常州期末数学.DOC

2012届高三调研测试试卷(六)数学(满分160分，考试时间120分钟)20121一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 已知集合A1,0,2，B2a，若BA，则实数a的值为_2. 若zz2i(i为虚数单位)，则复数z_.3. 已知双曲线1(b0)的一条渐近线的倾斜角为，则b的值为_4. 用分层抽样的方法从某高中学校学生中抽取一个容量为55的样本参加问卷调查，其中高一年级、高二年级分别抽取10人、25人若该校高三年级共有学生400人，则该校高一和高二年级的学生总数为_人5. 用3种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率是_ 6. 函数f(x)coscos的最小正周期为_7. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的右顶点为A，上顶点为B，M为线段AB的中点，若MOA30，则该椭圆的离心率的值为_8. 已知等比数列an的各项均为正数，且a12a23，a4a3a7，则数列an的通项公式为_9. 设mR，已知函数f(x)x32mx2(12m)x3m2，若曲线yf(x)在x0处的切线恒过定点P，则点P的坐标为_10. 对于函数yf(x)(xR)，给出下列命题： 在同一直角坐标系中，函数yf(1x)与yf(x1)的图象关于直线x0对称； 若f(1x)f(x1)，则函数yf(x)的图象关于直线x1对称； 若f(1x)f(x1)，则函数yf(x)是周期函数； 若f(1x)f(x1)，则函数yf(x)的图象关于点(0,0)对称其中正确的命题是_(填序号)11. 设函数yf(x)在R内有定义，对于给定的正数k，定义函数fk(x).若函数f(x)log3|x|，则当k时，函数fk(x)的单调减区间为_12. 已知ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为_13. 已知函数f(x)2x(xR)，且f(x)g(x)h(x)，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数若不等式2ag(x)h(2x)0对任意x1,2恒成立，则实数a的取值范围是_14. 已知a、b、c均为正实数，记Mmax，则M的最小值为_二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)已知m、xR，向量a(x，m)，b(m1)x，x)(1) 当m0时，若|a|b|，求x的取值范围；(2) 若ab1m对任意实数x恒成立，求m的取值范围16.(本小题满分14分)如图，斜三棱柱A1B1C1ABC中，侧面AA1C1C底面ABC，侧面AA1C1C是菱形，A1AC60，E、F分别是A1C1、AB的中点求证：(1) EF平面BB1C1C；(2) 平面CEF平面ABC.17. (本小题满分14分)已知各项均为正数的数列an的前n项的和为Sn，满足8Sna4an3(nN*)，且a1，a2，a7依次是等比数列bn的前三项(1) 求数列an及bn的通项公式；(2) 是否存在常数a0且a1，使得数列anlogabn(nN*)是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y21与x轴正半轴的交点为F，AB为该圆的一条弦，直线AB的方程为xm.记以AB为直径的圆为C.记以点F为右焦点，短半轴长为b(b0，b为常数)的椭圆为D.(1) 求C和椭圆D的标准方程；(2) 当b1时，求证：椭圆D上的任意一点都不在C的内部；(3) 已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点，过点M且与x轴不垂直的直线交椭圆D于P、Q两点(点P在x轴上方)，点P关于x轴的对称点为N，设直线QN交x轴于点L，试判断是否为定值？并证明你的结论19. (本小题满分16分)如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为2a的正方形，周围是四个全等的弓形已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA长为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H.设弧AD的长为l，APH，.(1) 求l关于的函数关系式；(2) 定义比值为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美证明：当角满足tan时，招贴画最优美20. (本小题满分16分)设a为实数，函数f(x)x|x2a|.(1) 当a1时，求函数f(x)在区间1,1上的最大值和最小值；(2) 求f(x)的单调区间.2012届高三调研测试试卷(六)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做两小题，每小题10分，共20分若多做，则以前两题计分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修41：几何证明选讲如图，O是ABC的外接圆，延长BC边上的高AD交O于点E，H为ABC的垂心求证：DHDE.B. 选修42：矩阵与变换求矩阵M的特征值及对应的特征向量C. 选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，O为极点，求过圆C：6cos的圆心C且与直线OC垂直的直线l的极坐标方程D. 选修45：不等式选讲已知x、y均为正实数，求证：.【必做题】 第22题、第23题，每题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 已知斜率为k(k0)的直线l过抛物线C：y24x的焦点F且交此抛物线于A、B两点设线段AB的中点为M.(1) 求点M的轨迹方程；(2) 若2k1时，点M到直线l：3x4ym0的距离总不小于，求m的取值范围23.已知正项数列an中，a11，an11(nN*)用数学归纳法证明：anan1(nN*)2012届高三调研测试试卷(六)(常州)数学参考答案及评分标准1. 12. 2i3. 34. 7005. 6. 7. 8. 9. 10. 11. (，(开区间也对)12. 213. a14. 215. 解：(1) |a|2x2m2，|b|2(m1)2x2x2，(4分)因为|a|b|，所以|a|2|b|2.从而x2m2(m1)2x2x2.因为m0，所以2x2，(6分)解得x或x.(8分)(2) ab(m1)x2mx.(10分)由题意，得(m1)x2mx1m对任意的实数x恒成立，即(m1)x2mxm10对任意的实数x恒成立当m10，即m1时，显然不成立，从而，(12分)解得，所以m.(14分)16. 证明：(1) 如图，取BC中点M，连结FM，C1M.在ABC中，因为F、M分别为BA、BC的中点，所以FMAC.(2分)因为E为A1C1的中点，ACA1C1，所以FMEC1.从而四边形EFMC1为平行四边形，所以EFC1M.(4分)又因为C1M平面BB1C1C，EF平面BB1C1C，所以EF平面BB1C1C.(6分)(2) 如图，在平面AA1C1C内，作A1OAC，O为垂足因为A1AC60，所以AOAA1AC，从而O为AC的中点(8分)所以OCA1E，因而ECA1O.(10分)因为侧面AA1C1C底面ABC，交线为AC，A1OAC，所以A1O底面ABC.所以EC底面ABC.(12分)又因为EC平面EFC，所以平面CEF平面ABC.(14分)17. 解：(1) n1时，8a1a4a13，a11或a13.(2分)当n2时，8Sn1a4an13，anSnSn1(a4ana4an1)，从而(anan1)(anan14)0.因为an各项均为正数，所以anan14.(6分)所以，当a11时，an4n3；当a13时，an4n1.又因为当a11时，a1，a2，a7分别为1,5,25，构成等比数列，所以an4n3，bn5n1.当a13时，a1，a2，a7分别为3,7,27，不构成等比数列，舍去(10分)(2) 满足条件的a存在，a.(12分)由(1)知，an4n3，bn5n1，从而anlogabn4n3loga5n14n3(n1)loga5(4loga5)n3loga5.由题意，得4loga50，所以a.(14分)18. (1) 解：圆心C(m,0)(1m1)，则C的半径为r.从而C的方程为(xm)2y21m2.(2分)椭圆D的标准方程为1.(4分)(2) 证明：当b1时，椭圆D的方程为y21.设椭圆D上任意一点S(x1，y1)，则y1，y1.因为SC2(x1m)2y(x1m)21(x12m)21m2(6分)1m2r2，所以SCr.从而椭圆D上的任意一点都不在C的内部(8分)(3) 解：b21为定值(9分)证明如下：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由题意，得N(x1，y1)，x1x2，y1y2.从而直线PQ的方程为(y2y1)x(x2x1)yx2y1x1y20.令y0，得xM.又直线QN的方程为(y2y1)x(x2x1)yx1y2x2y10.令y0，得xL.(13分)因为点P、Q在椭圆D上，所以1，1，从而xb21y，xb21y，所以xMxLb21.所以xMxLb21定值(16分)19. (1) 解：当时，点P在线段OG上，AP；当时，点P在线段GH上，AP；当时，APa.综上所述，AP，.(2分)所以，弧AD的长lAP2，故所求函数关系式为l，.(4分)(2) 证明：当时，OPOGPGaa；当时，OPOGGHaaa；当时，OPa.所以OPa，.(6分)从而，.(8分)记f()，.则f().令f()0，得(cossin)sincos.(10分)因为，所以cossin0，从而.显然，所以tan.(12分)记满足tan的0，下面证明0是函数f()的极值点设g()(cossin)(sincos)，.则g()(cossin)0在上恒成立，从而g()在上单调递减(14分)所以，当时，g()0，即f()0，f()在上单调递增；当时，g()0，即f()0，f()在上单调递减故f()在0处取得极大值，也是最大值所以，当满足tan时，函数f()即取得最大值，此时招贴画最优美(16分)20. 解：(1) 当a1时，因为x1,1，所以f(x)x3x.则f(x)3x213.令f(x)0，得x，x.(2分)列表：x11f(x)00f(x)0极小值极大值0所以，函数f(x)在x1,1上的最小值、最大值分别为、.(6分)(2) () 当a0时，f(x)x3，f(x)的单调增区间为(，)；(7分)() 当a0时，f(x)x3ax.因为f(x)3x2a0恒成立，所以f(x)在(，)上单调递增，从而f(x)的单调增区间为(，)；(9分)() 当a0时， 当x或x时，f(x)x3ax.因为f(x)3x2a3，所以当x或x时，f(x)0，从而f(x)的单调增区间为(，)及(，)(11分) 当x时，f(x)x3ax.f(x)3x2a3，令f(x)0，得x或x.(13分)列表：xf(x)00f(x)所以，f(x)的单调增区间为，f(x)的单调减区间为，.(15分)综上所述，当a0时，函数f(x)的单调增区间为(，)；当a0时，函数f(x)的单调增区间为(，)，(，)，f(x)的单调减区间为，.(16分)2012届高三调研测试试卷(六)(常州)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 选修41：几何证明选讲证明：连结CE，CH.因为H为ABC的垂心，所以，ECDBAD90ABC，HCD90ABC，从而ECDHCD.(4分)又因为CDHE，CD为公共边，所以HDCEDC，(8分)所以DHDE.(10分)B. 选修42：矩阵与变换解：矩阵M的特征多项式为f()26(3)(2)，(2分)令f()0，得到M的特征值13，22.(4分)当13时，矩阵M的一个特征向量为；(7分)当22时，矩阵M的一个特征向量为.(10分)C. 选修44：坐标系与参数方程解：圆心C的极坐标为，(6分)设直线l上任意一点P(，)，则cos3，即为直线l的极坐标方程(10分)D. 选修45：不等式选讲证明：因为x、y均为正实数，所以xy2，2，当且仅当xy时等号成立(下同)(6分)从而(xy)224，(8分)所以.(10分)22. 解：(1) 焦点F(0,1)，直线AB的方程为yk(x1)，因为k0，所以x1.由，得y2y40.设A(x1