减少的 因此 当x 1时 函数取得极大值 x 1为极大值点 当x 1时 函数取得极小值 x 1为极小值点 反思解决此类问题通常是利用函数的导数在极值点处的值等于零来建立关于参数的方程 从而求出参数的值 需要注意的是 可导函数在某点处的导数等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件 所以必须对求出的参数值进行检验 看是否符合函数取得极值的条件 题型一 题型二 题型三 变式训练2 已知函数f x x2ex 1 ax3 bx2 若x 2和x 1为f x 的极值点 1 求a和b的值 2 讨论f x 的单调性 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 正解 接错解 当a 4 b 11时 f x x3 4x2 11x 16 得f x 3x2 8x 11 3x 11 x 1 当x 1 时 f x 0 故当x 1时 f x 取得极小值 当a 3 b 3时 f x 3 x 1 2 0 即x 1不是极值点 所以舍去a 3 b 3 故a b 7 12345 1关于函数的极值 下列说法正确的是 a 导数为零的点一定是函数的极值点b 函数的极小值一定小于它的极大值c f x 在定义域内最多只能有一个极大值和一个极小值d 如果f x 在 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内不是单调函数解析 导数为零的点不一定是极值点 如f x x3 f 0 0 但x 0不是极值点 极小值不一定小于极大值 f x 在定义域内可能有多个极值点 答案 d 6 12345 2若函数f x xex 则 a x 1为f x 的极大值点b x 1为f x 的极大值点c x 1为f x 的极小值点d x 1为f x 的极小值点答案 d 6 12345 3已知f x x3 ax2 a 6 x 1有极大值和极小值 则a的取值范围为 a 12d a6解析 f x 3x2 2ax a 6 因为f x 既有极大值又有极小值 所以 2a 2 4 3 a 6 0 解得a 6或a 3 答案 d 6 12345 4关于函数f x x3 3x2的下列命题 其中正确命题的序号是 f x 是增函数 f x 是减函数 无极值 f x 在区间 0 和 2 上是增加的 在区间 0 2 上是减少的 f 0 0是极大值 f 2 4是极小值 解析 f x 3x2 6x 令