人教A版必修二 4.1.1 圆的标准方程 学案.doc

4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程1会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征(重点)2能根据所给条件求圆的标准方程(重点、难点)3掌握点与圆的位置关系(易错点)基础初探教材整理1圆的标准方程阅读教材p118p119第1行的内容，完成下列问题1以c(a，b)为圆心，r(r0)为半径的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.2以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2y2r2.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就惟一确定()(2)方程(xa)2(yb)2m2一定表示圆()(3)圆(x2)2(y3)29的圆心坐标是(2,3)，半径是9.()【解析】(1)正确确定圆的几何要素就是圆心和半径(2)错误当m0时，不表示圆(3)错误圆(x2)2(y3)29的圆心为(2，3)，半径为3.【答案】(1)(2)(3)教材整理2点与圆的位置关系阅读教材p119“例1”及“探究”部分，完成下列问题设点p到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系drdrdr已知圆的方程是(x2)2(y3)24，则点p(3,2)()a是圆心b在圆上c在圆内d在圆外【解析】圆心m(2,3)，半径r2，|pm|r，点p在圆内【答案】c 小组合作型直接法求圆的标准方程(1)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()ax2(y2)21bx2(y2)21c(x1)2(y3)21dx2(y3)21(2)已知一圆的圆心为点(2，3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是()a(x2)2(y3)213b(x2)2(y3)213c(x2)2(y3)252d(x2)2(y3)252【精彩点拨】(1)设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求圆心坐标，再写出圆的标准方程(2)根据中点坐标公式求出直径两端点坐标，进而求出圆的半径，再写出圆的标准方程【自主解答】(1)设圆心坐标为(0，b)，则由题意知1，解得b2.故圆的方程为x2(y2)21.(2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，3)，所以a4，b6，所以圆的半径r，从而所求圆的方程是(x2)2(y3)213.【答案】(1)a(2)a确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.再练一题1以点a(5,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是() a(x5)2(y4)225b(x5)2(y4)216c(x5)2(y4)216d(x5)2(y4)225【解析】因该圆与x轴相切，则圆的半径r等于圆心纵坐标的绝对值，所以圆的方程为(x5)2(y4)216.【答案】c待定系数法求圆的标准方程求圆心在直线x2y30上，且过点a(2，3)，b(2，5)的圆的标准方程【精彩点拨】解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定系数法求解，也可以利用几何性质求出圆心和半径【自主解答】法一：设点c为圆心，点c在直线：x2y30上，可设点c的坐标为(2a3，a)又该圆经过a，b两点，|ca|cb|.，解得a2.圆心坐标为c(1，2)，半径r.故所求圆的标准方程为(x1)2(y2)210.法二：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由条件知解得故所求圆的标准方程为(x1)2(y2)210.法三：线段ab的中点为(0，4)，kab，所以弦ab的垂直平分线的斜率k2，所以线段ab的垂直平分线的方程为：y42x，即y2x4.故圆心是直线y2x4与直线x2y30的交点，由得即圆心为(1，2)，圆的半径为r，所以所求圆的标准方程为(x1)2(y2)210.1待定系数法求圆的标准方程的一般步骤设方程(xa)2(yb)2r2)列方程组(由已知条件，建立关于a、b、r的方程组)解方程组(解方程组，求出a、b、r)得方程(将a、b、r代入所设方程，得所求圆的标准方程)2注意利用圆的有关几何性质，可使问题计算简单再练一题2求圆心在x轴上，且过点a(5,2)和b(3，2)的圆的标准方程【解】法一设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)则解得所以所求圆的方程为(x4)2y25.法二因为圆过a(5,2)，b(3，2)两点，所以圆心一定在线段ab的中垂线上ab中垂线的方程为y(x4)，令y0，得x4.即圆心坐标为c(4,0)，所以r|ca|.所以所求圆的方程为(x4)2y25.探究共研型与圆有关的最值问题探究1若p(x，y)为圆c(x1)2y2上任意一点，请求出p(x，y)到原点的距离的最大值和最小值【提示】原点到圆心c(1,0)的距离d1，圆的半径为，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1，最小距离为1.探究2若p(x，y)是圆c(x3)2y24上任意一点，请求出p(x，y)到直线xy10的距离的最大值和最小值【提示】p(x，y)是圆c上的任意一点，而圆c的半径为2，圆心c(3,0)，圆心c到直线xy10的距离d2，所以点p到直线xy10的距离的最大值为22，最小值为22.已知x，y满足x2(y4)24，求的最大值与最小值【精彩点拨】x，y满足x2(y4)24，即点p(x，y)是圆上的点而表示点(x，y)与点(1，1)的距离故此题可以转化为求圆x2(y4)24上的点与点(1，1)的距离的最值问题【自主解答】因为点p(x，y)是圆x2(y4)24上的任意一点，圆心c(0，4)，半径r2，因此表示点a(1，1)与该圆上点的距离因为|ac|2(1)2(14)24，所以点a(1，1)在圆外如图所示而|ac|，所以的最大值为|ac|r2，最小值为|ac|r2.1本题将最值转化为线段长度问题，从而使问题得以顺利解决充分体现了数形结合思想在解题中的强大作用2涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解一般地： k的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如taxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间的距离的平方的最值问题等再练一题3已知圆c：(x3)2(y4)21，点a(0，1)，b(0,1)，设p是圆c上的动点，令d|pa|2|pb|2，求d的最大值及最小值. 图411【解】设p(x，y)，则d|pa|2|pb|22(x2y2)2.|co|2324225，(51)2x2y2(51)2. 即16x2y236.d的最小值为216234，最大值为236274.1点p(m,5)与圆x2y224的位置关系是()a在圆外b在圆内c在圆上d不确定【解析】m22524，点p在圆外【答案】a2以点为圆心，半径为的圆的方程为()a.2(y1)2b.2(y1)2c.2(y1)2d.2(y1)2【解析】由圆的几何要素知a正确【答案】a3经过圆c：(x1)2(y2)24的圆心且斜率为1的直线方程为_. 【解析】圆c的圆心为(1,2)，又所求直线的斜率为1，故由点斜式得y2x1，即xy30.【答案】xy304若圆c的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线yx对称，则圆c的标准方程为_【解析】由题意知圆c的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆c的标准方程为x2(y1)21.【答案】x2(y1)215已知圆c的半径为，圆心在直线xy20上，且过点(2,