人教A版必修五 基本不等式（二） 学案.doc

学习目标1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题知识点一基本不等式及变形思考使用基本不等式证明：(a0，b0)，并说明什么时候等号成立答案a0，b0，20，即(a0，b0)，当且仅当，即ab时，等号成立梳理以下是基本不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件当a0，b0时，有 ；当且仅当ab时，以上三个等号同时成立知识点二用基本不等式求最值思考因为x212x，当且仅当x1时取等号所以当x1时，(x21)min2.以上说法对吗？为什么？答案错显然(x21)min1.x212x，当且仅当x1时取等号仅说明抛物线yx21恒在直线y2x上方，仅在x1时有公共点使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值如果都不是定值，可能出错梳理基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为定值；求和xy的最小值时，应看积xy是否为定值；(3)等号成立的条件是否满足类型一基本不等式与最值例1(1)若x0，求函数yx的最小值，并求此时x的值；(2)设0x2，求x的最小值；(4)已知x0，y0，且 1，求xy的最小值解(1)当x0时，x2 4，当且仅当x，即x24，x2时取等号函数yx(x0)在x2时取得最小值4.(2)0x0，y4x(32x)22x(32x)22.当且仅当2x32x，即x时，等号成立.函数y4x(32x)(0x2，x20，xx222 26，当且仅当x2，即x4时，等号成立x的最小值为6.(4)方法一x0，y0，1，xy(xy)1061016，当且仅当，又1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，(xy)min16.方法二由1，得(x1)(y9)9(定值)由1可知x1，y9，xy(x1)(y9)1021016，当且仅当x1y93，即x4，y12时上式取等号，故当x4，y12时，(xy)min16.反思与感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备跟踪训练1(1)已知x0，求f(x)3x的最小值；(2)已知x0，y0，且2x8yxy，求xy的最小值解(1)x0，f(x)3x212，当且仅当3x，即x2时取等号，f(x)的最小值为12.(2)x3，x30，y0，x80，y，xyxx(x8)102 1018.当且仅当x8，即x12时，等号成立xy的最小值是18.方法二由2x8yxy0及x0，y0，得1.xy(xy)102 1018.当且仅当，即x2y12时等号成立xy的最小值是18.类型二基本不等式在实际问题中的应用命题角度1几何问题的最值例2(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解(1)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy100，篱笆的长为2(xy) m.由，可得xy2，2(xy)40.当且仅当xy10时等号成立所以这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.(2)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(xy)36，xy18，矩形菜园的面积为xy m2.由9，可得xy81，当且仅当xy9时，等号成立所以这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2.反思与感悟利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件跟踪训练2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？解设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为 m.又设水池总造价为y元，根据题意，得y150120(23x23)240 000720240 0007202 297 600(元)，当且仅当x，即x40时，y取得最小值297 600.所以当水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价为297 600元命题角度2生活中的最优化问题例3某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨由题意可知，面粉的保管及其他费用为36x6(x1)6(x2)619x(x1)设平均每天所支付的总费用为y元，则y9x(x1)90061 8009x10 8092 10 80910 989(元)，当且仅当9x，即x10时，等号成立所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？解设x1，x215，)，且x1x2.则(9x110 809)(9x210 809)9(x1x2)900()(x1x2)(x1x2).15x1x2，x1x20，x1x2225，(x1x2)0，即y9x10 809在15，)上为增函数当x15，即每15天购买一次面粉，每天支付的平均费用最少反思与感悟应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解跟踪训练3一批货物随17列货车从a市以v千米/小时匀速直达b市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全部运到b市，最快需要_小时答案8解析设这批货物从a市全部运到b市的时间为t，则t2 8(小时)，当且仅当，即v100时，等号成立，所以这批货物全部运到b市，最快需要8小时1已知0x1，则f(x)2log2x的最大值是_答案22解析当0x1时，log2x0，b0，且不等式0恒成立，则实数k的最小值等于()a0 b4c4 d2答案c解析由0，得k，而24，当且仅当ab时，等号成立，所以4，因此要使k恒成立，应有k4，即实数k的最小值等于4.故选c.1用基本不等式求最值(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：“一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值；“三相等”等号一定能取到这三个条件缺一不可(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数yx(p0)的单调性求得函数的最值2求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答40分钟课时作业一、选择题1已知x1，y1且lg xlg y4，则lg xlg y的最大值是()a4 b2c1 d.答案a解析x1，y1，lg x0，lg y0，lg xlg y24，当且仅当lg xlg y2，即xy100时取等号2已知点p(x，y)在经过a(3,0)，b(1,1)两点的直线上，则2x4y的最小值为()a2 b4c16 d不存在答案b解析点p(x，y)在直线ab上，x2y3.2x4y224.当且仅当2x4y，即x，y时，等号成立3函数ylog2(x1)的最小值为()a3 b3c4 d4答案b解析x1，x10，x5(x1)62 68，当且仅当x1，即x2时，等号成立log23，ymin3.4已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()a. b4 c. d5答案c解析ab2，1.()()()2 (当且仅当，即b2a时，等号成立)，故y的最小值为.5若xy是正数，则22的最小值是()a3 b. c4 d.答案c解析22x2y21124，当且仅当xy或xy时取等号6已知直线axbyc10(b，c0)经过圆x2y22y50的圆心，则的最小值是()a9 b8 c4 d2答案a解析圆x2y22y50化成标准方程，得x2(y1)26，所以圆心为c(0,1)因为直线axbyc10经过圆心c，所以a0b1c10，即bc1.因此(bc)()5.因为b，c0，所以24，当且仅当时等号成立由此可得b2c且bc1，即b，c时，取得最小值9.二、填空题7周长为1的直角三角形面积的最大值为_答案解析设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b，则1ab2，解得ab，当且仅当ab时取等号，所以直角三角形面积s，即s的最大值为.8某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_.答案20解析总运费与总存储费用之和f(x)4x44x2 160，当且仅当4x，即x20时取等号9设0x2，则函数y的最大值为_答案4解析0x2，03x20，y4，当且仅当3x83x，即x时，取等号当x时，y有最大值4.10设x1，则函数y的最小值是_答案9解析x1，x10，设x1t0，则xt1，于是有yt52 59，当且仅当t，即t2时取等号，此时x1.当x1时，函数y取得最小值9.三、解答题11某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算？(即使用多少年的年平均费用最少)解设使用x年的年平均费用为y万元依题意得y，即y1(xn*)由基本不等式知y12 3，当且仅当，即x10时取等号因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元12某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层，每层4 000平方米的楼房经初步估计得知，如果将楼房建为x(x12)层，则每平方米的平均建筑费用为q(x)3 00050x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)解设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，依题意得f(x)q(x)50x3 000(x12，xn*)，f(x)50x3 0002 3 0005 000(元)当且仅当50x，即x20时，上式取等号，所以当x20时，f(x)取得最小值5 000 元所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元13如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解设每间虎笼长为x m，宽为y m.(1)依题意得，4x6y36，即2x3y18.设每间虎笼面积为s，则sxy.方法一由于2x3y2，218，得xy，即s，当且仅当2x3y时，等号成立由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大方法二由2x3y18，得x9y.x0，0y6，