人教A版选修21 第二章 圆锥曲线与方程 章末复习 学案.docx

章末复习学习目标1.梳理本章知识，构建知识网络.2.进一步巩固和理解圆锥曲线的定义.3.掌握圆锥曲线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法1三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点f1，f2的距离的和等于常数(大于|f1f2|)的点的轨迹平面内与两个定点f1，f2的距离的差的绝对值等于常数(小于|f1f2|)的点的轨迹平面内与一个定点f和一条定直线l(l不经过点f)距离相等的点的轨迹标准方程1(ab0)1(a0，b0)y22px(p0)关系式a2b2c2a2b2c2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率0e1准线方程x决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小2.待定系数法求圆锥曲线标准方程(1)椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数当焦点位置不确定时，要分情况讨论也可将椭圆方程设为ax2by21(a0，b0，ab)(2)抛物线的标准方程求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y22px(p0)或x22py(p0)，然后建立方程求出参数p的值3直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式，则有：0等价于直线与圆锥曲线相交于两点；0等价于直线与圆锥曲线相切于一点；0等价于直线与圆锥曲线无交点(2)直线l截圆锥曲线所得的弦长|ab|或，其中k是直线l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直线与圆锥曲线的两个交点a，b的坐标，且(x1x2)2(x1x2)24x1x2，x1x2，x1x2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出(1)设a，b为两个定点，k为非零常数，|pa|pb|k，则动点p的轨迹为双曲线()(2)若直线与曲线有一个公共点，则直线与曲线相切()(3)方程2x25x20的两根x1，x2(x1x2)可分别作为椭圆和双曲线的离心率()(4)已知方程mx2ny21，则当mn时，该方程表示焦点在x轴上的椭圆()(5)抛物线y4ax2(a0)的焦点坐标是.()类型一圆锥曲线的定义与标准方程例1在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的中心为原点，焦点f1，f2在x轴上，离心率为.过f1的直线l交c于a，b两点，且abf2的周长为16，那么椭圆c的方程为_考点椭圆的标准方程题点由椭圆的几何特征求方程答案1解析设椭圆方程为1(ab0)，由e，知，故.由于abf2的周长为|ab|bf2|af2|(|af1|af2|)(|bf1|bf2|)4a16，故a4，b28，椭圆c的方程为1.反思与感悟(1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义来解决(2)涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的三者，常用定义解决问题(3)求轨迹问题、最值问题，曲线方程也常常结合定义求解跟踪训练1已知圆c1：(x3)2y21和圆c2：(x3)2y29，动圆m同时与圆c1及圆c2相外切，则动圆圆心m的轨迹方程为_考点双曲线的标准方程题点双曲线的定义与方程的综合答案x21(x1)解析如图所示，设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于点a和点b.根据两圆外切的条件，得|mc1|ac1|ma|，|mc2|bc2|mb|，因为|ma|mb|，所以|mc1|ac1|mc2|bc2|，即|mc2|mc1|bc2|ac1|26，所以点m到两定点c2，c1的距离的差是常数且小于|c1c2|，根据双曲线的定义，得动点m的轨迹为双曲线的左支(点m与c2的距离大，与c1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点m的轨迹方程为x21(x1)类型二圆锥曲线的性质例2(1)已知o为坐标原点，f是椭圆c：1(ab0)的左焦点，a，b分别为椭圆c的左、右顶点p为c上一点，且pfx轴过点a的直线l与线段pf交于点m，与y轴交于点e.若直线bm经过oe的中点，则椭圆c的离心率为()a. b. c. d.考点圆锥曲线的定义的应用题点圆锥曲线定义的应用答案a解析设m(c，y0)，则am所在直线方程为y(xa)，令x0，得e.bm所在直线方程为y(xa)，令x0，得y.由题意，得，解得a3c，即e.(2)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()a(1,3) b(1，)c(0,3) d(0，)考点圆锥曲线的定义的应用题点圆锥曲线定义的应用答案a解析若已知方程表示双曲线，则(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2.又44m2，所以m21，所以1n3.反思与感悟常见具体类型有：(1)已知基本量求离心率e或求离心率e的取值范围(2)已知圆锥曲线的方程求参数的取值范围(3)已知曲线的某些性质求曲线方程或求曲线的其他性质跟踪训练2如图，在平面直角坐标系xoy中，f是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于b，c两点，且bfc90，则该椭圆的离心率是_考点有关圆锥曲线的性质的应用题点圆锥曲线性质的简单应用答案解析由得b，c.又由f(c,0)，得，.又bfc90，所以0，化简可得2a23c2，即e2，故e.类型三直线与圆锥曲线例3如图，设椭圆y21(a1)(1)求直线ykx1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点a(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围考点直线与圆锥曲线的位置关系问题题点直线与圆锥曲线的公共点个数问题解(1)设直线ykx1被椭圆截得的线段为am，由消去y，得(1a2k2)x22a2kx0，故x10，x2.因此|am|x1x2|.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点p，q，满足|ap|aq|.记直线ap，aq的斜率分别为k1，k2，且k10，k20，k1k2.由(1)知，|ap|，|aq|，故，所以(kk)1kka2(2a2)kk0.由于k1k2，k10，k20，得1kka2(2a2)kk0，因此1a2(a22)，因为式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1，所以a.因此，任意以点a(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a，由e，得所求离心率的取值范围为.反思与感悟涉及直线与圆锥曲线问题，需要用方程思想解决，同时必要时需分类讨论，诸如位置关系判定则需联立方程组跟踪训练3如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：xy20，抛物线c：y22px(p0)(1)若直线l过抛物线c的焦点，求抛物线c的方程；(2)已知抛物线c上存在关于直线l对称的相异两点p和q.求证：线段pq的中点坐标为(2p，p)；求p的取值范围考点直线与圆锥曲线的位置关系问题题点直线与圆锥曲线的综合问题(1)解抛物线c：y22px(p0)的焦点为，由点在直线l：xy20上，得020，即p4.所以抛物线c的方程为y28x.(2)证明设p(x1，y1)，q(x2，y2)，线段pq的中点m(x0，y0)，因为点p和q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段pq，于是直线pq的斜率为1，则可设其方程为yxb.由消去x，并整理得y22py2pb0.(*)因为p和q是抛物线c上的相异两点，所以y1y2，从而(2p)24(2pb)0，化简得p2b0.方程(*)的两根为y1,2p，从而y0p.因为m(x0，y0)在直线l上，所以x02p.因此，线段pq的中点坐标为(2p，p)解因为m(2p，p)在直线yxb上，所以p(2p)b，即b22p.由知p2b0，于是p2(22p)0，所以p.因此，p的取值范围为.1直线yx1被椭圆x22y24所截得的弦的中点坐标是()a. b.c. d.考点直线与圆锥曲线的位置关系问题题点直线与圆锥曲线相交与弦有关的问题答案b解析联立得x22(x1)240，即3x24x20，则弦的中点的横坐标为，纵坐标为1，即，故选b.2.如图，椭圆：y21上的一点a关于原点的对称点为b，f2为它的右焦点，若af2bf2，则af2b的面积是()a2 b4 c1 d.考点直线与圆锥曲线的位置关系问题题点直线与圆锥曲线的综合问题答案c解析由直径所对圆周角为，可以联想到以ab为直径的圆o与椭圆交于a，b两点，且f2在圆o上，圆的半径为c，故圆的方程为x2y23，联立方程组解得y，所以1，故选c.3已知双曲线y21与不过原点o且不平行于坐标轴的直线l相交于m，n两点，线段mn的中点为p，设直线l的斜率为k1，直线op的斜率为k2，则k1k2等于()a. b c2 d2考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的其他问题答案a解析设m(x1，y1)，n(x2，y2)，p(x0，y0)，则y1，y1，根据点差法可得(y1y2)(y1y2)，所以直线l的斜率为k1，直线op的斜率为k2，k1k2，故选a.4直线x2y30与椭圆1(ab0)相交于a，b两点，且p(1,1)恰好为ab的中点，则椭圆的离心率为_考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交弦中点问题答案解析由消去x，得(4b2a2)y212b2y9b2a2b20，144b44(a24b2)(9b2a2b2)0，即a24b29.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y2，线段ab的中点为(1,1)，2，于是得a22b2.又a2b2c2，a22c2，e.5已知抛物线c：y22px(p0)的准线为l，过m(1,0)且斜率为的直线与l相交于点a，与抛物线c的一个交点为b.若，则p_.考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线的综合问题答案2解析由题意，得l：x，且直线ab的方程为y(x1)，则a，因为，所以b，将b代入y22px，得322p，解得p2或p6(舍去)解决与圆锥曲线有关的最值问题的三种方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意圆锥曲线的范围一、选择题1到定点(3,5)与直线2x3y210的距离相等的点的轨迹是()a圆 b抛物线 c线段 d直线考点曲线与方程的意义题点曲线与方程的综合应用答案d解析因为定点(3,5)在直线上，所以点的轨迹是直线2方程1所表示的曲线是()a焦点在x轴上的椭圆b焦点在y轴上的椭圆c焦点在x轴上的双曲线d焦点在y轴上的双曲线考点曲线与方程的意义题点曲线与方程的综合应用答案d解析sin 10，方程表示焦点在y轴上的双曲线3设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2，上顶点为b.若|bf2|f1f2|2，则该椭圆的方程为()a.1 b.y21c.y21 d.y21考点由椭圆的简单几何性质求方程题点由椭圆的几何特征求方程答案a解析|bf2|f1f2|2，a2c2，a2，c1，b，椭圆的方程为1.4下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是()ay与y2x byx与1cy2x20与|y|x| dylg (x2)与y2lg x考点曲线与方程的意义题点方程是否表示同一曲线答案c解析a项y(y0)，y2x，yr.b项yx中yr；1中，y0.d项，ylg(x2)中，x0，y2lg x中，x0，所以a，b选项中两函数值域不同，d选项中两函数定义域不同，故选c.5设椭圆1的左、右焦点分别为f1，f2，点p在椭圆上，且满足9，则|的值为()a8 b10 c12 d15考点椭圆定义及标准方程的应用题点椭圆定义及标准方程的综合应用答案d解析由椭圆标准方程，知a4，b2，c2.当p为左、右顶点时(不妨令p为右顶点)，|ac6，|ac2，则62cos 012，故p不为左、右顶点设和的夹角为，因为9，所以|cos 9.在pf1f2中，由余弦定理，得2|pf1|pf2|cos |pf1|2|pf2|2|f1f2|2，即2|pf1|pf2|cos (|pf1|pf2|)2|f1f2|22|pf1|pf2|，29(24)2(22)22|，即|15，故选d.6直线yx与椭圆c：1(ab0)交于a，b两点，以线段ab为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆c的离心率为()a. b42c. d.1考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆位置关系的综合应用答案d解析点a，b关于原点对称，故以线段ab为直径的圆的圆心为原点，又圆经过椭圆的右焦点，所以半径为半焦距c，设a(x0，y0)，则结合oarc及yx，得y0x0，xyc2，a，代入椭圆方程，得1，由b2a2c2化简，得c48a2c24a40，即e48e240，e242.结合0e1，得e242，即e1.7已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，以|f1f2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为p(3,4)，则此双曲线的方程为()a.1 b.1c.1 d.1考点由双曲线的简单几何性质求方程题点渐近线为条件求双曲线的方程答案c解析由已知条件，得2r|f1f2|2c，即rc，而r|op|5.渐近线方程为yx，点p(3,4)在直线yx上，所以解得所以双曲线方程为1.二、填空题8已知抛物线y2px2(p0)的焦点为f，点p在抛物线上，过点p作pq垂直于抛物线的准线，垂足为点q，若抛物线的准线与对称轴相交于点m，则四边形pqmf的面积为_考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用答案解析由p在抛物线上，得p，故抛物线的标准方程为x24y，焦点f(0,1)，准线为y1，|fm|2，|pq|1，|mq|1，则直角梯形pqmf的面积为1.9已知双曲线1(a0，b0)的左焦点f1(2，0)，右焦点f2(2，0)，离心率e.若点p为双曲线c右支上一点，则|pf1|pf2|_.考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案8解析由题意，得c2，e，a4，|pf1|pf2|2a8.10已知椭圆e：1(ab0)的右焦点为f，短轴的一个端点为m，直线l：3x4y0交椭圆e于a，b两点若|af|bf|4，点m到直线的距离不小于，则椭圆e的离心率的取值范围是_考点椭圆的离心率问题题点求离心率的取值范围答案解析如图所示，设f为椭圆的左焦点，连接af，bf，则四边形afbf是平行四边形，4|af|bf|af|af|2a，a2.取m(0，b)，点m到直线l的距离不小于，解得b1.e.椭圆e的离心率的取值范围是.11已知圆c过双曲线1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程研究其他问题答案解析由双曲线的几何性质，易知圆c过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆c的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为或.易求得圆心到双曲线中心的距离为.三、解答题12已知中心在坐标原点o的椭圆c经过点a(2,3)，且点f(2,0)为其右焦点(1)求椭圆c的标准方程；(2)是否存在平行于oa的直线l，使得直线l与椭圆c有公共点，且直线oa与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆位置关系的综合应用解(1)依题意，可设椭圆c的方程为1(ab0)，且可知左焦点为f(2,0)，从而有解得又a2b2c2，b212.故椭圆c的标准方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为yxt.由消去y，得3x23txt2120.直线l与椭圆c有公共点，(3t)243(t212)0，解得4t4.另一方面，直线oa与l的距离等于4，可得 4，从而t2.由于24，4，符合题意的直线l不存在13已知抛物线c：x22py(p0)的焦点为f(0,1)，过点f作直线l交抛物线c于a，b两点椭圆e的中心在原点，焦点在x轴上，点f是它的一个顶点，且其离心率e.(1)分别求抛物线c和椭圆e的方程；(2)经过a，b两点分别作抛物线c的切线l1，l2，切线l1与l2相交于点m.证明：abmf.考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线的综合问题(1)解由已知抛物线c：x22py(p0)的焦点为f(0,1)可得抛物线c的方程为x24y.设椭圆e的方程为1(ab0)，半焦距为c.由已知，得解得a2，b1，c.椭圆e的方程为y21.(2)证明显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线c只有一个交点，不合题意故可设直线l的方程为ykx1，a(x1，y1)，b(x2，y2)(x1x2)，由消去y，整理得x24kx40，x1x24.抛物线c的方程为yx2，求导得yx，过抛物线c上a，b两点的切线方程分别是yy1x1(xx1)，yy2x2(xx2)，即yx1xx，yx2xx，两方程联立解得两条切线l1，l2的交点m的坐标为，即m，(x2x1，y2y1)(xx)20，abmf.四、探究与拓展14如图，a1，a2为椭圆1的长轴的左、右端点，o为坐标原点，s，q，t为椭圆上不同于a1，a2的三点，直线qa1，qa2，os，ot围成一个平行四边形opqr，则|os|2|ot|2等于()a5 b3 c9 d14考点由椭圆方程研究简单几何性质题点由椭圆的几何特征求参数答案d解析设q(x，y)，t(x1，y1)，s(x2，y2)，直线qa1，qa2的斜率分别为k1，k2，则直线ot，