人教A版选修21 3.1.3 空间向量的数量积运算 学案.docx

3.1.3 空间向量的数量积运算学习目标：1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法(重点)3.能用向量的数量积解决立体几何问题(难点)自 主 预 习探 新 知1空间向量的夹角(1)夹角的定义图3115已知两个非零向量a，b，在空间任取一点o，作a，b，则aob叫做向量a，b的夹角，记作a，b(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角的取值范围是0，特别地，当0时，两向量同向共线；当时，两向量反向共线，所以若ab，则a，b0或；当a，b时，两向量垂直，记作ab.2空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab.即ab|a|b|cosa，b(2)数量积的运算律：数乘向量与数量积的结合律(a)b(ab)a(b)交换律abba分配律a(bc)abac(3)空间两向量的数量积的性质：向量数量积的性质垂直若a，b是非零向量，则abab0共线同向：则ab|a|b|反向：则ab|a|b|模a a|a|a|cosa，a|a|2|a|ab|a|b|夹角为a，b的夹角，则cos 思考：(1)若ab0，则一定有ab吗？(2)若ab0，则a，b一定是锐角吗？提示 (1)若ab0，则不一定有ab，也可能a0或b0(2)当a，b0时，也有ab0，故当ab0时，ab不一定是锐角基础自测1思考辨析(1)在abc中，b( )(2)在正方体abcdabcd中，与的夹角为45.( )(3)0a0.( )(4)若ab0，则a，b为钝角( )答案 (1) (2) (3) (4)2已知正方体abcdabcd的棱长为a，设a，b，c，则，等于( )a30 b60 c90 d120d bdc是等边三角形，120.3已知|a|3，|b|2，ab3，则a，b_. cosa，b.所以a，b.合 作 探 究攻 重 难 空间向量的数量积运算 (1)已知a3p2q，bpq，p和q是相互垂直的单位向量，则ab( )a1 b2 c3 d4(2)如图3116所示，在棱长为1的正四面体abcd中，e，f分别是ab，ad的中点，求值：图3116(1)；(2)；(3)；(4).解析 (1)由题意知，pq0，p2q21所以ab(3p2q)(pq)3p22q2pq1.答案 a(2)|cos，cos 60.(2)|2.(3)efcos 60.(4)()|cos，|cos，cos 60cos 600.规律方法 在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.(4)代入公式ab|a|b|cosa，b求解.跟踪训练1(1)已知空间四边形abcd的每条边和对角线的长都等于a，点e，f分别是bc，ad的中点，则_. a2 a2cos 60a2.(2)在四面体oabc中，棱oa，ob，oc两两垂直，且oa1，ob2，oc3，g为abc的重心，则()_. ()()()()()222223212. 利用数量积证明空间的垂直关系 已知空间四边形oabc中，aobbocaoc，且oaoboc，m，n分别是oa，bc的中点，g是mn的中点，求证：ogbc解 连接on，设aobbocaoc，又设a，b，c，则|a|b|c|.又()(abc)，cb.(abc)(cb)(acabbcb2c2bc)(|a|2cos |a|2cos |a|2|a|2)0.，即ogbc规律方法 用向量法证明垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量问题(2)用已知向量表示所证向量(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0.(4)将向量问题回归到几何问题跟踪训练2如图3117，已知正方体abcdabcd，cd与dc相交于点o，连接ao，求证：图3117(1)aocd；(2)ac平面bcd.证明 (1)因为()，因为，所以(2)()(22)(|2|2)0，所以，故aocd.(2)因为()()，可知0，0，0，|2，|2，0，所以|2|20，所以，所以acbc同理可证，acbd.又bc，bd平面bcd，bcbdb，所以ac平面bcd. 利用数量积求夹角 如图3118，在空间四边形oabc中，oa8，ab6，ac4，bc5，oac45，oab60，求异面直线oa与bc的夹角的余弦值. 图3118思路探究 求异面直线oa与bc所成的角，首先来求与的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是，而向量夹角的取值范围为0，注意角度的转化解 ，|cos，|cos，84cos 13586cos 1202416.cos，异面直线oa与bc的夹角的余弦值为.规律方法 利用向量数量积求夹角问题的思路1求两个向量的夹角有两种方法：(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；(2)先求ab，再利用公式cosab求cosa，b，最后确定a，b2我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角，步骤如下：根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角的大小跟踪训练3.如图3119，已知直三棱柱abcabc中，acbcaa，acb90，d，e分别为ab，bb的中点图3119(1)求证：cead；(2)求异面直线ce与ac所成角的余弦值解 (1)证明：设a，b，c，根据题意，|a|b|c|且abbcca0.bc，cba.c2b20，即cead(2)ac，|a|，|a|，(ac)c2|a|2，cos，5.异面直线ce与ac所成角的余弦值为. 利用数量积求距离探究问题1异面直线ab，cd所成的角为60，则，的值是多少？提示：，60或1202如图3120，已知线段ab平面，bc，cdbc，df平面，且dcf30，d与a在的同侧，若abbccd2，试求a，d两点间的距离图3120提示：，|2()2|2|2|22bc2cd2122(22cos 9022cos 12022cos 90)8，|2，即a，d两点间的距离为2. 如图3121所示，在平行四边形abcd中，abac1，acd90，沿着它的对角线ac将acd折起，使ab与cd成60角，求此时b，d间的距离图3121思路探究 解 acd90，cd0，同理可得0.ab与cd成60角，60或，120.又，|2|2|2|22223211cos，当，60时，|24，此时b，d间的距离为2；当，120时，|22，此时b，d间的距离为.规律方法 1.利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算2用数量积求两点间距离的步骤：(1)用向量表示此距离；(2)用其他向量表示此向量；(3)用公式aa|a|2，求|a|；(4)|a|即为所求距离跟踪训练4.如图3122所示，在空间四边形oabc中，oa，ob，oc两两成60角，且oaoboc2，e为oa的中点，f为bc的中点，试求e，f间的距离图3122解 ()()()，所以2222222.|，即e，f间的距离为.当 堂 达 标固 双 基1已知e1，e2为单位向量，且e1e2，若a2e13e2，bke14e2，ab，则实数k的值为( )a6 b6c3d3b 由题意可得ab0，e1e20，|e1|e2|1，(2e13e2)(ke14e2)0，2k120，k6.2在正方体abcda1b1c1d1中，有下列命题：()232；()0；与的夹角为60.其中真命题的个数为( ) a1 b2 c3 d0b 对于，()222232，故正确；对于，()0，故正确对于，120，故错3在空间四边形oabc中，oboc，aobaoc，则cos，的值为( )a b c d0d ()|cosaoc|cosaob|o|0，cos，0.4在空间四边形abcd中，_.0 原式()()()0.5如图3123，三棱柱a