《线性代数》电子教案-第一、二章.ppt

第一章行列式 1 1行列式的有关概念 a11a22 a12a21 x1 b1a22 a12b2 a11a22 a12a21 x2 a11b2 b1a21 当a11a22 a12a21 0时 一 二元线性方程组与二阶行列式 由方程组的四个系数确定 由四个数排成二行二列 横排称行 竖排称列 的数表 定义 即 第一章行列式 1 1行列式的有关概念 请思考有何运算规律 副对角线 主对角线 对角线法则 二阶行列式的计算 对于二元线性方程组 第一章行列式 1 1行列式的有关概念 解为 则当D a11a22 a12a21 0时 有唯一确定的解 第一章行列式 1 1行列式的有关概念 注意 分母都为原方程组的系数行列式 分子与原方程组的关系留待稍后讨论 根据对角线法则的计算特点 例1 解 第一章行列式 1 1行列式的有关概念 二 三阶行列式 定义 记 4 式称为数表 3 所确定的三阶行列式 第一章行列式 1 1行列式的有关概念 三阶行列式的计算 注意 1 三阶行列式包括3 项 每一项都是位于不同行 不同列的三个元素的乘积 其中三项为正 三项为负 2 红线上三元素的乘积冠以正号 蓝线上三元素的乘积冠以负号 第一章行列式 1 1行列式的有关概念 例 解 按对角线法则 有 第一章行列式 1 1行列式的有关概念 对角线法则是否适用于更高阶的行列式 第一章行列式 1 1行列式的有关概念 三 排列及其逆序数 1排列 如 213是一个3级排列 问 1 2 3可以有多少种不同的排列呢 123 132 213 231 312 321 如何区分这些相同元素的不同排列 第一章行列式 1 1行列式的有关概念 2逆序 n个不同自然数按从小到大自然顺序的排列 称之为 n级 排列的标准排列 标准排列 如 123是一个 3级 标准顺序的排列 定义 若n个自然数组成的标准排列为p1p2 ps pt pn s t 若有这n个自然数组成的任意一个排列p1p2 pt ps pn 则称ps与pt构成该排列的一个逆序 一个排列中 所有逆序的总数 称作该排列的逆序数 逆序数为偶数称为偶排列 逆序数为奇数称为奇排列 标准排列规定为偶排列 第一章行列式 1 1行列式的有关概念 逆序数的计算 设p1p2 ps pt pn为1 n的一个全排列 则其逆序数为 其中ti为排在pi前 且比pi大的数的个数 例3 讨论1 2 3的全排列 第一章行列式 1 1行列式的有关概念 用全排列的方式改写二阶 三阶行列式 二阶行列式 则 是对1 2所有的全排列求和 三阶行列式 注意 这里行标是按照自然顺序排列的 第一章行列式 1 1行列式的有关概念 若 p1p2p3是1 2 3的全排列 则 是对1 2 3所有的全排列求和 t是p1p2p3的逆序数 注意 这里行标也是按照自然顺序排列的 将二阶 三阶行列式推广可得n阶行列式的定义 四 n阶行列式 定义 第一章行列式 1 1行列式的有关概念 由n2个数组成的n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和 1 ta1p1a2p2 anpn 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 即可将n阶行列式记作 注意 第一章行列式 1 1行列式的有关概念 第一章行列式 1 1行列式的有关概念 解 D1中只有一项a11a22 ann不含0 且列标构成排列的逆序数为 故 同理 D2中只有一项a1na2n 1 an1不含0 且列标构成排列的逆序数为 故 第一章行列式 1 1行列式的有关概念 特例 第一章行列式 1 1行列式的有关概念 定义 一个排列中某两个元素的位置互换成为对换 相邻对换 一般对换 仍以1 2 3的全排列为例 五 对换 第一章行列式 1 1行列式的有关概念 定理1对换一次改变排列的奇偶性 证明 思路 先证相邻对换 然后再证一般对换 1 相邻对换 所以对换后排列的奇偶性改变 2 一般对换 经过m次相邻对换 经过m 1次相邻对换 经过2m 1次相邻对换 排列的奇偶性改变 将该对换分解为若干次相邻对换 第一章行列式 1 1行列式的有关概念 定理1推论 定理2 注意 这里列标是标准排列 行表示自然数1 n的全排列 n阶行列式也可定义为 第一章行列式 1 1行列式的有关概念 六 转置行列式 若记 其中 称DT为D的转置行列式 行列式转置的特点 以主对角线为对称轴 互换对称元素 作业 习题1 1 3 2 2 3 5 6 3 第一章行列式 性质1 行列式与它的转置行列式相等 1 2行列式的性质及应用 1 2行列式的性质 设 证明 其中DT为D的转置行列式 则有 故 一 行列式的性质 定理2 第一章行列式 性质2 互换行列式中的两行 列 行列式变号 1 2行列式的性质 证明 则 思路 利用行列式的定义证明 第一章行列式 1 2行列式的性质 推论 若行列式D中有两列完全相同 则D 0 第一章行列式 性质3 线性性质 1 2行列式的性质 1 det 1 k j n kdet 1 j n 2 det 1 j j n det 1 j n det 1 j n 推论 行列式中某一行 列 的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 性质4 行列式中如果有两行 列 元素成比例 则此行列式等于零 证法 由性质2的推论和性质3可证 第一章行列式 1 2行列式的性质 性质5 把行列式的某一行 列 的k倍加到另一行 列 上去 行列式的值不变 证法 根据性质2的推论和性质3 4可证 上述性质给出了行列式关于行 列 的三种基本运算 即对换 数乘和加倍 它们构成行列式简化计算的依据 所有运算性质对于行或列均成立 因此在对一个行列式进行计算时对行和对列的运算均可使用 说明 思考 如何利用行列式的性质进行行列式的计算 上面的运算记作ci kcj 回忆例4 二 行列式性质的应用 例4给我们了什么启示 第一章行列式 1 2行列式的性质 第一章行列式 1 2行列式的性质 例5 计算行列式常用方法 对具体的行列式 利用运算行列式的性质把行列式化为上 下 三角形行列式 从而算得行列式的值 或者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算 解 第一章行列式 1 2行列式的性质 这一步成立的依据是什么 第一章行列式 1 2行列式的性质 第一章行列式 1 2行列式的性质 千万要注意 行列式交换两行 符号要改变 第一章行列式 1 2行列式的性质 第一章行列式 1 2行列式的性质 第一章行列式 1 2行列式的性质 第一章行列式 1 2行列式的性质 上三角行列式 第一章行列式 例6 14 注 本题也可以用定义或对角线法则计算 1 2行列式的性质 第一章行列式 例7 设D 证明 D D1D2 证明 对D1施行ri krj这类运算 把D1化为下三角形行列式 p11 pmm 1 2行列式的性质 第一章行列式 对D2施列ci kcj这类运算 把D2化为下三角形行列式 于是对D的前m行施行上述ri krj运算 再对D的后n列施列上述施列ci kcj运算 可得 p11 pmmq11 qnn D1D2 1 2行列式的性质 行列式中行与列具有同等的地位 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 计算行列式常用方法 1 利用定义 2 利用性质把行列式化为上三角形行列式 从而算得行列式的值 三 小结 第一章行列式 1 2行列式的性质 作业 习题4 1 3 5 2 3 6 定义 一般地 在n阶行列式中 把元素aij所在的第i行和第j列划去 留下来的n 1阶行列式叫做元素aij的余子式 记作Mij 令Aij 1 i jMij 并称之为aij的代数余子式 中a32的余子式为 代数余子式A32 1 3 2M32 M32 例如 四阶行列式 1 3行列式的展开 第一章行列式 1 3行列式的展开 引理一个n阶行列式 如果其中第i行所有元素除 i j 外都为零 则这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积 即D aijAij 例如 第一章行列式 1 3行列式的展开 证 先证特殊情形 即当aij位于第一行第一列时 根据例7的结论 有 又 从而 再证一般情形 此时 第一章行列式 1 3行列式的展开 第一章行列式 1 3行列式的展开 把D的第i行依次与第i 1行 第i 2行 第1行对调得 第一章行列式 1 3行列式的展开 再把D的第j列依次与第j 1列 第j 2列 第1列对调得 中的余子式Mij 第一章行列式 1 3行列式的展开 故得 于是有 第一章行列式 1 3行列式的展开 定理 行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 证 第一章行列式 1 3行列式的展开 第一章行列式 1 3行列式的展开 思考 定理3的实用性如何 例8 第一章行列式 1 3行列式的展开 第一章行列式 1 3行列式的展开 证 用数学归纳法 第一章行列式 1 3行列式的展开 第一章行列式 1 3行列式的展开 即有 再来证明 1 式对n阶范德蒙德行列式也成立 思考 如何计算Dn 第一章行列式 1 3行列式的展开 从第n行开始 用后行减去前行的x1倍 可得 n 1阶范德蒙德行列式 第一章行列式 1 3行列式的展开 证 第一章行列式 1 3行列式的展开 推论 n阶行列式的某一行 列 元素与另一行 列 的对应的代数余子式乘积之和为零 即ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0 i j a1iA1j a2iA2j aniAnj 0 i j 同理 第一章行列式 1 3行列式的展开 关于代数余子式的重要性质 第一章行列式 1 3行列式的展开 注 克罗内克 Kronecker 记号 第一章行列式 1 3行列式的展开 例10 设 D的 i j 元的余子式和代数余 子式依次记作Mij 和Aij 求 和 思路 对本例来说 若直接计算每一项虽然难度不大 但计算量较大 且对于高阶行列式不现实 因此需考虑其他方法 解 第一章行列式 1 3行列式的展开 计算该行列式可得 根据行列式的展开定理 作业 习题4 4 5 4 7 1 2 6 交作业时间 3月15日 对于二元线性方程组 1 4行列式的应用 克拉默法则 回忆本课程开始时关于二元线性方程组与二阶行列式关系的讨论 则当D a11a22 a12a21 0时 有唯一确定的解 注意观察D1 D2与原方程组的关系 是否能将该方法推广到n元方程组的求解 第一章行列式 1 4行列式的应用 含有n个未知数x1 x2 xn的n个线性方程的方程组 的系数行列式不等于零 即 第一章行列式 1 4行列式的应用 一 克拉默法则 其中Dj是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式 即 那么线性方程组 1 有解 并且解是唯一的 解可以表为 第一章行列式 1 4行列式的应用 证明留待第二章 二 重要定理 定理4如果线性方程组 1 的系数行列式D 0 则方程组 1 一定有解 且解是唯一的 定理4 如果线性方程组 1 无解或有两个 或两个以上 不同的解 则它的系数行列式必为零 第一章行列式 1 4行列式的应用 齐次线性方程组 定理5如果齐次线性方程组 2 的系数行列式D 0则齐次线性方程组 2 没有非零解 第一章行列式 1 4行列式的应用 定理5 如果齐次线性方程组 2 有非零解 则它的系数行列式必为零 必有非零解 系数行列式 说明 例11用克拉默则解方程组 解 第一章行列式 1 4行列式的应用 第一章行列式 1 4行列式的应用 第一章行列式 1 4行列式的应用 第一章行列式 1 4行列式的应用 例12 解 由定理4可知 若所给齐次线性方程组有非零解 则其系数行列式D 0 即 第一章行列式 1 4行列式的应用 计算行列式D 由D 0可得 请思考 克拉默法则的实用性如何 第二章矩阵 2 1矩阵的基本概念 一 矩阵概念 1 m n矩阵 元素 aij i 1 m j 1 n 注 元素都是实 复 数的矩阵称为实 复 矩阵 今后除非特别说明 我们所考虑的矩阵都是实矩阵 思考 矩阵与行列式的区别 例1 某厂家向三个代理商发送四种产品 第二章矩阵 2 1矩阵概念 a1i表示第i种产品的单价 a2i表示第i种产品的单件重量 bij表示向第j个城市发送第i种产品的数量 2 1矩阵概念 例2 四个城市间的单向航线如图所示 若aij表示从i市到j市航线的条数 则右图可用矩阵表示为 例3 直线的一般方程 第二章矩阵 2 1矩阵概念 3 向量 n维行向量 1 n矩阵 a1a2 an 或 a1 a2 an n维列向量 n 1矩阵 第i分量 ai i 1 n n阶方阵 n n矩阵 2 方阵 第二章矩阵 2 1矩阵概念 4 两个矩阵的行数相等 列数也相等时 称它们是同型矩阵 5 若两个同型矩阵A aij m n与B bij m n满足 对于任意的1 i m 1 j n aij bij都成立 则称这两个矩阵相等 记为A B 第二章矩阵 第二章矩阵 2 1矩阵概念 二 几种特殊的矩阵 1 对称矩阵 则称A为对称矩阵 若矩阵A aij m n满足 m n且aij aji i j 1 2 n 第二章矩阵 2 1矩阵概念 2 对角矩阵 方阵A aij n n的a11 a22 ann称为对角线元素 若方阵A aij n n除了对角线元素 可能不是0 以外 其它元素都是0 则称A为对角矩阵 对角线元素依次为 1 2 n的对角矩阵 有时也记为 diag 1 2 n 即 第二章矩阵 2 1矩阵概念 3 数量矩阵 若对角矩阵A aij n n的对角线元素为同一个数 则称A为数量矩阵 纯量矩阵 例如 4 单位矩阵 称为n阶单位矩阵 第二章矩阵 2 1矩阵概念 5 反对称矩阵 则称A为反对称矩阵 若矩阵A aij m n满足 m n且aij aji i j 1 2 n 注意与对称矩阵的区别 第二章矩阵 2 1矩阵概念 6 零矩阵 有时 加下标指明其阶数 通常用O表示零矩阵 例如 上述零矩阵分别可以记为 O2 O2 3 O3 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 2 2矩阵的基本运算 一 矩阵的线性运算 1 加法 两个同型矩阵A aij m n与B bij m n的和C定义为 C cij m n aij bij m n 注 设矩阵A aij m n 记 A aij m n 称之为A的负矩阵 设A B是同型矩阵 则它们的差定义为A B 记为A B 即A B A B 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 2 数乘 设矩阵A aij m n 数k与A的乘积定义为 kaij m n 记为kA或Ak 注 矩阵加法和数乘运算统称为矩阵的线性运算 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 3 性质 设A B C O是同型矩阵 k l是数 则 1 A B B A 2 A B C A B C 3 A O A 4 A A O 5 1A A 6 k lA kl A 7 k l A kA lA 8 k A B kA kB 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 二 矩阵与矩阵相乘 例4 某厂家向三个代理商发送四种产品 思考 向某地发货的总重如何计算 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 1 设A aij m s B bij s n 则A与B的乘积是一个m n矩阵C cij m n 其中 记为C AB 称AB为 以A左乘B 或 以B右乘A 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 2 矩阵乘积的特殊性 1 只有当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时 乘积AB才有意义 2 若A是一个m n矩阵 而B是一个n m矩阵 则AB和BA都有意义 但AB是一个m阶方阵 BA是一个n阶方阵 当m n时 AB与BA谈不上相等不相等 即使m n AB与BA是同阶方阵也未必相等 例如 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 注意对比AB与BA的差别 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 设k是数 矩阵A B C使以下各式中一端有意义 则另一端也有意义并且等式成立 1 AB C A BC 2 A B C AB AC A B C AC BC 3 kA B k AB 3 矩阵乘法的性质 注意 矩阵乘法有结合律 分配律 但是没有交换律 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 结合律的妙用之一 设A BC 我们可以定义A的正整数幂 A1 A A2 AA Ak 1 AkA 对于这里的A A2005 当然 对于任意方阵A 都可以像上面这样去定义A的正整数幂 而且有如下结论 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 AkAl Ak l Ak l Akl 注 不能说 因为AB BA未必成立 所以 AB k AkBk未必成立 AB BA 但 AB k AkBk成立 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 AB k AkBk 要说明即使A与B是同阶方阵 也未必成立 只要举出一个反例即可 当然这里AB BA 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 三 矩阵的转置 为A的转置 则称矩阵 注意与行列式转置的对比 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 矩阵的转置运算满足如下性质 1 AT T A 2 A B T AT BT 3 kA T kAT 4 AB T BTAT 2 性质 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 方阵的行列式 一 方阵行列式的定义 的元素所构成的行列式称方阵A的行列式 记作 A 或detA determinant 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 即 注意 构成行列式时不能改变矩阵各元素的位置 只有方阵才有行列式重点强调 矩阵是一个数表 行列式是矩阵的各元素按照一定的运算法则所确定的一个数 可以对比一下矩阵和行列式的加法运算 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 1阶方阵A a11 的行列式 A 定义为a11 a11 1 1 1a22 a12 1 1 2a21 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 3阶方阵A 的行列式 A 定义为 a11a12a13a21a22a23a31a32a33 A a11A11 a12A12 a13A13 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 二 行列式的性质复习 性质1 互换行列式中的两列 行列式变号 推论 若行列式D中有两列完全相同 则D 0 性质2 线性性质 1 det 1 k j n kdet 1 j n 2 det 1 j j n det 1 j n det 1 j n 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 推论 若行列式D中有两列元素成比例 则D 0 性质3 把行列式的某一列的k倍加到另一列上去 行列式的值不变 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 性质4 设A B为同阶方阵 则 AB A B 性质5 设A方阵 则 AT A 注 根据方阵的性质5 前面几条关于列的性质可以翻译到行的情形 例如 性质1 互换行列式中的两行 行列式变号 性质6 设A方阵 则 kA kn A 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 定理n阶行列式D等于它的任意一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 D a11A11 a12A12 a1nA1n a21A21 a22A22 a2nA2n an1An1 an2An2 annAnn a11A11 a21A21 an1An1 a12A12 a22A22 an2An2 a1nA1n a2nA2n annAnn 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 性质7 n阶行列式的某一行 列 元素与另一行 列 的对应的代数余子式乘积之和为零 即ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0 i j a1iA1j a2iA2j aniAnj 0 i j 定理设n阶行列式D aij 则 注 克罗内克 Kronecker 记号 按行展开 按列展开 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 三 方阵行列式的应用 设A aij n n为方阵 元素aij的代数余子式为Aij 则称如下矩阵 为方阵A的伴随矩阵 1 伴随矩阵 注意 与A相比 A 元素的行标对应A的元素列标 A 元素的列标对应A元素的行标 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 解 A11 d A21 b A12 c A22 a 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 例9设A为方阵 A 为其伴随矩阵 证明 AA A A A E 证明 AA 问题 AA A A A 成立否 四 共轭矩阵 第二章矩阵 2 2矩阵的基本运算 称为A的共轭矩阵 共轭矩阵的运算规律 本节作业 习题3 4 8 9 第二章矩阵 2 3方阵的逆矩阵 2 3方阵的逆矩阵 上式表示由n个变量x1 x2 xn到变量y1 y2 ym的关系式称为变量x1 x2 xn到变量y1 y2 ym的线性变换 将上面的线性变换写成矩阵形式 Y AX 其中A为系数矩阵 X Y可分别记为 第二章矩阵 2 3方阵的逆矩阵 回忆一下本章例9 课本P43页 第二章矩阵 2 3方阵的逆矩阵 我们前面的问题 如何从Y AX得到Y X的表示式X BY 例9设A为方阵 A 为其伴随矩阵 证明 AA A A A E 受例9启发 给A A A E两端右乘X 可得 A AX A EX A X 其中 A 0 第二章矩阵 2 3方阵的逆矩阵 若将X BY代入Y AX可得 Y A BY AB Y 显然 上式说明AB是恒等变换矩阵 因此 AB E 同样 将Y AX代入X BY可得 X B AX BA X 显然 BA也是恒等变换矩阵 即BA E 故 若X BY是线性变换Y AX的逆变换 则系数矩阵A B满足AB BA E 第二章矩阵 2 3方阵的逆矩阵 一 逆矩阵的概念 1 定义 设A为方阵 若存在方阵B 使得AB BA E 则称A可逆 并称B为A的逆矩阵 2 逆矩阵的唯一性 事实上 若AB BA E AC CA E 则B BE B AC BA C EC C 今后我们把可逆矩阵A的逆矩阵记为A 1 即若AB BA E 则B A 1 定理1 设方阵A可逆 则其逆矩阵是唯一的 第二章矩阵 2 3方阵的逆矩阵 定理2 若方阵A可逆 则 A 0 其中A 是矩阵A的伴随矩阵 定理3 若 A 0 则方阵A可逆 且 由定理2 3可知 推论 A B是n阶方阵 若AB E 则B A 1 第二章矩阵 3 逆矩阵的运算性质 设A B为同阶可逆方阵 数k 0 则 1 A 1 1 A 2 AT 1 A 1 T 3 kA 1 k 1A 1 4 AB 1 B 1A 1 2 3方阵的逆矩阵 第二章矩阵 2 3方阵的逆矩阵 解 由定理三可得 这样的求逆阵方式太麻烦 第二章矩阵 2 3方阵的逆矩阵 例11 已知AXB C 求X 其中 解 思路 借鉴代数中求解未知数的方法 但是要注意矩阵运算时与代数运算的不同之处 由于 A 2 B 1 矩阵A B的逆阵存在 则可以分别给AXB C两端左乘A 1 右乘B 1 A 1AXBB 1 A 1CB 1 矩阵乘法的结合律 提醒 矩阵乘法没有交换律 第二章矩阵 2 3方阵的逆矩阵 例12 已知A满足A2 5A 4E O 求证A 3E可逆 解 思路 借鉴代数中因式分解的方法 求得A 3E的表达式 同样要注意矩阵运算时与代数运算的不同之处 对已知方程进行因式分解 A 3E A 2E 2E O A 3E A 2E 2E A 3E A 2E A 3E A 2E 2n 显然 A 3E 0 A 2E 0 即 A 3E和A 2E的逆矩阵存在 其中 A 3E 1 A 2E 2 第二章矩阵 2 3方阵的逆矩阵 例13 已知 解 思路 先求A 写出An的表达式 再观察有无简单的计算方法 给AP P 右乘P 1可得 A P P 1 故A2 P P 1 P P 1 P 2P 1 同样 可用数学归纳法证明 AP P 求An 因 P 0 故P 1存在 进一步给出A3 P 3P 1 借用数学归纳法可证得 An P nP 1 则An易得 第二章矩阵 四 方阵的多项式 设A为一个方阵 f x 为x的一个多项式 称之为方阵A的m次多项式 f x asxs as 1xs 1 a1x a0 规定 f A amAm am 1Am 1 a1A a0E 注意 由于矩阵Ak E均是可交换的 因此矩阵A的不同多项式是可交换的 2 3方阵的逆矩阵 这说明 A的多项式可以像代数中x的多项式那样进行因式分解 例12就是一个例子 即f A q A q A f A 第二章矩阵 2 3方阵的逆矩阵 例12 已知A满足A2 5A 4E O 求证A 3E可逆 解 思路 借鉴代数中因式分解的方法 求得A 3E的表达式 同样要注意矩阵运算时与代数运算的不同之处 对已知方程进行因式分解 A 3E A 2E 2E O A 3E A 2E 2E A 3E A 2E A 3E A 2E 2n 显然 A 3E 0 A 2E 0 即 A 3E和A 2E的逆矩阵存在 其中 A 3E 1 A 2E 2 第二章矩阵 2 4分块矩阵 一 基本概念 2 4分块矩阵 1001201045001763210065400 分块矩阵的概念 如果将矩阵用若干条横线和纵线分割成许多小矩阵 则每一个小块都可构成一个矩阵 称之为原矩阵的子块 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 特点 同行上的子矩阵有相同的 行数 同列上的子矩阵有相同的 列数 第二章矩阵 2 4分块矩阵 A A1 A2 An 每个子块都是列向量 二 常用的分块法 1 设A为m n矩阵 记Aj为A的第j列 i为A的第i行 j 1 n i 1 m 则有如下两种简单 重要的分块方法 第二章矩阵 2 4分块矩阵 设A为n阶矩阵 若A的分块矩阵只有主对角线上有非零子块 其余子块都为零矩阵 且非零子块都是方阵 即 其中A1 A2 As都是方阵 则称A为分块对角矩阵 或准对角矩阵 例如 2 分块对角矩阵 对一些特殊的矩阵适用 第二章矩阵 2 4分块矩阵 第二章矩阵 2 4