人教A版必修二 4.1.2 圆的一般方程 学案.doc

4.1.2圆的一般方程1了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径(重点)2会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题(重点)3初步掌握求动点的轨迹方程的方法(难点、易错点)基础初探教材整理圆的一般方程阅读教材p121至p122“例4”以上部分，完成下列问题1圆的一般方程的概念当d2e24f0时，二元二次方程x2y2dxeyf0叫做圆的一般方程2圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2y2dxeyf0(d2e24f0)表示的圆的圆心为，半径长为.3对方程x2y2dxeyf0的说明方程条件图形x2y2dxeyf0d2e24f0不表示任何图形d2e24f0表示一个点d2e24f0表示以为圆心，以为半径的圆判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程()(2)圆的一般方程和标准方程可以互化()(3)方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆心为，半径为的圆()(4)若点m(x0，y0)在圆x2y2dxeyf0外，则xydx0ey0f0.()【解析】(1)正确圆的方程都能写成一个二元二次方程(2)正确圆的一般方程和标准方程是可以互化的(3)错误当a2(2a)24(2a2a1)0，即2a，即xydx0ey0f0.【答案】(1)(2)(3)(4)小组合作型圆的一般方程的概念辨析若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径【精彩点拨】(1)根据表示圆的条件求m的取值范围；(2)将方程配方，根据圆的标准方程求解【自主解答】(1)据题意知d2e24f(2m)2(2)24(m25m)0，即4m244m220m0，解得m，故m的取值范围为.(2)将方程x2y22mx2ym25m0写成标准方程为(xm)2(y1)215m，故圆心坐标为(m,1)，半径r.形如x2y2dxeyf0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义令d2e24f0，成立则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2y2dxeyf0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.再练一题1下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径(1)x2y2x10；(2)x2y22axa20(a0)；(3)2x22y22ax2ay0(a0)【解】(1)d1，e0，f1，d2e24f1430，方程不表示任何图形(2)d2a，e0，fa2，d2e24f4a24a20，方程表示点(a,0)(3)两边同除以2，得x2y2axay0，da，ea，f0，d2e24f2a20，方程表示圆，它的圆心为，半径r|a|.求圆的一般方程圆c过点a(1,2)，b(3,4)，且在x轴上截得的弦长为6，求圆c的方程. 【精彩点拨】由条件，所求圆的圆心、半径均不明确，故设出圆的一般方程，用待定系数法求解【自主解答】设所求圆的方程为x2y2dxeyf0.圆过a(1,2)，b(3,4)，d2ef5，3d4ef25.令y0，得x2dxf0.设圆c与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，则x1x2d，x1x2f.|x1x2|6，(x1x2)24x1x236，即d24f36.由 得d12，e22，f27，或d8，e2，f7.故所求圆的方程为x2y212x22y270，或x2y28x2y70.1利用待定系数法，先设出圆的方程，再根据条件列出方程组求出未知数，这是求方程问题的常用方法2如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用设圆的一般方程，再用待定系数法求d、e、f.再练一题2已知a(2,2)，b(5,3)，c(3，1)，求三角形abc的外接圆的方程【解】设三角形abc外接圆的方程为x2y2dxeyf0，由题意得解得即三角形abc的外接圆方程为x2y28x2y120.探究共研型求动点的轨迹方程探究1已知动点m到点(8,0)的距离等于点m到点(2,0)的距离的2倍，你能求出点m的轨迹方程吗？【提示】设m(x，y)，则2，整理可得点m的轨迹方程为x2y216.探究2已知直角abc的斜边为ab，且a(1,0)，b(3,0)，请求出直角顶点c的轨迹方程【提示】设ab的中点为d，由中点坐标公式得d(1,0)，由直角三角形的性质知，|cd|ab|2，由圆的定义知，动点c的轨迹是以d(1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于a，b，c三点不共线，所以应除去与x轴的交点)设c(x，y)，则直角顶点c的轨迹方程为(x1)2y24(x3且x1)已知圆心为c的圆经过点a(1,1)和b(2，2)，且圆心c在直线l：xy10上(1)求圆c的方程；(2)线段pq的端点p的坐标是(5,0)，端点q在圆c上运动，求线段pq的中点m的轨迹方程【精彩点拨】(1)利用圆的有关几何性质，确定圆心坐标与半径可求得圆c的方程(2)点m随点q运动而运动，将q点坐标用p、m两点坐标表示，再将q点坐标代入(1)中的圆的方程，即得m点的轨迹方程【自主解答】(1)设点d为线段ab的中点，直线m为线段ab的垂直平分线，则d.又kab3，所以km，所以直线m的方程为x3y30.由得圆心c(3，2)，则半径r|ca|5，所以圆c的方程为(x3)2(y2)225.(2)设点m(x，y)，q(x0，y0)因为点p的坐标为(5,0)，所以即又点q(x0，y0)在圆c：(x3)2(y2)225上运动，所以(x03)2(y02)225，即(2x53)2(2y2)225.整理得(x1)2(y1)2.即所求线段pq的中点m的轨迹方程为(x1)2(y1)2.求与圆有关的轨迹问题常用的方法1直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式2定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程3相关点法：若动点p(x，y)随着圆上的另一动点q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点p的轨迹方程再练一题3已知定点a(4,0)，p点是圆x2y24上一动点，q点是ap的中点，求q点的轨迹方程【解】设q点坐标为(x，y)，p点坐标为(x，y)，则x且y，即x2x4，y2y.又p点在圆x2y24上，x2y24，将x2x4，y2y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.故所求的轨迹方程为(x2)2y21.1圆x2y24x6y0的圆心坐标是()a(2,3)b(2,3)c(2，3)d(2，3)【解析】圆的方程化为(x2)2(y3)213，圆心为(2，3)，选d.【答案】d2已知方程x2y22x2k30表示圆，则k的取值范围是()a(，1)b(3，)c(，1)(3，) d.【解析】方程可化为：(x1)2y22k2，只有2k20，即k1时才能表示圆【答案】a3若方程x2y2dxeyf0表示以(2，4)为圆心，4为半径的圆，则f_.【解析】以(2，4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x2)2(y4)216，即x2y24x8y40，故f4.【答案】44设a为圆(x1)2y21上的动点，pa是圆的切线且|pa|1，则p点的轨迹方程是_【解析】设p(x，y)是轨迹上任一点，圆(x1)2