自然界和社会上发生的现象是各种各样的..ppt

引言 自然界和社会上发生的现象是各种各样的 可分为两类 确定性现象 在一定条件下必然发生某一结果的现象 其特性是在相同的条件下重复进行实验或观察 它的结果总是确定不变的 例如 在标准大气压下 纯水加热到1000C时必然会沸腾 半径是R时 圆面积一定是等 随机现象 在相同条件下 重复进行实验或观察 它的结果未必是相同的现象 其特性是重复进行实验或观察 可预言该条件下实验或观察的所有可能结果 但是在实验前或观察前无法预测出现哪一个结果 而实验或观察后必然出现一个可能结果 例如 掷硬币出现正面反面情况 在一定条件下 某射手向靶射击一弹 观察中靶情况 等等 概率论与数理统计就是研究随机现象的数量统计规律性的数学分支 确定性现象是用经典的数学理论方法来研究其确切的因果关系 概率论研究随机现象有其独特的方法 是通过对随机现象的大量观察揭示其规律性 同学在学习中要注意其规律和方法 随机现象其结果的发生呈现偶然性 但在一定条件下对其进行大量重复实验或观察 它的结果会出现某种规律性 这是随机现象所呈现的固有规律性 称为随机现象的统计规律性 这正是概率论所研究的对象 第一章概率论的基本概念 随机试验我们把对随机现象进行一次试验或观察 统称为随机试验 记为E 叙述试验 我们要注意到 1 在一定条件下 进行一次试验 包括内容 试验条件 观察特性 要观察的目的 2 结果的描述随机试验有什么特点 下面举例看一看 随机试验E 样本空间 基本事件 事件 概率的定义 上面所列举的试验 其共同的特点是 1 可以在相同的条件下重复进行 可重复性 2 试验的可能结果不止一个 并能事先明确试验的所有可能的结果 预知性 3 一次试验之前不能确定预言中哪一个结果会出现 随机性 具有上述三个特点的试验称为随机试验 简称为试验 记为E 我们是通过研究随机试验来研究随机现象的 二 随机试验E的每一个可能出现的结果叫做基本事件 记为或e 所有基本事件组成的集合叫样本空间 记为 样本点满足两点 1完备性 样本点是E的所有可能结果2互斥性 任何两个基本事件都不会在一次试验中同时发生 三 一个或多个基本事件组成的集合叫随机事件 记为A B C 关系 如 出现正面 第二次出现正面 取到卡片上号码大于3 C 4 5 6 四 频率与概率 频率 在相同条件下 独立重复进行n次试验 在这n次试验中 事件A发生的次数nA叫事件发生的频数 比值nA n称为事件A发生的频率 记为fn A 特点 1 频率在一定程度上可以反映事件A发生的可能性大小 2 具有波动性的弱点 频率具有 稳定性 的特性 即当试验次数n逐渐增大时 频率fn A 逐渐稳定某一定数 例 掷一枚均匀硬币 记录前400次掷硬币试验中 正面出现频率fn H 的趋势 如图 由上面演示可看出 在多次试验中 事件的频率总是在一个 定值 附近摆动 而且当试验次数n越大 这个摆动的振幅越小 这个特性叫频率的稳定性 这是大量实践中得到的随机现象的统计规律性 我们将频率稳定于某一定数定义为A发生的概率 记P A 用它表示事件A发生的可能性大小 概率的频率定义 在一组不变的条件下 重复作n次试验 记m是n次试验中事件A发生的次数 当试验次数n很大时 如果频率m n稳定地在某数值p附近摆动 而且一般地说 随着试验次数的增加 这种摆动的幅度越来越小 称数值p为事件A在这一组不变的条件下发生的概率 记作P A p 概率的定义 设S是试验E的样本空间 对于E的每一事件A赋予一个实数P A 如果P A 满足 公理 1 对于任何事件A 有 公理 2 对于S 有P S 1 公理 3 对于对于两两互斥的事件A1 A2 Am 则称P A 为事件A的概率 概率的公理化定义 二 概率的计算 一 直接计算 古典概型 1 E的样本空间S只含有限个样本点 基本事件 记n2 E的每个基本事件发生的可能性相同 古典概型中 其中n是S中的个数 k是A中包含的个数 1 计算n k要用到两个基本原理和排列 组合 1 乘法原理 如果完成某件事需经k个步骤 第一个第二个 第k个步骤有步骤有步骤有 n1种方法n2种方法 nk种方法 必须经过每一步骤才能完成此事 则完成这件事共有种不同方法 北京到上海的走法共有 2 加法原理设完成某件事有k种方式 第一种第二种 第k种方式有方式有方式有n1种方法n2种方法 nk种方法无论通过哪种方式都可以完成此事 则完成这件事总共有n1 n2 nk种方法 北京到天津的共有3 5 6 11种方法 排列公式 如 该公式可视为以下模型 m个球放在n个盒子中 每个盒子最多 有一个球 或说m个球都不在同一盒子中 第一个球任意放在n个盒中之一 有n种方法可放 第二个球任意放在剩下n 1个盒中之一 有n 1种方法 第m个球任意放在剩下n m 1个盒中之一 有n m 1种方法 把m个球全放完共有方法 种 特别 可重复排列 如 m个球任意放入n个盒子中 盒中球的个数不限 共有方法种 如 从0 1 2 9个数字中任取7个数字为某城市的电话号码 该城市最多可安装电话的部数是 组合公式 2 抽样方法 10无放回抽样 抽取 即是第一次从中任取一个 不放回再取一个 又不放回 再取下一个 20有放回抽样 抽取 即是第一次从中任取一个 放回再取一个 又放回 再取下一个 例1 从1 3 5三个数字中任取一个数字 求取的数字大于等于3的概率 解 设A表示事件 任取一个数字大于等于3 S 1 3 5 n 3 k 2 例2 从1 3 5三个数字中任取一个数字 不放回的再从中任取一个数字 求下列事件的概率 1 第一次取的是3 第二次取的是5 A 2 取的两个数字是3和5 B 分析 第一次取球的情况 不放回 第二次抽取 可知 S 1 3 1 5 3 1 3 5 5 1 5 3 解 n 6 1 k 1 2 k 2 此问题 能否用如下方法计算是否对 例3 如果例2中的抽样方法为有放回抽样 求P A P B 第一次取球的情况 有放回 第二次抽取 135 S 1 1 1 3 1 5 3 1 3 3 3 5 5 1 5 3 5 5 n 9 分析 解 例4 从分别标号为1 2 3 4 5 6 7 8 9的9件同型产品中 有放回的任取3件 求 取得3件的号码都是偶数 的概率 分析 由于是有放回的抽取 每取一件产品都有9种不同的取法 有放回的抽取3件 便有种不同的结果 而要求取得的号码是偶数 所以只能从标号为偶数的4个中取得 有放回的取3件 便有种不同的结果 解 设D 取得3件产品的标号都是偶数 思考 如果是无放回的抽取 结果如何呢 例5 在100件同型产品中有5件废品 其余都是正品 今从100件中无放回的任取10件 求取的产品正好有三件废品的概率 分析 正好取得3件废品实际上是 正好取得3件废品 7件正品 从100件中无放回的取10件 共有种不同的取法 正好取得3件废品 只能从5件废品中任取3件 共有不同的取法 而另外7件必须从95件正品中取得 其不同的取法有种 所以正好取得3件废品共有种不同的取法 解 设A 正好取得3件废品 A B中至少有一个发生时 A发生或B发生 与 事件A B发生 是等价的 二 用概率性质 1 集合运算 和 交 积 差 自己复习 事件A和B同时发生 A发生且B发生 A和B都发生 与 事件AB发生 是等价的 A发生且B不发生时 事件A B发生 A与B互斥 互不相容 即A与B没有共同元素 A与B对立 互逆 满足条件 且 S A 也称为A的逆事件 记为 2 概率的性质 要熟记 10若 则 20一般加法公式 30 两两互斥 则 如 产品的次品率是5 次品 A 正品 40 例5 甲 乙二人独立破译密码 甲 乙能译出的概率依次为0 5 0 6 又知甲乙能同时译出的概率是0 4 求密码能译出的概率 解 甲能译出 A 乙能译出 B 甲乙能同时译出 AB 由条件知P A 0 5 P B 0 6 P AB 0 4 P 密码能译出 P A B P A P B P AB 0 5 0 6 0 4 0 7 例6 已知事件A的概率P A 0 6 求 法一 条件扩大 法二 B A 例7 在同型产品中 有8件次品 其余为正品 今从这100件产品中 任取10件 求至少取得1件次品的概率 解 记A 至少取得一件次品 法一 用古典概率知 法二 先计算 不取得次品 三 条件概率与乘法公式 例 甲 乙两厂生产同一种零件 它们的产品情况如下表 产品混放在一起 从中任取一件产品 1 取得的一件产品是甲厂生产的 A 求P A 2 取得的一件产品是次品 B 求P B 3 取得的一件产品是甲厂生产的次品 AB求P AB 4 已知取得的一件是甲厂的产品 求它是次品的概率 解 注意 以上四个问题的不同之处 什么叫 条件 定义 若P A 0 A发生的条件下B发生的条件概率为 若P B 0 B发生的条件下 A发生的条件概率为 计算方法 一 公式法 二 直接计算 注 条件概率具有概率的性质 请自己总结 2 乘法公式 若P A 0有 P B 0有 注意 如何把实际问题表述成事件的关系运算来求解 区分 如 一批产品是甲 乙二厂生产的 从中任取一件产品 任取一件是甲厂的产品 A 任取一件是次品 B 求甲厂的生产的次品的概率 如何表达 甲厂产品的次品率 如何表达 例8 盒中有10件同型产品 其中8件正品 2件次品 现从盒中无放回的连取2件 求第一次 第二次都取得正品的概率 解 记A 第一次取得正品 B 第二次取得正品 则AB 第一次取得正品 第二次也取得正品 因为在第一次已取得正品下 第二次在取得产品时 盒中只剩9件产品 其中正品只有7件 所以 由乘法公式得 例9 将6个球 其中3个红球 3个白球 随机放入3个盒子中 求每个盒子正好都放入一个红球一个白球的概率 解 记Ai 第i个盒子正好放入一个红球一个白球 i 1 2 3 则 每盒正好放入一个红球一个白球 事件可表成A1A2A3 由概率的乘法公式得 例10 某厂产品的次品率是0 04 正品中一等品占90 求从这批产品中任取一件是一等品的概率 解 设 正品 A 一等品 B 已知 P A 0 96 P 任取一件产品是一等品 P B 4 事件的独立性 如果 说明B的发生对A发生的概率无影响 说明A的发生对B发生的概率无影响 称A与B互相独立 定义 若事件A B满足 则称A和B互相独立 反之也成立 若 互相独立 则 注意 互相独立的定义应是 两两独立 必须满足以上所有等式都成立 有 小结 1 A和B独立 一般情况 2 如果已知A与B相互独立 则可知 3 如果A与B相互独立 则 如甲 乙二人的射击问题 例11 已知事件A与B相互独立 且知 则 解 例12 已知 1 若A与B互斥 求 2 若A与B互相独立 求 解 1 若A与B互斥 2 若A与B互相独立 注意 A与B对立 互逆 A与B互斥 互不相容 A与B独立的概念区别 用处 A与B对立 A与B互斥 A与B互相独立 A B 若 则 即 例12 甲 乙两名稳健射手各对目标射出一发子弹 记 A 甲命中目标 B 乙命中目标 已知 求 1 甲 乙都命中目标的概率 2 甲乙至少有一人命中目标的概率 解 因为甲 乙二人都稳健 可认为其中一人命中与否 不影响另一人命中与否的概率 即A与B互相独立 2 法一 法二 且易知与独立 例13 袋中有4个红球 3个白球 每次从中任取一个不放回的取二次 求下列事件的概率 1 第二次才取到红球 2 第二次取到红球 解 设表示第i次取到的是红球 i 1 2 1 P 第二次才取到红球 2 四 全概率公式与贝叶斯公式 设S为试验E的样本空间 B1 B2 Bn为E的一组事件 且 即 则 全概率公式 贝叶斯公式 小结 用全概率公式求解问题一般应具有三个条件 1 问题是求一个事件 如设为A 的概率P A 2 A的发生可能有 多种原因 或 多种条件 或 多种情况下发生 的诸事件记为 B1 B2 Bn 满足 和 3 由题中条件易求出 注意 4 k 1 2 n 例14某库内有同型产品1000件 其中500件是甲厂生产的300件是乙厂生产的 200件是丙厂生产的 已知甲厂产品次品率为1 乙厂产品次品率为2 丙厂产品次品率为4 今从库内任取一件产品 求 1 求取得一件次品的概率 2 若已知取得一件次品 求取得的产品属于甲厂的产品的概率 解 1 记 取得的产品属于甲厂产品 取得的产品属于乙厂产品 取得的产品属于丙厂产品 取得一件次品 易知以下结论 且 两两互斥 2 贝努里试验 每次试验有二个结果A 成功 与 失败 叫贝努里试验 在相同的条件下 独立进行n次试验叫n重贝努里试验En 即 每次试验只有两个结果A和且P A p 都相同 各次试验独立 En的n次试验中 事件A发生k次的概率为 如 表示第i次试验A发生 P n次独立试验中恰好有2次A发生 例15 设每台机床在一天内需要修理的概率为0 02 某车间有50台这种机床 试求在一天内需要修理的机床不多于