人教A版必修2 1.2空间几何体的三视图和直观图 学案.doc

互动课堂疏导引导1.平行投影与中心投影(1)中心投影法中心投影法就是指投射线都是从投影中心出发的，所得到的投影称为中心投影中心投影一般用于透视图，主要用于绘制建筑物或其他物品的富有逼真感的立体图例如图中，一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影一般来说，人的视觉、照片、美术作品等都是中心投影中心投影的性质 空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但是平行线可能变成相交直线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点中心投影后的图形与原图形相比不一样，但是，直观性强，这是因为中心投影看起来与人的视觉效果一致，最像原来物体，所以绘图时经常使用这种方法但是立体几何中很少使用我们本节学习的斜二测画法是平行投影，以后我们一般用这种方法(2)平行投影已知图形f，直线l与平面相交，如图，过f上任意一点m作mm平行于l,交平面于点m,则点m叫做点m在平面内关于直线l的平行投影,如果图形f上的所有点在平面内关于直线l的平行投影构成图形f,则f叫图形f在平面内关于直线l的平行投影，平面叫投射面，直线l叫投射线平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质：()直线或线段的平行投影仍是直线或线段；()平行直线的平行投影是平行或重合的直线；与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；()平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长，如图中abab,cdcd;在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.2.三视图(1)三视图是从三个不同的方向看同一个物体而得到的三个视图为了使空间图形的直观图更能直观、准确地反映空间图形的大小，往往需要把图形向几个不同的平面分别作投影，然后把这些投影放在同一个平面内，并有机地结合起来表示物体的形状和大小通常，总是选取三个两两互相垂直的平面作为投射面，如图1，一个投射面水平放置，叫水平投射面，投射到这个平面内的图形叫俯视图一个投射面放置在正前方，叫直立投射面，投射到这个平面内的图形叫正视图和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投影的右面，投射到这个平面内的图形叫侧视图图2是一个长方形的三视图,正视图是一个矩形,表示长方体的长度和高度;它的俯视图也是一个矩形,它表示长方体的长度和宽度;它的侧视图同样也是一个矩形,它表示长方体的宽度和高度把这三个投影图放在一个平面内,如图2就是一个三视图图1 图2(2)正视图反映物体的主要形状特征，是三视图中最重要的视图；俯视图要与正视图对正；侧视图要画在正视图的正右方，高度方向要与正视图平齐，俯视图与侧视图共同反映物体的宽度要相等(3)三视图的排列规则是：先画正视图，俯视图安排在正视图的正下方，长度与正视图一样，侧视图安排在正视图的正右方，高度与正视图一样(4)当物体形状复杂时，三视图还不足以反映它的大小和形状，还需要更多的投射平面，或者分解成几部分分别画三视图(5)三视图的画法 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画几何体的三视图的要求是正视图、俯视图长对正，正视图、侧视图高平齐，俯视图、侧视图宽相等，前后对应.画出的三视图要检验是否符合“长对正、宽相等、高平齐”的基本特征.由三视图想象几何体时也要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本特征，想象视图中每部分对应的实物部分的形象.特别注意几何体中与投影面垂直或平行的线及面的位置.对于简单几何体的组合体，首先要分清它是由哪些简单几何体组成的，然后再画出它的三视图.案例1 画出图中所示几何体的三视图.【探究】 画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚仔细观察实物模型，想象从三个角度各看到了什么，进而准确地画出几何体的三视图【规律总结】 画物体的三视图时可以想象自己就站在物体的正前方、正上方、正左方，观察它是由哪些基本几何体组合而成，它的外轮廓线是什么，然后再去画图，有条件的还可以观察实物模型，也可以自己去把模型做出来，这是一个从模型到图形的过程，从具体到抽象再到具体的过程，是提高空间想象能力的有效做法案例2 用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它至少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？【探究】 此题学会用三视图抽象出几何体的形状，由俯视图可知此几何体应是有三行和三列，且第三列的第一行、二行都没有小立方块，其余的各列各行都有小立方块，再根据主视图，第一列中有一行是三层，第二列中至少有一行是二层，第三列第三行只有一层，这样就可推出小立方块的个数.最少要10个小立方块，最多要16个小立方块.【规律总结】 根据两视图就可以估测到物体的形状应是什么样子，如果是三视图就可得到具体的物体形状.3.水平放置的平面图直观图画法用斜二测画法画水平放置直观图的步骤是(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点o.(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段.(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.案例3 如图所示,梯形abcd中,abcd,ab=4 cm,cd=2 cm,dab=30,ad=3 cm,试画出它的直观图.【探究】 利用斜二测画法作该梯形的直观图.第一步：在梯形abcd中，以边ab所在的直线为x轴，点a为原点，建立平面直角坐标系xoy画出对应的x轴，y轴，使xay=45 .第二步：过d点作dex轴，垂足为e，在x轴上取ab=ab=4 cm，ae=ae= cm2598 cmde.过e作edy轴，使ed= ed，再过点d作dcx轴，且使dc=cd=2 cm.第三步：连结ad、bc、cd，并擦去x轴与y轴及其他一些辅助线，则四边形abcd就是所求作的直观图【规律总结】 (1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点(2)原图中的共线点，在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线(3)本题中，关键在于点d位置的确定，这里我们采用作垂线的方法，先找到垂足e，再去确定d的位置案例4 已知正三角形abc的边长为a,那么abc的平面直观图abc的面积为( )a. b. c. d.【探究】 先根据题意,画出直观图,然后根据直观图abc的边长及夹角求解.图(1) 图(2)如图(1)、(2)所示的实际图形和直观图，由(2)可知，ab=ab=a，oc=，在图(2)中作cdab于d，则cd=oc=，sabc=abcd= .【规律总结】 本例是求直观图的面积，因此应在直观图中求解，需求出直观图的底和高，然后用三角形面积公式求解.4.几何体直观图的画法 关于空间形体直观图的画法，在中学，主要学习画柱、锥、台、球等几种特殊的几何体的直观图的方法.要掌握这些画法的基础，必须充分地理解和掌握在水平面上画平面图形的直观图的方法或规则.从前面的讨论看出，画平面图形的直观图，其关键是确定各顶点(或其他有代表性的点)的位置；而确定点的位置，需要选取有关的两个坐标系；并在两个坐标系之间，需要建立一定的对应关系；其中以平行射影的性质为主要理论依据. 空间形体直观图的画法规则，比平面图形的直观图画法规则只是多了一个z轴和它的平行射影z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变.使z轴与其他两轴之一成90 角，而与另一轴成45(或135)，点的坐标对应关系如下： 图中平面xoy表示水平平面,平面xoz和yoz表示直立面,其中一个为正立面,另一个为侧立面. 画空间形体直观图的主要步骤为:(1)画轴;(2)画底面;(3)立高;(4)成图.5.已知三视图画直观图 在工程技术中,图纸上对一个几何体为了全面展示其特征和尺寸,常给出三视图,而要清晰地观察到其效果,则需将其转为直观图(具体空间立体感) 由三视图想象几何体画直观图时也要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基特征，想象视图中每部分对应的实物部分的形象.活学巧用1.如图所示，水平放置的正三角形abc，在它的正上方有光源s请探究如下问题.(1)应怎样画出它在地面上的投影？它的投影是一个什么样的三角形？(2)若光源s慢慢远离正三角形abc时，它在地面上的投影有何变化？(3)当光源s趋近于无限远时，正三角形abc和它在地面上的投影有何关系？(4)你从中能领悟出中心投影与平行投影之间有何关系？解析：这里的光源s也就是中心投影的投射中心，光线从s点发出，只需将正三角形abc的三个顶点在地面上的投影a1、b1、c1找到，则a1b1c1就是正三角形abc在地面上的投影.由于正三角形abc所在的平面与地面平行，故a1b1c1是正三角形.光源s慢慢远离正三角形abc时，a1b1c1慢慢变小；当光源s趋近于无限远时，光线趋近于平行，因此，a1b1c1趋近于与abc全等.由此我们也可以得出，平行投影可以看作投射中心在无限远处的中心投影.2.下列命题中真命题的个数是( )正方形的平行投影一定是菱形；平行四边形的平行投影一定是平行四边形；三角形的平行投影一定是三角形.a.0个 b.1个 c.2个 d.3个解析：因为当平面图形与投射线平行时，所得的投影是线段，所以三个命题均不成立.答案：a3.如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列结论正确的是( )a.内心的平行投影还是内心 b.重心的平行投影还是重心c.垂心的平行投影还是垂心 d.外心的平行投影还是外心答案：b4.如图所示,水平放置的圆柱形物体的三视图是( )解析:此题主要研究实物体到三种视图的转化过程,主视图是通过正面观察物体的形状,左视图是从左侧面去观察,俯视图是从上往下看物体的形状如何.从正面看是个矩形,从左面看是个圆,从上往下看是一个矩形,对照图中的a、b、c、d，可知a是正确的.答案：a5.画出如图所示几何体的三视图.解析:两几何体的三视图分别是图(1)、(2)6.如图所示的圆锥的三视图是( )a.主视图和左视图是三角形,俯视图是圆b.主视图和左视图是三角形,俯视图是圆和圆心c.主视图是圆和圆心,俯视图和左视图是三角形d.主视图和俯视图是三角形,左视图是圆和圆心答案：a7.如图,甲为直观图的三视图,它对应的直观图是图乙中的( )甲乙答案：乙8.如图,已知aboy,adbcox,那么,直观图所示的平面图形是( )a.任意四边形 b.直角梯形 c.任意梯形 d.等腰梯形解析:aboy,bcox.答案：b9.如图,aboy,bcox,那么,直观图所示的平面图形是( )a.任意三角形 b.锐角三角形 c.直角三角形 d.钝角三角形解析:aboy.答案：c10.画出水平放置的等腰梯形的直观图.画法:(1)如图(1),取ab所在直线为x轴,ab中点o为原点,建立直角坐标系,画对应的坐标系xoy,使xoy=45.(2)以o为中点在x轴上取ab=ab,在y轴上取oe=oe,以e为中点画cdx轴,并使cd=cd.(3)连结bc、da，所得的四边形abcd就是水平放置的等腰梯形abcd的直观图，如图(2).11.下图为一个平面图形的直观图，请画出它的实际形状.图1解析:在图1中建立如图所示的坐标系xay,再建立一个直角坐标系,如图2所示.图2在x轴上截取线段ab=ab,在y轴上截取线段ad,使ad=2ad.过b作bcad,过d作dcab,使bc与dc交于点c,则四边形abcd即为abcd的实际图形.点评：还原图形的过程是画直观图的逆过程,它主要包括平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段变为原来的2倍.12.如图,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.解析:由几何体的三视图知道,这个几何体是一个简单组合体,它的下部是一个圆