规律探究专题.doc

规律探究专题教案教学目标通过规律的探索，培养学生的观察、分析、比较、概括、推理、判断的能力，并积累数学探究经验，提高学生的合情推理能力和灵活解决问题的能力。重点:在规律探索的活动中培养学生的数学思考水平，并形成基本的解题策略。难点：形成基本的良好效的解题策略。 教学过程：（一）综述“规律探究类问题”是中考中的一棵常青树，一直受到命题者的青睐。这类试题要求学生有一定的数感与符号感，学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动，得到图形或数式内在规律的一般通式。不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和提高，也有利于自主探索，创新精神的培养因此规律探究类问题一直成为命题的热点。1规律探索型问题的特点：基础知识广形式灵活善变思维量大解法多样化解题策略：特殊 到 一般 到 特殊过程2基本题型:数式规律、 图形规律、数形结合规律等。多以填空题和选择题出现，近几年，解答题的规律探究题型开始增多。（二）例题分析 提炼方法 一数式规律例1 观察下列各式，你会发现什么规律？ 15、35、63、99、143、195，请你猜想到的规律用只含一个字母的代数式表示出来： 分析：3515， 5735，79 63， 911 99 ，1113143， 例2 一组按规律排列的式子： （ab0），其中第7个式子是 ，第n个式子是 （n为正整数）本题难点是，变化的部分太多，有三处发生变化：分子、分母、分式的符号。学生很容易发现各部分的变化规律，但是如何用一个统一的式子表示出分式的符号的变化规律是难点.分析:分子的指数依次排列为：2、5、8、11 2=2+30 5=2+31 8=2+32 11=2+33分子是变化规律是：例3（2010江苏盐城）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是（D ）02842462246844m6A38 B52 C66 D74分析：观察图表可知2*4-0=8, 4*6-2=22 , 6*8-4=44, 8*10-6=74例4中央电视台“开心辞典”栏目有这么一道题:观察下列一组数列的排列规律1,2,3,4,3,2,1,2,3,4,3,2,1,那么第2006个数字是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4点拨:认真观察数据可以发现:这组数的排列规律是1,2,3,4,3,2为一个循环,用2006除以6商为334余数为2，对应数列中的2， 故选B。例5如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，则第2010次输出的结果为（ B ）（A）6（B）3 （C） (D)输出输入x x3x为偶数X为奇数x为奇数1过的路径ebiaofa 10 输出次数 输出数值2634562412363分析：(2010-2)2=1004 若输出第2011次呢？输出数值是几？例6一个巴尔末的中学教师成功地从光谱数据， 中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n(n1)个数据是_.解法一：分子是从3开始的连续的自然数的平方；分子都比分母大4.所以第n个数据是 。解法二：观察发现分母可以依次看作1*5、2*6、3*7、4*8故分母的规律是n(n+4).第n个数据是例7观察下列各式： 13=1221； 24=2222； 35=3223； 请你将猜想到的规律用正整数n表示出来n(n+2)=n2+2_n.方法总结：横向熟悉代数式、算式的结构；纵向观察、对比，研究各式之间的关系，寻求变与不变规律；按要求写出算式或结果。 例8：（07年重庆市中考题）将正整数按如图所示的规律排列下去。若用有序实数对表示第 n 排，从左到右第 m个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是_ 。 1 第一排 2 3 第二排 4 5 6 第三排 7 8 9 10 第四排 分析：观察数字排列可知：每排数字是连续的自然数，每排数字的个数等于排数即（7，2）表示的数即1+2+3+4+5+6+2=23，所以（7，2）表示的实数为23。反思：第n排的第m个数对应的是什么实数呢？由特殊到一般的方法可得：1+2+3+(n1)+m = ，（n，m）表示的实数为 （三）小结与反思1规律探究题的解题策略是什么？由特殊经合情推理到一般再由一般验证特殊的探究过程。2你获得了哪些解题经验和方法？注意观察数与式中变与不变的规律；连续自然数的求和方法:(首项+末项)乘以项数除以2；用列表法找规律等。二、图形规律例1用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子 枚（用含n的代数式表示）. 方法一:除第一个图形有4枚棋子外,每多一个图形, 多3枚棋子.43（n1）=3 n+1第1个图第2个图第3个图(n+1)+2n4+233+222+21n321方法二:每个图形,可看成是序列数与3的倍数又多1枚棋子3n+1方法三: (n+1)+2n = 3n+1方法总结：认真观察研究图案（形）提取数式信息 仿照数式规律得到结论 。例2拿出一张长方形的纸对折，可以得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续折6次后，可以得到几条折痕？如果对折10次呢？对折n次呢？由一般到特殊可得：当n=6时，折痕条数为26-1；n=10时，折痕条数为210-1；对折n次，折痕条数为2n-1。例3如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；.，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是( 670 ) . 分析：4+3(n- 1）=2011 n=670例4 如图，小明作出了边长为1的第1个正 A1B1C1，算出了正A1B1C1的面积。然后分别取A1B1C1的三边中点A2、B2、C2，作出了第2个正A2B2C2，算出了正A2B2C2的面积。用同样的方法，作出了第3个正A3B3C3，算出了正A3B3C3的面积，由此可得，第10个正A10B10C10的 面积是( ).，面积比为。第一个三角形的面积为，所以第n个三角形的面积为A1A3C3B3C2B2B1A2C1第10个正A10B10C10的 面积是( ).分析：依次所作的等边三角形与前一个等边三角形相似，且相似比是例5如图，菱形ABCD中，AB=2 ，C=60,菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为(结果保留) OABClD弧0203=菱形中心O所经过的路径=弧002=例6将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图6-1在图6-2中，将子向右翻滚90，然后在桌面上按逆时针方向旋转90则完成一次变换若骰子的初始位置为图6-1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（ B ）A6 B5 C3 D2图6-1图6- 2向右翻滚90 逆时针旋转90小结与反思这节课你有哪些收获？收获一：形数结合收获二：循环规律题的特点和解法。收获三：必要的动手操作，增强直观性。三、数形结合类规律例1古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角数又是正方形数的是( )（A）15 （B）25 （C）55 （D）1225分析：图一的规律是1+2+3+n=图二的规律是m2, 故可排除A和C选项。由n(n+1)=2m2 ，所以225=50不能分解为两个连续整数的积，故D选项正确。例2电子跳蚤游戏盘是如图所示的ABC，AB=6，AC=7，BC=8如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=2跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第一次落点)处，且CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第一次落点)处，且AP2=AP1； 第三步从P2跳到BC边的P3（第三次落点)处，且BP3=BP2；跳蚤按上述规则一致跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2007与P2010之间的距离为（ ）A1 B2 C3 D4ABCP0P3P2P1 分析： AB=6，AC=7，BC=8 BP0=2AP1=AP2=1CP1=CP0=6BP2=BP3=520076=334余3到P3点20106=350到PO点点P2007与P2010之间的距离为3.选BPOP3=5-2=3例3如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 127 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子解法一：（数字探究法）图形对应的点的个数是7、19、37、可以看作7=23-13，19=33-23,37=43-33解法二：（割补法）第n个图形的点数和为=例4在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）, 延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为 （ ）.OABCDA1B1C1A2C2B2xy例5在反比例函数的 图象上,有一系列点A1、A2、A3、An、An+1，若的横坐标为2,且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2. 现分别过点A1、A2、A3、An 、An+1作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、Sn，则S1=_，则S1+S2+S3+ +Sn= _.(用n的代数式表示) 例6如图2，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），根据这个规律探索可得 第100个点的坐标为_例7已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P点重合），以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在反比例函数y = 的图像上.小明对上述问题进行了探究，发现不论m取何值，符合上述条件的正方形只有两个，且一个正方形的顶点M在第四象限，另一个正方形的顶点M1在第二象限. yPQMNOx12-1-2-3-3-2-1123(第23题图)（1）如图所示，若反比例函数解析式为y= ，P点坐标为（1， 0），图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1，并写