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第二章平面向量 2 5 1平面几何中的向量方法 想一想 向量可以解决哪些常见的几何问题 2 解决直线平行 垂直 三点共线 三线共点等位置关系 共线向量定理 向量模的公式 1 解决有关夹角 长度等的计算或度量问题 问题探究 例1 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型 如图 你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗 猜想 1 矩形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系 2 类比猜想 平行四边形有相似关系吗 探究 一 推断线段长度关系 a d c b 学以致用 a d c b 基底法 还可以选择其它基底吗 选择两个不共线的向量作为基底 用基底表示相关向量 把几何问题转化为只含有基底向量的运算 把向量关系翻译成几何关系 a d c b 建立适当的坐标系 用坐标表示向量 把几何问题转化为向量的坐标运算 坐标法 b 0 x0 y0 把向量关系翻译成几何关系 解 即 平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方的两倍 用向量表示问题中涉及的几何元素 几何问题转化为向量问题 通过向量运算研究几何元素之间的关系 把运算结果 翻译 成几何关系 转化 翻译 用向量方法 基底法 坐标法 解决平面几何问题的 三步曲 归纳总结 探究 二 三点共线问题 例2 在平行四边形abcd中 已知求证 a e f三点共线 分析 第一步 转化 第二步 运算 基底法 第三步 翻译 学以致用 解 探究 三 推断直线位置关系 思考1 三角形的三条高线具有什么位置关系 交于一点 证明pc ab 思考4 对于pa bc pb ac 用向量观点可分别转化为什么结论 思考3 设向量 那么pc ba可转化为什么向量关系 思考5 如何利用这两个结论推出 探究 四 计算夹角的大小 思考1 如图 在等腰 abc中 d e分别是两条腰ab ac的中点 若cd be 你认为 a的大小是否为定值 思考2 设向量 可以利用哪个向量原理求 a的大小 思考4将cd be转化为向量运算可得什么结论 思考3以为基底 向量如何表示 思考5 因为 abc是等腰三角形 则 结合上述结论等于多少 1 向量方法解决平面几何问题的 三步曲 是 几何问题向量化 向量运算代数化 向量结果几何化 简述 形到向量向量的运算向量和数到形 2 运用向量法的过程中 可分为基底法和坐标法 而向量能够用坐标表示的 优先选择建立直角坐标系 通过坐标表示 转化成代数运算 3 用向量方法解决平面几何问题的优点 向量能够运算 因此在解决某些问题时具有优越性 它把一个思辨过程变成了一个算法过程 从而降低了思考问题的难度 它能比较轻松地解决平面几何中
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