人教A版选修21 第三章 3.1.2　空间向量的数乘运算 学案.docx

3.1.2空间向量的数乘运算学习目标1.了解空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.2.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题知识点一空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为向量的数乘几何定义0a与向量a的方向相同0a与向量a的方向相反a的长度是a的长度的|倍0a0，其方向是任意的运算律分配律(ab)ab结合律(a)()a知识点二共线向量与共面向量思考1回顾平面向量中关于向量共线的知识，给出空间中共线向量的定义答案如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量思考2空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？答案正确根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量梳理平行(共线)向量与共面向量共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb推论如果l为经过已知点a且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点o，点p在直线l上的充要条件是存在实数t，使ta，其中a叫做直线l的方向向量，如图所示若在l上取a，则式可化为t如图，空间一点p位于平面mab内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使xy，或对空间任意一点o来说，有xy(1)若pxayb，则p与a，b共面()(2)若p与a，b共面，则pxayb.()(3)若xy，则p，m，a，b共面()(4)若p，m，a，b共面，则xy.()类型一共线问题例1(1)已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()aa，b，d ba，b，ccb，c，d da，c，d(2)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知e1ke2，5e14e2，e12e2，且a，b，d三点共线，实数k_.考点线线、线面平行的判断题点线线平行的判断答案(1)a(2)1解析(1)因为3a6b3(a2b)3，故，又与有公共点a，所以a，b，d三点共线(2)7e1(k6)e2，且与共线，故x，即7e1(k6)e2xe1xke2，故(7x)e1(k6xk)e20，又e1，e2不共线，解得故k的值为1.反思与感悟(1)判断向量共线的策略熟记共线向量的充要条件：()若ab，b0，则存在唯一实数使ab；()若存在唯一实数，使ab，b0，则ab.判断向量共线的关键：找到实数.(2)证明空间三点共线的三种思路对于空间三点p，a，b可通过证明下列结论来证明三点共线存在实数，使成立对空间任一点o，有t(tr)对空间任一点o，有xy(xy1)跟踪训练1如图所示，在空间四边形abcd中，点e，f分别是ab，cd的中点，请判断向量与是否共线？考点线线、线面平行的判断题点线线平行的判断解设ac的中点为g，连接eg，fg，又，共面，()，与共线类型二空间向量的数乘运算及应用例2如图所示，在平行六面体abcda1b1c1d1中，设a，b，c，m，n，p分别是aa1，bc，c1d1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算解(1)()acb.(2)abc.(3)()()abc.引申探究若把本例中“p是c1d1的中点”改为“p在线段c1d1上，且”，其他条件不变，如何表示？解acb.反思与感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质跟踪训练2如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e在a1d1上，且2，f在对角线a1c上，且.求证：e，f，b三点共线考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用证明设a，b，c.因为2，所以，所以b，()()abc，所以abc.又bcaabc，所以，又因为与有公共点e，所以e，f，b三点共线类型三空间向量共面问题例3(1)已知a，b，m三点不共线，对于平面abm外的任意一点o，确定在下列条件下，点p是否与a，b，m一定共面3；4.(2)已知a，b，c三点不共线，点m满足.，三个向量是否共面？点m是否在平面abc内？考点空间向量的数乘运算题点空间共面向量定理及应用解(1)3，()()，为共面向量，p与a，b，m共面2()()2，根据空间向量共面的推论，点p位于平面abm内的充要条件是xy，p与a，b，m不共面(2)3，()()，向量，共面由知向量，共面，又它们有共同的起点m，且a，b，c三点不共线，m，a，b，c四点共面，即点m在平面abc内反思与感悟向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值跟踪训练3如图所示，若p为平行四边形abcd所在平面外一点，点h为pc上的点，且，点g在ah上，且m，若g，b，p，d四点共面，求m的值考点空间向量的数乘运算题点空间共面向量定理及应用解连接bg.因为，所以，因为，所以.因为，所以，所以().又因为，所以，因为m，所以m，因为，所以.又因为g，b，p，d四点共面，所以10，m.即m的值是.1下列命题中正确的是()a若a与b共线，b与c共线，则a与c共线b向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面c零向量没有确定的方向d若ab，则存在唯一的实数，使ab考点空间向量的数乘运算题点线线平行的判定答案c解析零向量的方向是任意的2a，b，c不共线，对空间任意一点o，若，则p，a，b，c四点()a不共面 b共面c不一定共面 d无法判断是否共面考点空间向量的数乘运算题点空间共面向量定理及应用答案b解析()()，.由共面的充要条件，知p，a，b，c四点共面3下列条件，能说明空间不重合的a，b，c三点共线的是()a. b.c. d.|考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案c解析由知与共线，又因有一共同的点b，故a，b，c三点共线4若非零空间向量e1，e2不共线，则使2ke1e2与e12(k1)e2共线的k的值为_考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案解析若2ke1e2与e12(k1)e2共线，则2ke1e2e12(k1)e2，k.5若非零空间向量e1，e2不共线，则使ke1e2与e1ke2共线的k_.考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案1解析由ke1e2与e1ke2共线，得ke1e2(e1ke2)，即故k1.1四点p，a，b，c共面对空间任意一点o，都有xyz，且xyz1.2.xy称为空间平面abc的向量表达式由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定3证明(或判断)三点a，b，c共线时，只需证明存在实数，使(或)即可，也可用“对空间任意一点o，有t(1t)”来证明三点a，b，c共线4空间一点p位于平面mab内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使xy，满足这个关系式的点都在平面mab内；反之，平面mab内的任一点都满足这个关系式这个充要条件常用于证明四点共面一、选择题1在平行六面体abcda1b1c1d1中，向量，是()a有相同起点的向量 b等长向量c共面向量 d不共面向量考点空间向量的数乘运算题点空间共面向量定理及应用答案c解析因为，且，所以，即.又与不共线，所以，三向量共面2在平行六面体abcda1b1c1d1中，m为ac与bd的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()aabcbabccabcdabc考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案a解析()c(ab)abc.3如图所示，在四面体abcd中，点e是cd的中点，记a，b，c，则等于()aabcbabccabcdabc考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案b解析连接ae，e是cd的中点，b，c，()(bc)在abe中，又a，a(bc)abc.4设点m是abc的重心，记a，b，c，且abc0，则等于()a. b.c. d.考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案d解析设d是bc边的中点，m是abc的重心，.而()(cb)，(cb)5设空间四点o，a，b，p满足mn，其中mn1，则()a点p一定在直线ab上b点p一定不在直线ab上c点p可能在直线ab上，也可能不在直线ab上d与的方向一定相同考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案a解析已知mn1，则m1n，(1n)nnn，即n()，即n.因为0，所以和共线，又ap和ab有公共点a，所以点a，p，b共线，故选a.6已知点m在平面abc内，并且对空间任意一点o，有x，则x的值为()a1 b0 c3 d.考点空间向量的数乘运算题点空间共面向量定理及应用答案d解析x，且m，a，b，c四点共面，x1，x，故选d.7在下列命题中：若a，b共线，则a，b所在的直线平行；若a，b所在的直线是异面直线，则a，b一定不共面；若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量一定也共面；已知三向量a，b，c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为pxaybzc.其中正确命题的个数为()a0 b1 c2 d3考点空间向量的数乘运算题点空间共面向量定理及应用答案a解析根据空间向量的基本概念知四个命题都不对二、填空题8以下命题：两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；共线的两个向量互相平行；共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量其中正确命题的序号是_考点空间向量的数乘运算题点空间向量共面定理及应用答案解析根据共面与共线向量的定义判定，知正确9已知a，b，c三点不共线，o为平面abc外一点，若由向量确定的点p与a，b，c共面，则_.考点空间向量的数乘运算题点空间共面向量定理及应用答案解析a，b，c三点不共线，点o是平面abc外一点，由向量确定的点p与a，b，c共面，1，解得.10如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别为ab，b1c的中点用，表示，则_.考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案解析()().11设棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中的八个顶点所成的集合为s.向量的集合pm|m，p1，p2s，则p中长度为a的向量有_个考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案8解析每一条体对角线对应两个向量，正方体共有4条体对角线三、解答题12设e1，e2，e3三向量不共面，而e12e23e3，2e1e2e3，3e1e22e3，如果a，b，d三点共线，试求，的值考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用解(2e1e2e3)(3e1e22e3)(23)e1(1)e2e3.a，b，d三点共线，与是共线向量存在实数k，使得k，即e12e23e3k(23)e1(1)e2e3(12k3k)e1(2kk)e2(3k)e30.e1，e2，e3三向量不共面，12k3k0,2kk0,3k0.将k代入前两式，可得解得1，3.13.如图，在多面体abcdef中，四边形abcd是正方形，efab，ab2ef，h为bc的中点求证：fh平面edb.考点空间向量的数乘运算题点空间向量共面定理及应用证明因为h为bc的中点，所以()()(2)因为efab，cdab，且ab2ef，所以20，所以().因为与不共线，所以由共面向量定理知，共面因为fh平面edb，所以fh平面edb.四、探究与拓展14.如图所示，已知a，b，c三点不共线，p为一定点，