人教A版必修5 应用举例 第3课时　三角形中的几何计算 学案.doc

第3课时三角形中的几何计算1掌握三角形的面积公式的应用(重点)2掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用(难点)基础初探教材整理三角形面积公式阅读教材p16练习以下部分p18例9，完成下列问题1三角形的面积公式(1)sahabhbchc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；(2)sabsin cbcsin_acasin_b；(3)s(abc)r(r为内切圆半径)2三角形中常用的结论(1)abc，；(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；(4)三角形的诱导公式sin(ab)sin_c，cos(ab)cos_c，tan(ab)tan_c，sin cos ，cos sin .1下列说法中正确的是_(填序号)(1)已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积s(abc)r；(2)在abc中，若cb2，sabc，则a60；(3)在abc中，若a6，b4，c30，则sabc的面积是6；(4)在abc中，若sin 2asin 2b，则ab.【解析】(1)错误因为一个三角形可以分割成三个分别以a，b，c为底，以内切圆的半径为高的三角形，所以三角形的面积为sarbrcr(abc)r.(2)错误由三角形面积公式sbcsin a得，22sin a，所以sin a，则a60或a120.(3)正确因为三角形的面积sabsin c64sin 306.(4)错误因为在abc中，若sin 2asin 2b，则2a2b或2a2b，即ab或ab.【答案】(3)2在abc中，a6，b30，c120，则abc的面积为_. 【解析】由题知a1801203030，b6，s66sin 1209.【答案】93在abc中，ab60，sabc15，abc的外接圆半径为，则边c的长为_【解析】sabcabsin c15，sin c.由正弦定理2r，c2rsin c3.【答案】34若abc的面积为，bc2，c60，则边ab的长度等于_【解析】在abc中，由面积公式得sbcacsin c2acsin 60ac，ac2.bc2，c60，abc为等边三角形，ab2.【答案】2小组合作型三角形面积的计算 (1)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知b2，b，c，则abc的面积为()a22b.1c22d.1(2)在abc中，sabc(a2b2c2)，则c_.(3)在abc中，a60，ab2，且abc的面积sabc，则边bc的长为_【精彩点拨】(1)利用正弦定理求边c，然后利用三角形面积公式求解(2)由三角形面积sabsin c与余弦定理cos c相结合求解(3)由已知可先利用三角形面积公式sbcsin a求出ac，然后利用余弦定理求bc.【自主解答】(1)由正弦定理及已知条件得c2，又sin asin(bc).从而sabcbcsin a221.(2)由sabc(a2b2c2)得absin c(a2b2c2)，即sin c，sin ccos c，即tan c1，c.(3)由sabc，得abacsin a，即2ac，ac1.由余弦定理得bc2ab2ac22abaccos a22122213，bc.【答案】(1)b(2)(3) 1由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用，若三角形的面积已知，常选择已知的那个面积公式2如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算再练一题1已知在abc中，cos a，cos b，bc5，求abc的面积. 【解】由cos a，得sin a.由cos b，得sin b.所以sin csin(ab)sin acos bcos asin b.由正弦定理得ac.所以abc的面积为sbcacsin c5.三角形的证明问题在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c.证明：.【精彩点拨】由左往右证，可由边化角展开；由右往左证，可由角化边展开【自主解答】法一：由余弦定理a2b2c22bccos a，b2a2c22accos b，a2b2b2a22bccos a2accos b，整理得：.依正弦定理有，.法二：.1三角恒等式证明的三个基本原则：(1)统一边角关系(2)由繁推简(3)目标明确，等价转化2三角恒等式证明的基本途径：(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形(2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形再练一题2在abc中，求证：.【证明】由正弦定理得右边左边原等式成立探究共研型三角形中的综合问题探究1如图1230所示，图中共有几个三角形？线段ad分别是哪些三角形的边，b是哪些三角形的内角？图1230【提示】在图形中共有三个三角形，分别为abc，abd，adc；线段ad是adc与abd的公共边，b既是abc的内角，又是abd的内角探究2在探究1中，若sin bsin adb，则abd是什么形状的三角形？在此条件下若已知abm，dcn，如何求出ac?【提示】若sin bsin adb，则abd为等腰三角形，在此条件下，可在abd中先求出ad，然后利用余弦定理在adc中求出ac，也可以在abd中先求出bd，然后在abc中，利用余弦定理求出ac.在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知a，bsincsina.(1)求证：bc；(2)若a，求abc的面积【精彩点拨】(1)先由正弦定理化边为角，再化简已知三角形即证(2)结合第(1)问可直接求出b，c，再利用面积公式求值；也可以作辅助线导出b，c的大小关系，再由余弦定理求值，最后用面积公式求解【自主解答】(1)由bsincsina，应用正弦定理，得sin bsinsin csinsin a，所以sin bsin csin bcos b，整理得sin bcos ccos bsin c1，即sin(bc)1，因为0b，0cb，所以ab，则b，所以c，sabcabsin c11.【答案】5已知a，b，c分别为abc内角a，b，c的对边，sin2b2sin asin c.(1)若ab，求c