人教A版必修二 1.3.2球的体积和表面积 学案.doc

13.2球的体积和表面积球的体积和表面积提出问题从生活经验中我们知道，不能将橘子皮展成平面，因为橘子皮近似于球面，这种曲面不能展成平面图形那么，人们又是怎样计算球面的面积的呢？古人在计算圆周率时，一般是用割圆术，即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长理论上，只要取得圆内接正多边形的边数越多，圆周率越精确，直到无穷这种思想就是朴素的极限思想问题1：运用上述思想能否计算球的表面积和体积？提示：可以问题2：求球的表面积和体积需要什么条件？提示：已知球的半径即可导入新知1球的体积设球的半径为r，则球的体积vr3.2球的表面积设球的半径为r，则球的表面积s4r2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍化解疑难1一个关键把握住球的表面积公式s球4r2，球的体积公式v球r3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了2两个结论(1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方(2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方球的体积与表面积例1若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比解设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为r，则由题意得(2r)2hr3，rh，r2h，l h，s圆锥侧rl2hh2h2，s球4r24h2，.类题通法求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径r或者通过条件能求出半径r，然后代入体积或表面积公式求解(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了活学活用球的体积是，则此球的表面积是()a12b16c. d.答案：b根据三视图计算球的体积与表面积例2一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是_cm2.答案412类题通法1由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆2计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉活学活用如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为()a18b30c33d40答案：c球的截面问题例3已知球的两平行截面的面积为5和8，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积解如图所示，设以r1为半径的截面面积为5，以r2为半径的截面面积为8，o1o21，球的半径为r，oo2x，那么可得下列关系式：rr2x2且r(r2x2)8，rr2(x1)2且rr2(x1)25，于是(r2x2)r2(x1)285，即r2x2r2x22x13，2x2，即x1.又(r2x2)8，r218，r29，r3.球的表面积为s4r243236.类题通法球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题(2)解题时要注意借助球半径r，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即r2d2r2.活学活用已知过球面上三点a，b，c的截面到球心的距离等于球半径的一半，且acbc6，ab4，求球的表面积与球的体积解：如图，设球心为o，球半径为r，作oo1垂直平面abc于o1，由于oaobocr，则o1是abc的外心设m是ab的中点，由于acbc，则o1在cm上设o1mx，易知o1mab，设o1a，o1ccmo1mx.又o1ao1c，x.解得x.则o1ao1bo1c.在rtoo1a中，o1o，oo1a90，oar.由勾股定理得22r2.解得r.故s球4r254，v球r327.1探究与球有关的组合问题典例一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为_解析长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2r，所以球的表面积s4r214.答案14多维探究1球的内接正方体问题若棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的体积解：正方体的外接球直径等于正方体的对角线长，即2r2，所以r，所以v球()34.2球内切于正方体问题将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()a.b.c. d.答案：a3球的内接正四面体问题若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为r的球面上，求球的表面积解：把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则ax，由题意2rxa，s球4r2aa.4球的内接圆锥问题球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_解析：当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是，于是圆锥的底面半径为 ，高为.该圆锥的体积为2r3，球体积为r3，该圆锥的体积和此球体积的比值为.同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为.答案：或5球的内接直棱柱问题设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()aa2 b.a2c.a2 d5a2答案：b方法感悟1正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1，过在一个平面上的四个切点作截面，如图(1)2球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2，如图(2)3长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3 ，如图(3)4正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径r的关系为2ra.5正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径r的关系为：2ra.随堂即时演练1两个球的半径之比为13，那么两个球的表面积之比为()a19b127c13 d11答案：a2棱长为2的正方体的外接球的表面积是()a8 b4c12 d16答案：c3火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积的_倍答案：84已知oa为球o的半径，过oa的中点m且垂直于oa的平面截球面得到圆m.若圆m的面积为3，则球o的表面积等于_答案：165(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积(2)已知球的体积为36，求它的表面积答案：(1)表面积：4，体积：.(2)36.课时达标检测一、选择题1两个球的体积之比为827，那么这两个球的表面积之比为()a23b49c. d.答案：b2设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()a3a2 b6a2c12a2 d24a2答案：b3如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为()a43 b31c32 d94答案：c4(全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是()a17 b18c20 d28答案：a5(山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()a. b.c. d1答案：c二、填空题6圆柱形容器的内壁底半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为_ cm2.答案：1007正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为_答案：8(天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.答案：189三、解答题9某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r1，l3，试求该组合体的表面积和体积解：该组合体的表面积s4r22rl41221310，该组合体的体积vr3r2l13123.10用两个平行平面去截半径为r的