人教A版选修21 第二章 §2.2　椭　圆 学案.doc

2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程学习目标1.理解椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程知识点一椭圆的定义思考给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？答案在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆梳理(1)平面内与两个定点f1，f2的距离的和等于常数(大于|f1f2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：pm|mf1|mf2|2a,2a|f1f2|(3)2a与|f1f2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a|f1f2|动点的轨迹是椭圆2a|f1f2|动点的轨迹是线段f1f22abc一定成立吗？答案不一定，只需ab，ac即可，b，c的大小关系不确定梳理(1)椭圆标准方程的两种形式焦点位置标准方程焦点焦距焦点在x轴上1(ab0)f1(c,0)，f2(c,0)2c焦点在y轴上1(ab0)f1(0，c)，f2(0，c)2c(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系椭圆在坐标系中的位置标准方程1(ab0)1(ab0)焦点坐标f1(c,0)，f2(c,0)f1(0，c)，f2(0，c)a，b，c的关系b2a2c2(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”如方程为1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标f1(0，1)，f2(0,1)，焦距|f1f2|2.(1)已知f1(4,0)，f2(4,0)，平面内到f1，f2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆()(2)已知f1(4,0)，f2(4,0)，平面内到f1，f2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆()(3)平面内到点f1(4,0)，f2(4,0)两点的距离之和等于点m(5,3)到f1，f2的距离之和的点的轨迹是椭圆()(4)平面内到点f1(4,0)，f2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆()类型一椭圆定义的应用例1点p(3,0)是圆c：x2y26x550内一定点，动圆m与已知圆相内切且过p点，判断圆心m的轨迹考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用解方程x2y26x550化成标准形式为(x3)2y264，圆心为(3,0)，半径r8.因为动圆m与已知圆相内切且过p点，所以|mc|mp|r8，根据椭圆的定义，动点m到两定点c，p的距离之和为定值86|cp|，所以动点m的轨迹是椭圆引申探究若将本例中圆c的方程改为：x2y26x0且点p(3,0)为其外一定点，动圆m与已知圆c相外切且过p点，求动圆圆心m的轨迹方程解设m(x，y)，由题意可知，圆c：(x3)2y29，圆心c(3,0)，半径r3.由|mc|mp|r，故|mc|mp|r3，即3，整理得1(x0)反思与感悟椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量常数2a必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件跟踪训练1(1)下列命题是真命题的是_(将所有真命题的序号都填上)已知定点f1(1,0)，f2(1,0)，则满足|pf1|pf2|的点p的轨迹为椭圆；已知定点f1(2,0)，f2(2,0)，则满足|pf1|pf2|4的点p的轨迹为线段；到定点f1(3,0)，f2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用答案解析b0)依题意，有解得由ab0，知不合题意，故舍去；当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意，有解得所以所求椭圆的标准方程为1.方法二设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)则解得所以所求椭圆的方程为5x24y21，故椭圆的标准方程为1.引申探究求与椭圆1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆方程解由题意可设其方程为1(9)，又椭圆过点(3，)，将此点代入椭圆方程，得11(21舍去)，故所求的椭圆方程为1.反思与感悟(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2ny21(mn，m0，n0)(2)与椭圆1(ab0)有公共焦点的椭圆方程为1(ab0，b2)，与椭圆1(ab0)有公共焦点的椭圆方程为1(ab0，b2)跟踪训练2求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)椭圆的两个焦点坐标分别为f1(4,0)，f2(4,0)，椭圆上一点p到两焦点的距离之和等于10；(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)考点椭圆标准方程的求法题点定义法求椭圆的标准方程解(1)设其标准方程为1(ab0)由题意可知2a10，c4，故b2a2c29，故所求椭圆的标准方程为1.(2)设椭圆的一般方程为ax2by21(a0，b0，ab)，则解得故所求椭圆的标准方程为1.(3)设椭圆的标准方程为1(ab0)由解得故所求椭圆的标准方程为y21.类型三求与椭圆有关的轨迹方程例3已知b，c是两个定点，|bc|8，且abc的周长等于18.求这个三角形的顶点a的轨迹方程考点椭圆标准方程的求法题点定义法求椭圆的标准方程解以过b，c两点的直线为x轴，线段bc的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xoy，如图所示由|bc|8可知点b(4,0)，c(4,0)由|ab|ac|bc|18，得|ab|ac|108|bc|，因此，点a的轨迹是以b，c为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a10，但点a不在x轴上由a5，c4，得b2a2c225169.所以点a的轨迹方程为1(y0)反思与感悟求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法：(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义直接求解(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点轨迹的方程跟踪训练3如图，设定点a(6,2)，p是椭圆1上的动点，求线段ap的中点m的轨迹方程考点椭圆标准方程的求法题点定义法求椭圆的标准方程解设m(x，y)，p(x1，y1)m为线段ap的中点，又1，点m的轨迹方程为.1椭圆y21上一点p到一个焦点的距离为2，则点p到另一个焦点的距离为()a5b6c7d8考点椭圆的标准方程题点由椭圆的标准方程求焦点、焦距答案d解析设椭圆的左、右焦点分别为f1，f2，|pf1|2，结合椭圆定义|pf2|pf1|10，可得|pf2|8.2已知椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)，点p(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为()a.1b.y21c.1d.x21考点椭圆标准方程的求法题点待定系数法求椭圆的标准方程答案a解析c1，a()2，b2a2c23，椭圆的方程为1.3设f1，f2是椭圆1的两个焦点，p是椭圆上的点，且|pf1|pf2|21，则f1pf2的面积_.考点椭圆定义及其标准方程的应用题点椭圆定义及其标准方程的综合应用答案4解析由椭圆方程，得a3，b2，c.|pf1|pf2|2a6且|pf1|pf2|21，|pf1|4，|pf2|2，|pf1|2|pf2|2|f1f2|2，pf1f2是直角三角形，故f1pf2的面积为|pf1|pf2|244.4在椭圆y21中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点f2出发经椭圆反射后经过另一个焦点f1，再次被椭圆反射后又回到f2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为_考点椭圆定义及其标准方程的应用题点椭圆定义及其标准方程的综合应用答案4解析把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为4a，即4.5若abc的三边长a，b，c成等差数列，且b6，求顶点b的轨迹方程考点椭圆标准方程的求法题点定义法求椭圆的标准方程解以直线ac为x轴，ac的中点为原点，建立平面直角坐标系，设a(3,0)，c(3,0)，b(x，y)，则|bc|ab|ac2b2|ac|12，b点的轨迹是以a，c为焦点的椭圆，且a6，c3，b227.故所求的轨迹方程为1(y0)1平面内到两定点f1，f2的距离之和为常数，即|mf1|mf2|2a，当2a|f1f2|时，轨迹是椭圆；当2a|f1f2|时，轨迹是一条线段f1f2；当2a|f1f2|时，轨迹不存在2所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在1与1这两个标准方程中，都有ab0的要求，如方程1(m0，n0，mn)就不能确定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1类比，如1中，由于ab，所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x2，y2分母的大小)3对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是通过待定系数法求解，二是通过椭圆的定义进行求解一、选择题1平面内，f1，f2是两个定点，“动点m满足|为常数”是“m的轨迹是椭圆”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用答案b解析当|时，m的轨迹才是椭圆2已知方程1表示椭圆，则k的取值范围为()ak3且kb3k2dk3答案b解析由题意，知需满足解得3kb0)，m为椭圆上一动点，f1为椭圆的左焦点，则线段mf1的中点p的轨迹是()a圆b椭圆c线段d直线考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用答案b解析由题意，知|po|mf2|，|pf1|mf1|，又|mf1|mf2|2a，所以|po|pf1|a|f1o|c，故由椭圆的定义，知p点的轨迹是椭圆二、填空题8已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为_考点椭圆的标准方程题点由定义求标准方程答案x21解析由已知2a8,2c2，所以a4，c，所以b2a2c216151.又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为x21.9已知中心在原点，长轴在x轴上，一焦点与短轴两端点连线互相垂直，焦点与长轴上较近顶点的距离为4(1)，则此椭圆方程是_答案1解析由题意，得解得所以椭圆方程为1.10设f1，f2分别为椭圆y21的左、右焦点，点a，b在椭圆上，若5，则点a的坐标是_考点椭圆定义及其标准方程的应用题点椭圆标准方程的应用答案(0，1)解析根据题意，设a点坐标为(m，n)，b点坐标为(c，d)f1，f2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(，0)，(，0)，可得(m，n)，(c，d)5，c，d.点a，b都在椭圆上，n21，21.解得m0，n1，故点a坐标为(0，1)11若点o和点f分别为椭圆y21的中心和右焦点，点p为椭圆上的任意一点，则|op|2|pf|2的最小值为_考点椭圆定义及其标准方程的应用题点椭圆标准方程的应用答案2解析由题意可知，o(0,0)，f(1,0)，设p(cos，sin)，则|op|2|pf|22cos2sin2(cos1)2sin22cos22cos3222，所以当cos时，|op|2|pf|2取得最小值2.三、解答题12已知f1(c,0)，f2(c,0)为椭圆1(ab0)的两个焦点，p在椭圆上，且pf1f2的面积为b2，求cosf1pf2的值考点椭圆定义及其标准方程的应用题点椭圆定义及其标准方程的综合应用解依题意可得整理得|pf1|pf2|.pf1f2的面积为b2，sinf1pf2b2，1cosf1pf2sinf1pf2，又sin2f1pf2cos2f1pf21，cosf1pf2(cosf1pf21舍去)13已知椭圆1上一点m的纵坐标为2.(1)求m的横坐标；(2)求过m且与1共焦点的椭圆的方程考点椭圆标准方程的求法题点待定系数法求椭圆的标准方程解(1)把m的纵坐标代入1，得1，即x29，解得x3，即m的横坐标为3或3.(2)椭圆1的焦点在x轴上且c2945.设所求椭圆的方程为1(a25)，把m点坐标代入椭圆方程，得1，解得a215(a23舍去)故所求椭圆的方程为1.四、探究与拓展14已知椭圆1的两个焦点为f1，f2，m是椭圆上一点，且|mf1|mf2|1，则mf1f2是()a钝角三角形b直角三角形c锐角三角形d等边三角形考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用答案b解析由椭圆定义，知|mf1|mf2|2a4，且已知|mf1|mf2|1，所以|mf1|，|mf2|.又|f1f2|2c2，所以有|mf1|2|mf2|2|f1f2|2，因此mf2f190，即mf1f2为直角三角形15如图所示，abc的底边bc12，其他两边ab和ac上中线的和为30，求此三角形重心g的轨迹方程，并求顶点a的轨迹方程考点椭圆标准方程的