人教A版必修五 余弦定理及其直接应用 学案.docx

1.2余弦定理第1课时余弦定理及其直接应用学习目标1.掌握余弦定理及其证明方法.2.会用余弦定理解决两类问题：“已知三边”、“已知两边夹角”解三角形知识点一余弦定理思考根据勾股定理，若在abc中，c90，则c2a2b2a2b22abcos c试验证式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？答案当abc时，c60，a2b22abcos cc2c22cccos 60c2，即式仍成立，据此猜想，对一般abc，都有c2a2b22abcos c.梳理余弦定理及公式表达：余弦定理公式表达a2b2c22bccos a，b2a2c22accos b，c2a2b22abcos c语言叙述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍推论cos a，cos b，cos c知识点二适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题思考1观察知识点一梳理表格第一行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形思考2观察知识点一梳理表格第三行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形梳理余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形1勾股定理是余弦定理的特例()2余弦定理每个公式中均涉及三角形的四个元素()3在abc中，已知两边及其夹角时，abc不一定唯一()类型一余弦定理的证明例1已知abc，bca，acb和角c，求c.考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理的理解解如图，设 a，b，ac，由，知cab，则|c|2cc(ab)(ab)aabb2aba2b22|a|b|cos c.所以c2a2b22abcos c.反思与感悟所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方跟踪训练1例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理的理解解如图，以a为原点，边ab所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则a(0,0)，b(c,0)，c(bcos a，bsin a)，bc2b2cos2a2bccos ac2b2sin2a，即a2b2c22bccos a.同理可证b2c2a22cacos b，c2a2b22abcos c.类型二用余弦定理解三角形命题角度1已知两边及其夹角例2在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若a3，b2，cos(ab)，则c .考点用余弦定理解三角形题点已知两边及其夹角解三角形答案解析由三角形内角和定理可知cos ccos(ab)，又由余弦定理得c2a2b22abcos c9423217，所以c.反思与感悟已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角跟踪训练2在abc中，已知a2，b2，c15，求a.考点用余弦定理解三角形题点已知两边及其夹角解三角形解由余弦定理，得c2a2b22abcos c84，所以c.由正弦定理，得sin a，因为ba，所以ba，所以a为锐角，所以a30.命题角度2已知三边例3在abc中，已知a2，b62，c4，求a，b，c.考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三解形解根据余弦定理，cos a.a(0，)，a，cos c，c(0，)，c.bac，a，b，c.反思与感悟已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cos a，cos b，cos c先求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理跟踪训练3在abc中，sin asin bsin c245，判断三角形的形状考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三角形解因为abcsin asin bsin c245，所以可令a2 ，b4 ，c5 ( 0)c最大，cos cbc，c为最小角且c为锐角，由余弦定理，得cos c.又c为锐角，c.3在abc中，已知a2c2b2ab，则角c的大小为 考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理的变形应用答案解析由余弦定理，得cos c，又因为c(0，)，所以c.4如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三角形答案解析设顶角为c，周长为l，因为l5c，所以ab2c，由余弦定理，得cos c.1利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形(2)已知三边求三角形的任意一角2余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角一、填空题1在abc中，已知b120，a3，c5，则b .考点用余弦定理解三角形题点已知两边及其夹角解三角形答案7解析b2a2c22accos b3252235cos 12049，b7.2边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是 考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三角形答案120解析设中间角为，则为锐角，cos ，60，18060120为所求3在abc中，b120，ac7，ab5，则abc的面积为 考点用余弦定理解三角形题点已知三角形三边求面积答案解析由余弦定理知ac2ab2bc22abbccos 120，即4925bc25bc，解得bc3(负值舍去)故sabcabbcsin 12053.4在abc中，已知b2ac且c2a，则cos b .考点余弦定理及其变形应用题点已知三边之比或三角正弦之比，求角答案解析b2ac，c2a，b22a2，cos b.5abc的三边长分别为ab7，bc5，ca6，则的值为 考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理的变形应用答案19解析设三角形的三边分别为a，b，c，依题意得，a5，b6，c7.|cos(b)accos b.由余弦定理得b2a2c22accos b，accos b(b2a2c2)(625272)19，19.6在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.若a4，b5，c6，则 .考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三角形答案1解析由余弦定理得cos a，所以1.7在abc中，若a2，bc7，cos b，则b .考点余弦定理解三角形题点已知三角形的相关边与角，求边答案4解析在abc中，由b2a2c22accos b及bc7，知b24(7b)222(7b)，整理得15b600.所以b4.8若abc的内角a，b，c所对的边a，b，c满足(ab)2c24，且c60，则ab的值为_考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理的变形应用答案解析(ab)2c2a2b2c22ab4，又c2a2b22abcos ca2b2aba2b2c2ab，3ab4，ab.9在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若a2b2c2，且sin c，则c_.考点余弦定理及其变形应用题点用余弦定理求边或角的取值范围答案解析因为a2b2c2，所以cos c0，所以三角形是钝角三角形，且c.又因为sin c，所以c.10在abc中，a60，最大边长与最小边长是方程x29x80的两个实根，则边bc的长为_考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理与一元二次方程结合问题答案解析设内角b，c所对的边分别为b，c.a60，可设最大边与最小边分别为b，c.由条件可知bc9，bc8，bc2b2c22bccos a(bc)22bc2bccos a922828cos 6057，bc.11在abc中，ab2，ac，bc1，ad为边bc上的高，则ad的长是_考点余弦定理解三解形题点已知三边解三角形答案解析cos c，c，sin c.adacsin c.二、解答题12在abc中，已知a120，a7，bc8，求b，c.考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理的变形应用解由余弦定理，得a2b2c22bccos a(bc)22bc(1cos a)，所以49642bc，即bc15, 由解得或13在abc中，a2c2b2ac.(1)求b的大小；(2)求cos acos c的最大值考点用余弦定理解三角形题点余