人教A版选修22 §1.4　生活中的优化问题举例 课件（48张）.pptx

1 4生活中的优化问题举例 第一章导数及其应用 学习目标 1 了解导数在解决实际问题中的作用 2 掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 1 生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为 2 利用导数解决优化问题的实质是 3 解决优化问题的基本思路 知识点生活中的优化问题 上述解决优化问题的过程是一个典型的过程 优化问题 求函数最值 数学建模 1 生活中常见到的收益最高 用料最省等问题就是数学中的最大 最小值问题 2 解决应用问题的关键是建立数学模型 思考辨析判断正误 题型探究 类型一几何中的最值问题 例1请你设计一个包装盒 如图所示 abcd是边长为60cm的正方形硬纸片 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得a 解答 b c d四个点重合于图中的点p 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 点e f在边ab上 是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点 设ae fb x cm 某厂商要求包装盒的容积v cm3 最大 试问x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 令v x 0 得x 0 舍去 或x 20 当00 当20 x 30时 v x 0 v x 在x 20时取极大值也是唯一的极值 故为最大值 解答 引申探究本例条件不变 若要求包装盒的侧面积s cm2 最大 试问x应取何值 ef 60 2x 8x 30 x 8x2 240 x 8 x 15 2 8 152 当x 15时 s侧最大为1800cm2 反思与感悟面积 体积 容积 最大 周长最短 距离最小等实际几何问题 求解时先设出恰当的变量 将待求解最值的问题表示为变量的函数 再按函数求最值的方法求解 最后检验 跟踪训练1 1 已知圆柱的表面积为定值s 当圆柱的容积v最大时 圆柱的高h的值为 解析 答案 解析设圆柱的底面半径为r 则s圆柱底 2 r2 s圆柱侧 2 rh 圆柱的表面积s 2 r2 2 rh 令v r 0 得s 6 r2 h 2r v r 只有一个极值点 当h 2r时圆柱的容积最大 解析 答案 2 将一段长为100cm的铁丝截成两段 一段弯成正方形 一段弯成圆 当正方形与圆形面积之和最小时 圆的周长为 cm 解析设弯成圆的一段铁丝长为x 0 x 100 则另一段长为100 x 设正方形与圆形的面积之和为s 类型二实际生活中的最值问题 解答 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 解答 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 从而f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 令f x 0 得x 4或x 6 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可得 x 4是函数f x 在区间 3 6 内的极大值点 也是最大值点 所以当x 4时 函数f x 取得最大值 且最大值等于42 答当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题 应灵活运用题设条件 建立利润的函数关系 常见的基本等量关系有 1 利润 收入 成本 2 利润 每件产品的利润 销售件数 解答 解当0 x 10时 解答 2 当年产量为多少千件时 该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大 并求出最大值 解当0 x 10时 当x 0 9 时 w 0 当x 9 10 时 w 0 所以当x 9时 w取得最大值 综上可得 当x 9时 w取得最大值38 6 故当年产量为9千件时 该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大 最大利润为38 6万元 解答 命题角度2用料 费用最少问题例3某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距m米 余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩 经测算 一个桥墩的工程费用为256万元 距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 2 x万元 假设桥墩等距离分布 所有桥墩都视为点 且不考虑其他因素 记余下工程的费用为y万元 1 试写出y关于x的函数关系式 解设需新建n个桥墩 解答 2 当m 640米时 需新建多少个桥墩才能使y最小 令f x 0 得 512 所以x 64 当00 f x 在区间 64 640 上为增函数 所以f x 在x 64处取得最小值 反思与感悟 1 用料最省 成本最低问题是日常生活中常见的问题之一 解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象 正确书写函数表达式 准确求导 结合实际作答 2 利用导数的方法解决实际问题 当在定义区间内只有一个点使f x 0时 如果函数在这点有极大 小 值 那么不与端点值比较 也可以知道在这个点取得最大 小 值 解答 跟踪训练3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为6万元 该建筑物每年的能源消耗费用c 单位 万元 与隔热层厚度x 单位 cm 满足关系 c x 0 x 10 若不建隔热层 每年能源消耗费用为8万元 设f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和 1 求k的值及f x 的表达式 解设隔热层厚度为xcm 而建造费用为c1 x 6x 因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 解答 2 隔热层修建多厚时 总费用f x 达到最小 并求最小值 当00 答当隔热层修建5cm厚时 总费用达到最小值为70万元 达标检测 1 2 3 4 5 解析 答案 解析原油温度的瞬时变化率为f x x2 2x x 1 2 1 0 x 5 所以当x 1时 原油温度的瞬时变化率取得最小值 1 c 1d 8 1 2 3 4 5 解析 答案 2 要做一个圆锥形漏斗 其母线长为20cm 要使其体积最大 则高应为 1 2 3 4 5 解析设圆锥的高为hcm 0 h 20 3 某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品 若该商品零售价定为p元 销售量为q件 且销量q与零售价p有如下关系 q 8300 170p p2 则最大毛利润为 毛利润 销售收入 进货支出 a 30元b 60元c 28000元d 23000元 1 2 3 4 5 解析 答案 1 2 3 4 5 解析毛利润为 p 20 q 即f p p 20 8300 170p p2 f p 3p2 300p 11700 3 p 130 p 30 令f p 0 得p 30或p 130 舍去 又p 20 故f p max f p 极大值 故当p 30时 毛利润最大 所以f p max f 30 23000 元 4 要制作一个容积为4m3 高为1m的无盖长方体容器 已知底面造价是每平方米20元 侧面造价是每平方米10元 则该容器的最低总造价是 元 160 当x 2时 ymin 160 元 答案 解析 1 2 3 4 5 5 某商品每件成本9元 售价30元 每星期卖出432件 如果降低价格 销售量可以增加 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x 单位 元 0 x 21 的平方成正比 已知商品单价降低2元时 每星期多卖出24件 1 将一个星期的商品销售利润表示成x的函数 解设商品降价x元 则多卖出的商品件数为kx2 若记商品一个星期的获利为f x 则有f x 30 x 9 432 kx2 21 x 432 kx2 由已知条件 得24 k 22 于是有k 6 所以f x 6x3 126x2 432x 9072 x 0 21 解答 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 2 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大 解由 1 得 f x 18x2 252x 432 18 x 2 x 12 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 1 2 3 4 5 故当x 12时 f x 取得极大值 因为f 0 9072 f 12 11664 所以定价为30 12 18 元 才能使一个星期的商品销售利润最大 1 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之