人教A版必修二 4.1.2圆的一般方程 学案.docVIP

41.2圆的一般方程提出问题已知圆心(2,3)，半径为2.问题1：写出圆的标准方程提示：(x2)2(y3)24.问题2：上述方程能否化为二元二次方程的形式？提示：可以，x2y24x6y90.问题3：方程x2y24x6y130是否表示圆？提示：配方化为(x2)2(y3)20，不表示圆问题4：方程x2y2dxeyf0一定表示圆吗？提示：不一定导入新知1圆的一般方程的概念当d2e24f0时，二元二次方程x2y2dxeyf0叫做圆的一般方程2圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2y2dxeyf0(d2e24f0)表示的圆的圆心为，半径长为 .化解疑难1圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：(1)x2，y2的系数相等且不为0；(2)没有xy项2对方程x2y2dxeyf0的说明：方程条件图形x2y2dxeyf0d2e24f0表示以为圆心，以为半径的圆圆的一般方程的概念辨析例1若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径解(1)据题意知d2e24f(2m)2(2)24(m25m)0，即4m244m220m0，解得m，故m的取值范围为.(2)将方程x2y22mx2ym25m0写成标准方程为(xm)2(y1)215m，故圆心坐标为(m,1)，半径r.类题通法形如x2y2dxeyf0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义令d2e24f0，成立则表示圆，否则不表示圆；(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2y2dxeyf0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解活学活用下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径(1)x2y2x10；(2)x2y22axa20(a0)；(3)2x22y22ax2ay0(a0)解：(1)d1，e0，f1，d2e24f1430，方程不表示任何图形(2)d2a，e0，fa2，d2e24f4a24a20，方程表示点(a,0)(3)两边同除以2，得x2y2axay0，da，ea，f0，d2e24f2a20，方程表示圆，它的圆心为，半径r|a|.圆的一般方程的求法例2已知abc的三个顶点为a(1,4)，b(2,3)，c(4，5)，求abc的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径解法一：设abc的外接圆方程为x2y2dxeyf0，a，b，c在圆上，abc的外接圆方程为x2y22x2y230，即(x1)2(y1)225.外心坐标为(1，1)，外接圆半径为5.法二：kab，kac3，kabkac1，abac.abc是以角a为直角的直角三角形，外心是线段bc的中点，坐标为(1，1)，r|bc|5.外接圆方程为(x1)2(y1)225.类题通法应用待定系数法求圆的方程时的两个注意点(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数d，e，f.活学活用求经过点a(2，4)且与直线x3y260相切于点b(8,6)的圆的方程解：设所求圆的方程为x2y2dxeyf0，则圆心坐标为.圆与x3y260相切，1，即e3d360.(2，4)，(8,6)在圆上，2d4ef200，8d6ef1000.联立，解得d11，e3，f30，故所求圆的方程为x2y211x3y300.代入法求轨迹方程例3已知abc的边ab长为4，若bc边上的中线为定长3，求顶点c的轨迹方程解以直线ab为x轴，ab的垂直平分线为y轴建立坐标系(如图)，则a(2,0)，b(2,0)，设c(x，y)，bc中点d(x0，y0)|ad|3，(x02)2y9. 将代入，整理得(x6)2y236.点c不能在x轴上，y0.综上，点c的轨迹是以(6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(12,0)和(0,0)两点轨迹方程为(x6)2y236(y0)类题通法用代入法求轨迹方程的一般步骤活学活用过点a(8,0)的直线与圆x2y24交于点b，则ab中点p的轨迹方程为_答案：(x4)2y21典例(12分)已知圆o的方程为x2y29，求经过点a(1,2)的圆的弦的中点p的轨迹解题流程活学活用一动点m到点a(4,0)的距离是到点b(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹解：设动点m的坐标为(x，y)，则|ma|2|mb|，即2，整理得x2y28x0，即所求动点的轨迹方程为x2y28x0.随堂即时演练1圆(x1)(x2)(y2)(y4)0的圆心坐标和半径长分别为()a(1,2)，2b(1，1)，1c.，3 d.，答案：d2已知方程x2y22x2k30表示圆，则k的取值范围是()a(，1)b(3，)c(，1)(3，)d.答案：a3方程x2y22axbyc0表示圆心为c(2,2)，半径为2的圆，则a_，b_，c_.答案：2444设a为圆(x1)2y21上的动点，pa是圆的切线且|pa|1，则p点的轨迹方程是_答案：(x1)2y225求过点(1,1)，且圆心与已知圆x2y26x8y150的圆心相同的圆的方程答案：x2y26x8y0课时达标检测一、选择题1圆的方程是x2y2kx2yk20，当圆的面积最大时，圆心的坐标是()a(1,1)b(1，1)c(1,0) d(0，1)答案：d2已知动点m到点(8,0)的距离等于点m到点(2,0)的距离的2倍，那么点m的轨迹方程是()ax2y232bx2y216c(x1)2y216dx2(y1)216答案：b3当a取不同的实数时，由方程x2y22ax2ay10可以得到不同的圆，则()a这些圆的圆心都在直线yx上b这些圆的圆心都在直线yx上c这些圆的圆心都在直线yx或直线yx上d这些圆的圆心不在同一条直线上答案：a4如果圆x2y2axbyc0(a，b，c不全为零)与y轴相切于原点，那么()aa0，b0，c0bbc0，a0cac0，b0dab0，c0答案：b5已知两定点a(2,0)，b(1,0)，如果动点p满足|pa|2|pb|，则点p的轨迹所包围的图形的面积等于()a b4c8 d9答案：b二、填空题6已知圆c：x2y22x2y30，ab为圆c的一条直径，若点a的坐标为(0,1)，则点b的坐标为_答案：(2，3)7已知圆c：x2y22xay30(a为实数)上任意一点关于直线l：xy20的对称点都在圆c上，则a_.答案：28已知a，b是圆o：x2y216上的两点，且ab6，若以ab为直径的圆m恰好经过点c(1，1)，则圆心m的轨迹方程是_答案：(x1)2(y1)29三、解答题9已知圆c：x2y2dxey30，圆心在直线xy10上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程解：圆心c，圆心在直线xy10上，10，即de2.又半径长r，d2e220.由可得或又圆心在第二象限，0即d0，0即e0，圆m为abc的外接圆(1)求圆m的方