人教A版选修22 1.2.1几个常用函数的导数 教案1.doc

教学设计1.2导数的计算12.1几个常用函数的导数教材分析几个常用函数的导数是导数的计算的起始课，导数的计算这一节主要是介绍求函数导数的方法但是，由于最终总会归结为求极限，而新教材没有介绍极限的知识，因此教科书只是采用了利用定义方法计算了yc、yx、yx2、y、y这五个常用函数的导数，意在让学生感受根据导数定义求导数的这种方法，强化根据定义求导数的步骤，其他不作过多的要求只对它们所表示的几何意义和物理意义作一个简单的掌握，对于以后求其他函数的导数时，这五个函数的导数可以直接拿来用课时分配1课时教学目标1知识与技能目标(1)能够用定义求五个常见函数的导数，并熟悉求导数的三个步骤(2)掌握五个常用函数yc、yx、yx2、y、y的导数公式，会利用它们解决简单的问题2过程与方法目标通过本节的学习，掌握利用导数的定义求导数的方法3情感、态度与价值观(1)通过本节的学习，进一步体会导数与物理知识之间的联系，提高数学的应用意识(2)通过本节的学习，培养学生对问题的分析能力与认知能力，进一步明白数学在研究整个自然科学中的重要位置重点难点重点：五个常用函数yc、yx、yx2、y、y的导数公式及应用难点：五个常用函数yc、yx、yx2、y、y的导数公式教具准备多媒体课件我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度那么，对于函数yf(x)，如何求它的导数呢？导数定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究求导数的比较简捷的方法，下面我们求几个常见函数的导数提出问题问题1：请同学们回忆：根据导数定义求导数的步骤活动设计：学生不准看书，独立思考活动结果：(板书)1先求函数的增量fyf(xx)f(x)；2求函数的平均变化率；3取极限f(x) .活动成果：学生熟悉了根据定义求导数的三个步骤，仍要对三个步骤重点强调设计意图根据上述步骤，对以下求常用函数的导数就有法可寻虽然以后注重的是计算，但方法才是本质的东西 (既然知道用定义求导数的三个步骤，接下来就求一下函数yf(x)c的导数)(板书)1函数yf(x)c的导数(板书)根据导数定义，因为0，(第一步求函数值的增量fyf(xx)f(x)；第二步.这两步可以合为一步来做)所以y 00.(板书突出成果)函数导数ycy0活动设计：学生不准看书，独立思考问题2：y0表示的几何意义是什么？(给学生一二分钟)结论：y0表示函数yc图象(如上图)上每一点处的切线的斜率都为0.问题3：若yc表示路程关于时间的函数，则y0表示的物理意义是什么？结论：y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态学情预测：有些学生说的不对或是不恰当，老师应给予帮助和鼓励，有助于下一步的教学设计意图学以致用，让学生去思考更多的问题，让他们从中深刻体会导数的作用与意义，并对一些现象要会做合理的解释 (让学生体会到成功的喜悦，并及时将问题转入下一个函数)2函数yf(x)x的导数(板书)活动设计：让学生集体来说，老师写设计意图活跃课堂气氛 活动成果：因为1，所以y 11.(板书突出成果)函数导数yxy1提出问题：问题：y1表示的几何意义和物理意义是什么？活动成果：y1表示函数yx图象(如上图所示)上每一点处的切线的斜率都为1.若yx表示路程关于时间的函数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动设计意图学以致用，让学生去思考更多的问题，让他们从中深刻体会导数的作用与意义，并对一些现象要会做合理的解释 探究1：在同一平面直角坐标系中，画出y2x，y3x，y4x的图象，并根据导数的定义，求它们的导数(1)从图象上看，它们的导数分别怎样表示？学情预测：它们的导数分别是2、3和4.(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？学情预测：y4x增加得最快；y2x增加得最慢(3)函数ykx(k0)增(减)的快慢与什么有关？学情预测：与系数k有关问题1：仔细观察能得到什么结论？从图象上看，它们的导数分别表示什么？活动成果：都是一次项的系数；直线的斜率问题2：通过这几个函数导数的学习，你知道yf(x)kx的导数是多少吗？若知道，试根据用定义求导数的三个步骤推导以下结论正确吗？按求导数的三个步骤，你能否推导出yf(x)kxb的导数？活动成果：yf(x)kx的导数和yf(x)kxb的导数都是k.设计意图通过一系列的提问与活动，让学生能总结出一般性的结论来，并对几何意义与物理意义做出合理的解释，同时也加强学生的自主学习能力和触类旁通的学习意识 (及时将问题转入下一个函数)3函数yf(x)x2的导数(板书)提出问题：问题1：函数yf(x)x2的导数是多少呢？活动成果：因为2xx，所以y (2xx)2x.函数导数yx2y2x问题2：y2x表示的几何意义和物理意义是什么？活动设计：给学生充分的时间去思考活动成果：y2x表示函数yx2图象(如上图所示)上点(x，y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x0时，随着x的增加，函数yx2增加得越来越快若yx2表示路程关于时间的函数，则y2x可以解释为某物体作变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.设计意图明白二次函数的导数是一次函数，学会对二次函数的几何意义做出解释 变式1：求yax2bxc(a0)的导数学情预测：yax2bxc(a0)的导数是y2axb.问题3：凡导数是一次函数的函数，其原函数就是二次函数吗？变式2：若y2x3，且原函数过(1,9)，求原函数的解析式设计意图对这类函数每求一次导数，次数就降低一次，为以后幂函数求导埋下伏笔4函数yf(x)的导数(板书)活动设计：整个过程中，要注意引导学生动手来做，要注意纠正运算中存在的错误和不足活动成果：因为，所以y ().函数导数yy5函数yf(x)的导数(板书)(学生自己去推导)活动成果：因为(要学会分子有理化)，所以y .函数导数yy推广：若yf(x)x(q*)，则f(x)x1.注意：这里n可以是全体实数例2(1)求曲线yf(x)在点(1,1)处的切线方程思路分析：按照导数的几何意义，只要求出函数y在点x1处的导数，即为该曲线在点(1,1)处的切线斜率，再利用直线的点斜式方程即可求出切线方程解：根据导数的几何意义可知，所求切线斜率为kf(1)由于f(x)y()，因此kf(1)1.于是所求的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)求过点(2,0)且与曲线y相切的直线方程思路分析：与(1)一样，只要求出函数y在切点处的导数，即为该曲线在该点处的切线斜率，再利用直线的点斜式即可求出切线方程但此题(2,0)点不是切点我们就得设出切点，切点处的导数就是切线斜率，而切点与(2,0)点的连线的斜率就等于切点处的导数，因此问题迎刃而解解：设切点为(x0，y0)，令f(x)y，根据导数的几何意义可知，所求切线斜率为kf(x0)，由于y()，因此k，且y0.所以解得x01，y01.于是所求切线的方程为y1(x1)，即xy20.(3)求曲线f(x)yx2过点(2,3)的切线方程解：因为点(2,3)不在曲线yx2上，故设切点坐标为(x0，y0)根据导数的几何意义可知，所求切线的斜率为kf(x0)由于f(x)y(x2)2x，因此k2x0且y0x.所以解得x01或x03.当x01时，切线方程为2xy10；当x03时，切线方程为6xy90.设计意图在三个小题中，主要是求过曲线上一点的切线方程和过曲线外一点的切线方程求过曲线上一点的切线方程比较好求，按照导数的几何意义，只要求出函数在这点处的导数，即为曲线在该点处的切线斜率，再利用直线的点斜式即可求出切线方程过曲线外一点的切线方程，我们就得先设出切点，利用切点处的导数等于切线斜率，而切点与已知点的连线的斜率也等于切点处的导数，从而列出方程，解出切点的横坐标，再求切线的斜率 巩固练习已知点m(0，1)，f(0,1)，过点m的直线l与曲线yx34x4在x2处的切线平行(1)求直线l的方程；(2)求以点f为焦点，l为准线的抛物线c的方程解：(1)f(2) 0，直线l的斜率为0，其方程为y1.(2)抛物线以点f(0,1)为焦点，y1为准线，设抛物线的方程为x22py，则1，p2.故抛物线c的方程为x24y.变练演编已知曲线yx3上一点p(2，)，求：(1)点p处的切线的斜率；(2)点p处的切线的方程解：(1)令f(x)yx3，yx3，f(x)yx2，f(2)224.点p处的切线的斜率等于4.(2)点p处的切线的方程是y4(x2)，即12x3y160.点评：(1)小题利用所学求得函数的导数，即得到了切线的斜率；(2)小题利用点斜式求得切线的方程达标检测1下列结论不正确的是()a若y5，则y0 by3x，则y|x23cyx3，则y3x2 dyx3，则y|x112函数y2x23在x1处的导数等于()a5 b4 c7 d3答案：1.c2.b本节课主要学习了(1)函数导数ycy0yxy1yx2y2xyyyyyf(x)x(nq*)yx1 (2)求过曲线上一点的切线方程和过曲线外一点的切线方程的方法已知：曲线yx21与yx31在x0处的切线互相垂直，求x0的值拓展练习1已知曲线yx2上有两点a(1,1)，b(2,2)求：(1)割线ab的斜率；(2)点a处的切线的斜率；(3)点a处的切线方程2过点p(0，3)作曲线yx4的切线，求此切线的方程答案：1.(1)1；(2)2；(3)2xy10.24xy30或4xy30.本节内容是在学习了“导数的概念和导数的几何意义”等知识的基础上学习的，对于我们经常用的几个函数，利用定义求导数的三个步骤进行了研究，由于新教材未涉及极限，于是结合求导数的三个步骤和函数的图象，求出了几个常用函数的导数在设计过程中不断地分析课本以及课本以外的知识，让学生通过动手作图，了解几个常用函数的导数，并能掌握它们的几何意义与物理意义将求过曲线上一点的切线方程和过曲线外一点的切线方程作为学习的重点，使学生学得更加深刻本节课注重以学生为主体，以教师为主导，每一个知识、每一个发现与对题目的分析，总设法由学生自己得出，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作