人教A版必修五 等比数列（二） 学案.doc

学习目标1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法知识点一等比数列通项公式的推广思考1我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形： ana1(n1)dam(nm)d.等比数列也有类似变形吗？答案 在等比数列中，由通项公式ana1qn1，得qnm，所以anamqnm(n，mn*)思考2我们知道等差数列的通项公式可以变形为andna1d，其单调性由公差的正负确定；等比数列的通项公式是否也可做类似变形？答案 设等比数列an的首项为a1，公比为q.则ana1qn1qn，其形式类似于指数型函数，但q可以为负值由于an1ana1qna1qn1a1qn1(q1)，所以an的单调性由a1，q，q1的正负共同决定梳理公比为q的等比数列an中，ana1qn1qn.an的单调性由a1，q共同确定如下：当或时，an是递增数列；当或时，an是递减数列；q0时，an是摆动数列，q1时，an是常数列知识点二由等比数列衍生的等比数列思考等比数列an的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是(1)3an是等比数列；(2)3an是等比数列；(3)是等比数列；(4)a2n是等比数列答案由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确梳理(1)在等比数列an中按序号从小到大取出若干项：，若k1，k2，k3，kn，成等差数列，那么，是等比数列(2)如果an，bn均为等比数列，那么数列，anbn，|an|仍是等比数列知识点三等比数列的性质思考在等比数列an中，aa1a9是否成立？aa3a7是否成立？aan2an2(n2，nn*)是否成立？答案a5a1q4，a9a1q8，a1a9aq8(a1q4)2a，aa1a9成立同理aa3a7成立，aan2an2也成立梳理一般地，在等比数列an中，若mnst，则有amanasat(m，n，s，tn*)若mn2k，则amana(m，n，kn*)类型一等比数列的判断方法例1已知数列an的前n项和为sn，snn5an85，nn*，证明：an1是等比数列证明当n1时，a1s115a185，解得a114，当n2时，ansnsn115an5an1，6an5an11，an1(an11)，an1是首项为15，公比为的等比数列反思与感悟判断一个数列是等比数列的基本方法：(1)定义法：q(常数)；(2)等比中项法：aanan2(an0，nn*)；要判断一个数列不是等比数列，举一组反例即可，例如aa1a3.跟踪训练1若数列an为等比数列，公比为q，且an0，bnlg an，试问数列bn是什么数列？并证明你的结论解数列bn是等差数列证明如下：bn1bnlg an1lg anlglg q(常数)，bn是公差为lg q的等差数列类型二等比数列的性质命题角度1序号的数字特征例2已知an为等比数列(1)若an0，a2a42a3a5a4a625，求a3a5；(2)若an0，a5a69，求log3a1log3a2log3a10的值解(1)a2a42a3a5a4a6a2a3a5a(a3a5)225，an0，a3a50，a3a55.(2)根据等比数列的性质a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79，a1a2a9a10(a5a6)595，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a9a10)log39510.反思与感悟抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题跟踪训练2在各项均为正数的等比数列an中，若a3a54，则a1a2a3a4a5a6a7_.答案128解析a3a5a4，an0，a42.a1a2a3a4a5a6a7(a1a7)(a2a6)(a3a5)a4432128.命题角度2未知量的设法技巧例3有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数解方法一设这四个数依次为ad，a，ad，由条件得解得或所以当a4，d4时，所求的四个数为0,4,8,16；当a9，d6时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法二设这四个数依次为a，a，aq(q0)，由条件得解得或当a8，q2时，所求的四个数为0,4,8,16；当a3，q时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.反思与感悟合理地设出未知数是解决此类问题的技巧一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为ad，a，ad.若四个同号的数成等比数列，可设为，aq，aq3；四个数成等差数列，可设为a3d，ad，ad，a3d.跟踪训练3有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数解设这四个数分别为x，y,18y,21x，则由题意得解得或故所求的四个数为3,6,12,18或，.1在等比数列an中，a28，a564，则公比q为()a2 b3c4 d8答案a解析由a5a2q3，得q38，所以q2.2在等比数列an中，an0，且a1a1027，则log3a2log3a9等于()a9 b6 c3 d2答案c解析因为a2a9a1a1027，所以log3a2log3a9log3273.3在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为_答案8解析设这8个数组成的等比数列为an，则a11，a82.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7(a2a7)(a3a6)(a4a5)(a1a8)3238.4已知an2n3n，判断数列an是不是等比数列？解不是等比数列a121315，a2223213，a3233335，a1a3a，数列an不是等比数列1解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法2所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量3巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要40分钟课时作业一、选择题1在数列an中，a11，点(an，an1)在直线y2x上，则a4的值为()a7 b8 c9 d16答案b解析点(an，an1)在直线y2x上，an12an，a110，an0，an是首项为1，公比为2的等比数列，a41238.2已知各项均为正数的等比数列an中，lg(a3a8a13)6，则a1a15的值为()a100 b100c10 000 d10 000答案c解析lg(a3a8a13)lg a6，a106a8102100.a1a15a10 000.3在正项等比数列an中，an1an，a2a86，a4a65，则等于()a. b.c. d.答案d解析设公比为q，则由等比数列an各项为正数且an1an知0q0，q0，q1.q2(1)232.二、填空题7设数列an为公比q1的等比数列，若a4，a5是方程4x28x30的两根，则a6a7_.答案18解析由题意得a4，a5，q3.a6a7(a4a5)q2()3218.8已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2_.答案6解析由题意知，a3a14，a4a16.a1，a3，a4成等比数列，aa1a4，(a14)2(a16)a1，解得a18，a26.9已知数列an成等比数列若a24，a5，则数列an的通项公式是_答案an4()n2，nn*解析由a5a2q3，得4q3，所以q.ana2qn24()n2，nn*.10已知等比数列an中，有a3a114a7，数列bn是等差数列，且b7a7，则b5b9_.答案8解析由等比数列的性质得a3a11a，a4a7.a70，a74.b7a74.再由等差数列的性质知b5b92b78.三、解答题11等差数列an的前n项和为sn，已知s3a，且s1，s2，s4成等比数列，求an的通项公式解设an的公差为d.由s3a，得3a2a，故a20或a23.由s1，s2，s4成等比数列，得ss1s4.又s1a2d，s22a2d，s44a22d，故(2a2d)2(a2d)(4a22d)若a20，则d22d2，所以d0，此时sn0，不合题意；若a23，则(6d)2(3d)(122d)，解得d0或d2.因此an的通项公式为an3或an2n1，nn*.12互不相等的三个数之积为8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数解设三个数为，a，aq，a38，即a2，三个数为，2，2q.(1)若2为和2q的等差中项，则2q4，q22q10，q1，与已知矛盾；(2)若2q为与2的等差中项，则12q，2q2q10，q或q1(舍去)，三个数为4，2,1；(3)若为2q与2的等差中项，则q1，q2q20，q2或q1(舍去)，三个数为1，2,4.综合(1)(2)(3)可知，这三个数为2,1,4.13在等比数列an(nn*)中，a11，公比q0.设bnlog2an，且b1b3b56，b1b3b50.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求bn的前n项和sn及an的通项an；(3)试比较an与sn的大小(1)证明因为bnlog2an，所以bn1bnlog2an1log2anlog2log2q(q0)为常数，所以数列bn为等差数列且公差dlog2q.(2)解因为b1b3b56，所以(b1b5)b32b3b33b36，即b32.又因为a11，所以b1log2a10，又因为b1b3b50，所以b50，即解得因此s