高中物理竞赛(能量).doc

能 量一、功和功率1.功:(1)恒力的功W=Fscosa.(2)变力的功：用F-s图象的面积求： 如弹簧弹力的做功，W=kx2,根据功能原理，弹簧的弹性势能EP=kx2。（当力随位移线性变化时，可用平均值）说出下面各图象的意义：v-t图象;F-t图象;P-t图象;I-t图象;U-q图象.用功能原理求. 例1：如把长为L的均匀细杆竖起，至少要做多少功（W=mgL）.例2：如图所示，原来弹簧处于原长，在水平外力作用使m2缓慢向右移动s，求拉力的功。（W=m2m2gs+m1m1g(s+x)+ kx2,其中）.其它方法（如微元法）。1. 跳水运动员从高于水面H=10m的跳台自由落下,假设运动员的质量m=60Kg,其体形可等效为一长度L=1.0m、直径d=0.30m的圆柱体,略去空气阻力.运动员入水后,水的等效阻力F作用于圆柱体的下端面,F的量值随入水深度Y变化的函数曲线如图所示,该曲线可近似看作椭圆的一部分,该椭圆的长、短轴分别与坐标轴OY和OF重合.椭圆与Y轴相交于Y=h处,与F轴相交于5mg/2处,为了确保运动员的安全,试计算水池中水的深度h至少等于多少?(水的密度r=1.0103Kg/m3)（答案4.9m） 解:运动员的初末速度都为零,则WG+Wf+WF=0,重力做功WG=mg(H+h)浮力做功WF=阻力做的功相当于曲线与坐标围成的面积 得:m. 2. 足够深的容器内竖直插入两端开口的薄壁管子，容器截面积是管子的5倍，管子的截面积S=100cm2，管子足够长。管内有一活塞，与管内壁之间无摩擦，不漏气。开始时，活塞恰好在水面上。现用外力F把活塞向上移动H。取大气压强P0=105Pa，重力加速度g=10m/s2，水的密度r=103kg/m3。（1）H=8m，求外力F的功。（2）H=10m时，求外力F的功。答案: （1）400J; (2) 600J 解（1）活塞向上移动h，水面下降h/4，内外液面差5h/4。所需要的外力F=DPS=rgSh，与h成正比，则W=F平H=rgSH2=400J。或根据水的重力势能变化，对rSH的水，重心升高DH=5H/8-H/8=H/2.W=DEP=mgDH=rgSH2=400J。 (2)当液面内外差 =10m时，活塞上升H=4h/5=8m，管内的液面不再上升，管内出现真空，F=P0S保持不变，但F仍要克服大气压强做功，W=（H-H）P0S=200J。F共做功W总=W+W=600J。 3. 一只宽度b=1cm,直径d=10cm的橡皮圈(厚度可略去),它的倔强系数K=100N/m.现将它套进直径为D=12cm、长为40cm的圆柱体的正当中位置上.已知橡皮圈与圆柱体表面间的滑动摩擦系数m=0.5,并假设橡皮圈套进圆柱体上后橡皮圈的宽度仍为1cm.求(1)橡皮圈套在圆柱体上时对圆柱体表面产生的压强.(2)将橡皮圈从圆柱体的一端用平行于圆柱面的力平移到圆柱体的正当中位置时,外力克服摩擦力要做多少功.答案：(1) 1.05104Pa；(2)3.95J 解(1)取长为DX的微元：N=2Fsin=FDa,又因F=DLK=(pD-pd)K.所以N=(pD-pd)KDa,因,所以N与Dx的关系为：N=p(D-d)k,压强=1.05104Pa. (2)摩擦力：f=PpDbm,功=3.95J. 问题：什么情况下可取平均？如功的平均力和冲量中的平均力区别？ 2.功率：P=Fvcosa. 如相同质量、相同高度、同时作自由落体运动和平抛运动的物体在任一时刻的重力的瞬时功率相同。4. 进行灌溉可以使用“水枪”.一块半径为12m的农田,每分钟消耗灌溉用水80L,水枪安装在地面上,所用的水是从4m深的井里抽取出来的.设水皆以相同的速率离开喷嘴,为抽水和喷水,水泵的电动机功率至少为多大?(由于喷嘴形状适宜,水能均匀撒在整个面积上) （答案：131W） 解:抽水时所需要的功率P1=mgh/t=809.84/60=52.3W.最节能的喷水仰角为450,射程最大,即初速度最小,有X=v02sin2a/g=v02/g,得v02=117.6.喷水时所需要的功率P2=(80117.6/2)/60=78.4W.水泵的功率P=52.3+78.4=131W. 二、动能定理：1.动能定理：2.非惯性系中的动能定理5. 如图所示,在密度为r1的液体上方悬挂一根长度为L、密度为r2(r2r1)的均匀木棒,棒的下端刚与液面接触,若剪断挂绳,使棒保持竖直开始下沉,试求(1)棒下落的最大速度.(2)棒下端能达到的最大深度.答案：(1)；(2) 解(1)当mg=F(浮力)时,下沉h=r2L/r1时速度最大, (2)下沉xL,则Lsr2gx=Lsr1g+Lsr1g(x-L), 下沉的最大深度为。 6. 如图所示,轻质长绳水平地跨在相距为2L的两个小定滑轮A、B上,质量为m的物体悬挂在绳上O点,O点与A、B两滑轮的距离相等,在轻绳两端C、D都施加一个竖直向下的恒力F,且F=mg,先托住物体,使绳处于水平拉直状态,由静止释放物体.求物体在下落过程中的最大速度和下落的最大距离. （答案：；4L/3） 解:AOB=1200,加速度a=0,速度最大,物体下落H=Lcot600=L/3,C和D上升h=,有动能定理mgH-2Fh=mv2,得vm=. 当v=0时,H最大,有动能定理：mgH-2Fh=0-,有几何关系得：-则和式得：H=4L/3(H=0舍去). 7. 如图所示,一个小滑块放在半径为R的光滑半球面顶部。（1）当半球面固定时，由于轻微的扰动,小滑块开始向左由静止下滑.求它离开球面时,离半球底面的高度.（2）若从地上抛出一物体，要使物体恰好能停在固定的半球面顶上，则物体应从什么地方抛出？抛出时的速度大小和方向怎样？（3）若半球面以g/4的加速度匀加速向右运动，小物块开始向左由静止下滑. 求它离开球面时,离半球底面的高度.答案：（1）2R/3；(2)离半球面圆心距离为2.55R，速度大小为，方向与水平面成6721；（3）0.81R 解（1）当小物体离开斜面时的支持力N=0，有牛顿定律：mgcos= -(1)根据动能定理：mgR(1-cosq)=mv2-(2)有(1)和(2)得：cosq=2/3,小物体离开球面时,离半球底面的高度h=Rcosq=2R/3. (2)直接求解比较难，只要求出（1）问中物体的落地点位置、速度大小和方向，（1）的逆过程就是（2）的解。因cosq-=2/3,则，物体刚离开斜面时的速度大小，方向与水平面成q角。则运动学知识得，得运动的时间。落地时的速度：。落地时速度方向与水平面的夹角。落地时速度的大小（也可用机械能守恒定律求解）落地点离圆心的距离。抛出点离半球面圆心距离为2.55R，速度大小为，方向与水平面成6721。 （3）当半球面以g/4的加速度匀加速向右运动时,以半球面作为参照系时,要加一个方向向左,大小为mg/4的惯性力,如图所示.当小物体离开斜面时的支持力N=0，有牛顿定律：mgcosq-(mg/4)sinq=-(3)根据动能定理：mgR(1-cosq)+(mg)Rsinq=mv2-(4)（在非惯性系中的动能定理F和s都是对非惯性系的）有(3)和(4)得,q=cos-10.81,h=Rcosq=0.81R. 三、机械能定恒定律8. 半径为R、质量为M、表面光滑的半球放在光滑的水平面上静止.半球顶上有一质量为m的小滑块从静止下滑,如图所示.在a(cosa=0.7)角位置脱离半球,求M/m的值. （答案：2.43） 解:设小滑块脱离半球时相对半球的速度为v(方向一定是沿半球面的切线方向),此时半球相对地的速度为v.由于小滑块刚脱离半球面时对半球的压力为零.半球为惯性系.对m,有牛顿定律:mgcosa= -(1)系统水平方向动量守恒:m(vcosa-v)-Mv=0-(2)系统机械能守恒 mgR(1-cosa)=m(vcosa-v)2+(vsina)2+Mv2-(3)有以上三式得=2.43. 9. 一半径为R的半圆形竖直圆柱面，用轻绳连接的A、B两球，悬挂在圆柱面边缘两则，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆柱面内边缘由静止释放，若不计一切摩擦，求A球沿圆柱面滑至最低点时速度的大小?（答案：0.69） 解:设B的质量为mB，A的质量为mA。 A、B运动过程中，系统机械能守恒,A有静止滑至圆柱最低点时.有： mAgR-mBgh=mAVA2+mBVB2- 其中，mA=2mB- 物体的高度变化不一样：h=R- A滑至最低点时，速度vA水平向左，此时B的速度（速度不一样）VBVAcos45-将代入 解得vA0.69 10. 质量为m的小球被两个劲度系数皆为k的相同轻弹簧固定在一质量为M的盒中,如图所示.盒从盒底离桌面高为h处由静止开始下落,盒在下落过程中,两弹簧均未发生形变,小球相对盒子处于静止.问下落的高度h为多少时,盒与桌面发生完全非弹性碰撞后还能跳起来?（答案：） 解:盒与桌面发生碰撞时小球的动能为mv2=mgh-(1) 在碰撞后小球先是压缩下面弹簧,拉上面弹簧,接着又向上运动,经平衡位置后拉下面的弹簧,压缩上面的弹簧,在平衡位置上方x处速度变为零,根据机械能守恒定律有:mv2=mgx+2(kx2)-(2) 为了使盒子能跳起:2kxMg-(3)有(1)、(2)、(3)式得. 11. 一条长度为L的细绳,一端连着一个小球,另一端固定于O点,如图所示.细绳能承受的最大拉力为小球重量的9倍,在悬点正下方L/2处划一条水平线AA,且水平线上某位置钉一颗钉子,若把小球悬线拉到水平且使细线绷紧,然后释放小球，小球可以绕过钉子在竖直平面内作圆周运动,讨论钉子钉在什么位置可满足上述要求. （答案：） 解:有mg(R+L)=mv2,所以T=mg+=3mg+mgL/R,R增大,T减小。R最大能通过最高点(AP最小)时：物体能通过最高点的条件有机械能守恒有几何关系，得R最小时，小球在最低点绳子不断 (AP最大)绳子不断的条件：T-mg= 有机械能守恒定律：mgR+mgL=mv22,得。所以AP的范围为。 12. 图中正方形 ABCD 是水平放置的固定梁的横截面，AB 是水平的，截面的边长都是 l 。一根长为 2l 的柔软的轻细绳，一端固定在 A 点，另一端系一质量为 m 的小球，初始时，手持小球，将绳拉直，绕过 B 点使小球处于 C 点。现给小球一竖直向下的初速度 v0，使小球与 CB 边无接触地向下运动，当分别取下列两值时，小球将打到梁上的何处？(设绳的伸长量可不计而且是非弹性的)（1）。（2）.图1答案：（1）与D点的距离0.35L；（2）打到梁上的 C 解：绳刚被拉直,此时绳与竖直方向的夹角为 a30 。在这过程中，小球下落的距离绳刚拉直时小球的速度v满足：在细绳拉紧的瞬间，小球沿细绳方向的分速度为零，与绳垂直的分速度保持不变，M点开始以初速度在竖直平面内作圆周运动，圆周的半径为 2l，圆心位于A点，如图1所示。得当小球沿圆周运动到图中的 N 点时，其速度为 v，细绳与水平方向的夹角为 q ，由能量关系有用 FT 表示绳对小球的拉力，有 （1）设在 时（见图2），绳开始松弛，FT0，小球的速度 。得，。即在 q145 时，绳开始松弛，作斜抛运动。小球在时刻 t 的坐标分别为和图2可得小球的轨道方程：，AD 面的横坐标为，可得小球通过 AD 所在竖直平面的纵坐标y0，由此可见小球将在 D 点上方越过，然后打到 DC 边上，DC 边的纵坐标为，得小球与 DC 边撞击点的横坐标x1.75 l撞击点与D点的距离为 （2）设在 时，绳松弛，FT0，小球的速度 ，以此代替q1、u1，得和以 代入，这表示小球到达圆周的最高点处时，绳中张力为0，随后绳子被拉紧，球速增大，绳中的拉力不断增加，拉力和重力沿绳子的分力之和等于小球沿圆周运动所需的向心力，小球将绕以 D 点为圆心，l 为半径的圆周打到梁上的 C 点。13. 如图所示,一列长为L的游览车可看成是由许多节长度很短的相同车厢连接而成的,从高处的平台上沿斜面由静止开始滑下,全部进入水平轨道后,又遇到一个半径为R(L2pR)的竖直圆形轨道.欲使游览车能安全驶过竖直圆形轨道,平台距水平轨道的高度h至少多高?(游览车无动力,不计各处的阻力)答案： 解：列车运动到水平地面上时的速度，设览车的质量为M，单位长度质量l,取水平地面为重力势能参考面。当整个圆轨道上都分布有列车车厢时，列车的速度达到最小值。这部分车厢的重力势能为有机械能守恒定律得列车的安全行驶应不脱离竖直轨道（其速度大小不是）设列车在最高点的相互拉力为T，在移动Dx（Dx0）的过程中，对后部分列车研究，列车的动能不变，其势能增加了，有功能原理，得现再对最高点的这一节车厢研究，其长度为DL，质量为Dm=DLl，两边列车对它拉力的合力因，所以对最高点这一节车厢，有牛顿定律（临界状态）,得。把代入机械能守恒方程中得即平台距水平轨道的高度应不小于 四功能原理和能量守恒定律1.做功过程是能量转化过程，功是能量转化的量度2.滑动摩擦力的功如质量为M的木块放在光滑的水平地面上,质量为m的子弹以速度为v0沿水平方向射入木块,并最后留在木块中,与木块一起运动的速度为v.子弹射入木块的过程中木块的位移为L,子弹进入木块的深度为s,木块对子弹的阻力大小恒为f。对木块动能定理：，对子弹动能定理： ，对系统，能量守恒：（或二式相加）.3.功能原理：非保守力做功等于物体的机械能增量。14. 直升机顶部螺旋浆向下推空气而获得向上的升力,若直升机的质量为M,单位时间内被推的空气质量为m,被推空气获得向下的速度大小为v,直升机恰好静止在空中,则直升机发动机的功率为( ) （答案：D）A.mgv B.mv2/4 C.Mgv D.Mgv/2 15. 一质量为m的物体,在距地面h高处以g/3的加速度由静止开始竖直下落到地面,则物体在下落过程中,下列说法哪些是正确的( )A.物体的重力势能减少了mgh/3 B.物体的机械能减少了mgh/3C.物体的动能增力了2mgh/3 D.重力做功为mgh（答案：D）16. 装煤机以每秒10吨的煤装入以5m/s在水平面上匀速前进的车厢内,装入车厢前的煤速度可看作为零.要使车厢保持原来速度匀速前进,则需要增加的功率为 5 W,每秒钟转化成煤的动能为 J. （答案：2.510；1.25105） 解:在Dt时间内有m=104t的煤速度有0增加到5m/s,所需要的力F=mDv/Dt=mv2=5104N,所以功率P=Fv=2.5105W(注意:1s内煤增加的动能与功率不相等,因部分要转化内能).每秒钟转化成煤的动能E=mv2=1.25105 17. 一辆质量为M的汽车,汽车上载有质量为m的木箱,汽车和木箱一起以速度v沿平直公路匀速行驶,汽车发现前方有故障而紧急刹车(车轮不转动),汽车往前滑行距离X(未知)后停下,木箱在车上相对车滑行距离L停下.已知木箱与车地板间的滑动摩擦系数为m1,车轮与地面间滑动摩擦系数为m2.求X. 答案： 解: 18. 如图的示,小球沿倾角q=300的粗糙斜面的顶端B由静止开始滑下,与置于斜面底端A处的木板碰撞后反向弹回,碰撞过程无机械能损失.已知第一次与木板碰撞后能弹回的距离为s1=4m,sAB=6m.则小球所能通过的总路程为多少? （答案：30m） 解:从开始到第一次弹回的过程中,根据能量守恒定律得mg(sAB-s1)sin300=mmg(sAB+s1)cos300-(1)在整个过程中,根据能量守恒定律得mgsABsin300=mmgs总cos300-(2)有(1)/(2)得=30m. 五.人造卫星、天体的运动1.引力势：质量为m的物体离地心的距离为r，设地球的质量为M，则物体的引力势能（严格上是地球和物体共有的，且取无限远引力势能为零） 证：把物体移到无限远，引力做功等于引力势能的减小量，只要求出引力的功，可求出引力势能。把物体移动过程分为无限段过程，每一过程Dr都为无限小.在r1到r2的过程中引力做功同理在r2到r3的过程中引力做功在rn-1到rn的过程中引力做功所以在r1到rn的过程中引力做功无限远rn（引力势能为零），适用于均匀球体或质点间。注意：上述方法也是求的常用方法（积分）。2.宇宙速度： 第一宇宙速度（环绕速度），得卫星的速度，当r=R时，卫星绕地球表面作圆周运动的速度=7.9103m/s. 第二宇宙速度（脱离速度），由机械能守恒：，卫星脱离地球的条件是当r时，v0,得v2至少为， =11.2103m/s. 第三宇宙速度（逃逸速度），已知M日=21030kg,r日地=1.51011m.飞船脱离太阳条件（太阳和飞船组成的系统)：，即脱离地球后相对太阳的速度至少=42.2103m/s.注意：发射卫星时发射的方向、地点和时间的选择？ 地球绕太阳公转的线速度v=2pr日地/T=29.8103m/s. 脱离地球时，相对地球的速度v3=v3-v=12.4103m/s. 即在地球上发射的速度v3=?时，才能使脱离地球时相对地球的速度v3=12.4103m/s。由机械能守恒定律（地球和飞船组成的系统)：，因 ，所以16.7103m/s3.天体运动的轨道与能量从理论上可以证明行星的运动（或卫星绕地球的运动）轨道为三种圆锥曲线，即椭圆（包括圆）、抛物线和双曲线。它们的运动轨道跟哪些因素有关呢？ （1）.椭圆轨道 椭圆方程为，长半轴为a、短半轴为b，半焦距，质量为M的太阳在其焦点S（c，0）处，如图所示。质量为m的行星绕太阳做椭圆轨道运动时，行星和太阳构成的引力势能和动能之和（以下简称能量）为：。 设行星在椭圆轨道顶点时的速率分别为v1和v2，行星绕太阳运动时机械能守恒，即，要求出行星的能量，必须先求出行星在椭圆轨道的顶点1处的速率v1（即v1用M、G、a、c来表示）。v1可用二种方法求解，一种是根据机械能守恒定律和开普勒第二定律求得，另一种是根据机械能守恒定律和曲线运动向心力公式求得。 我们先根据机械能守恒定律和开普勒第二定律求解。 根据机械能守恒定律：。 根据开普勒第二定律：。由上述二式解得：，。则行星做椭圆轨道运动时具有的能量： 。 我们再根据机械能守恒定律和曲线运动向心力公式求解。 根据机械能守恒定律：。 设椭圆顶点1和2的曲率半径分别为r1和r2。则r1=r2。 在顶点1，由曲线运动向心力公式：。 在顶点2，由曲线运动向心力公式：。由上述四式解得：，。（根据椭圆的半焦距c、长半轴a、短半轴b的关系：，可得椭圆顶点1和2的曲率半径，顶点3和4的曲率半径，证略）则行星做椭圆轨道运动时具有的能量：。即行星的能量小于零时，行星做椭圆轨道运动。（2）抛物线轨道抛物线的方程为，质量为M的太阳在其焦点S（）处，如图所示。设行星在抛物线轨道顶点时的速率为v0,质量为m的行星绕太阳做抛物线轨道运动时机械能守恒定律，行星的能量等于在抛物线轨道顶点时的能量，其能量为：。 根据机械能守恒定律和开普勒第二定律求行星在抛物线轨道顶点时的速率v0比较复杂。下面我们根据等效类比法先求抛物线顶点的曲率半径，再根据曲线运动向心力公式求出行星在抛物线轨道顶点时的速率v0。 因平抛运动的轨迹为抛物线，如图所示。设平抛运动的初速度为v0，则平抛运动的水平位移为,竖直高度为，平抛运动的轨迹为。比较和，当，或时平抛运动的轨迹与抛物线的轨迹相同。 根据机械能守恒定律，物体在任一点（点P）时的速度大小：。把和代入上式得 在P点物体的法向加速度：。 所以抛物线曲率半径与x关系：。 抛物线顶点（x=0）的曲率半径：。 也可直接求顶点的曲率半径：。 根据曲线运动向心力公式，行星在抛物线轨道顶点时的速率由： ，得到。 行星做抛物线轨道运动时具有的能量：。 即行星的能量等于零时，行星做抛物线轨道运动。（3）.双曲线轨道双曲线的方程为，实半轴为a、虚半轴为b，半焦距，渐近线方程为，质量为M的太阳在其焦点S（c，0）处，如图所示。设行星在双曲线轨道顶点时的速率为v0,质量为m的行星绕太阳做双曲线轨道运动时机械能守恒定律，行星的能量等于在双曲线轨道顶点时的能量，其能量为：。 设行星远离太阳时的速率为v，因，又因DOED与DOSG全等，故。 根据开普勒第二定律：。 根据机械能守恒定律：。 双曲线的半焦距c、实半轴a、虚半轴b的关系：。 由上述三式解得行星在双曲线轨道顶点时的速率：。 得行星做双曲线轨道运动时具有的能量： 。 即行星的能量大于零时，行星做双曲线轨道运动。19. 以的速度沿地面发射一颗人造卫星，不计空气阻力，求卫星的周期。（已知地球的半径R=6.4106m）（答案：1.42104s） 解：卫星绕地球运动一般是随圆运动，有时把它看作是圆周运动。有机械能守恒：-有开普勒定律:vR=vr-(不是近点和远点不成立)解得：r1=R(近地点)；r2=3R(远地点)。有, 问题k=?, 解法1：有，卫星的周期=1.42104s. 解法2：利用卫星沿地球表面作圆周运动的周期T=2pR/v1=5.0103s,有T2/T2=R3/8R3,得卫星的周期= 1.42104s. 20. 宇宙飞船绕地球中心作圆周运动,飞船质量为m,轨道半径为2R(R为地球的半径,已知地球的质量为M),现将飞船转移到另一半径为4R新的圆轨道上,如图所示.求(1)转移时所需要的能量.(2)如果转移是沿半椭圆双切线轨道进行的(如图中ACB),则飞船在两条轨道交接处A和B的速度变化DvA、DvB各是多大?答案：(1) ；(2) 解:在原圆轨道上，在r=4R的圆轨道上A到B的随圆轨道运动时,有开普勒定律vA2R=vB4R,有机械能守恒定律: 解得（如图所示）。注意：在轨道的改变时需要能量（或需要力作用），机械能和角动量都不守恒。 (1)有能量守恒，转移时所需要的能量： (2)因A点和B点的速度改变是瞬时的,所以vA和vA同方向,vB和vB同方向,所以: 21. 已知飞船的质量m=1.2104kg,离月球表面高度h=105m绕月球作匀速圆周运动,为使飞船降落到月球上.用二种方法:第一种向飞船运动的方向喷气;第二种向背离圆心方向喷气.喷出气体相对于飞船的速度v=104m/s,月球表面上的重力加速度为g月=1.7m/s2,月球的半径R=1.7106m.计算上述二种情况下需要的燃烧质量.（答案：28.8kg；115kg） 解:飞船作圆周运动时: m/s 第一种情况,当飞船向运动方向喷气时,喷气后飞船的速度为v1,使飞船在新的椭圆轨道上运动(刚喷气时的位置是新椭圆的远点),落到月球上时的速度为v2(落到月球时的飞船的运动方向必须与月球表面相切,降落点是新椭圆的近点).有开普勒定律:v2R=v1(R+h)-有机械能守恒:-和MG=R2g月-得:则飞船的速度减小了Dv=v-v1=24m/s,设喷射气体质量为Dm,取飞船原来运动作为参照物,有动量守恒:Dm(v-Dv)-(m-Dm)Dv=0,得Dm=mDv/v=28.8kg. 第二种情况,当飞船向背离圆心方向喷气时,喷气后飞船的速度为v1,使飞船在新的椭圆轨道上运动(刚喷气时的位置不是新椭圆的远点,如图所示),落到月球上时的速度为v2(落到月球时的飞船的运动方向必须与月球表面相切,降落点是新椭圆的近点).有开普勒定律:v2R=v1cosa(R+h)=v(R+h),v2=(R+h)v/R-(1)有机械能守恒:或写成：有上述三式得:Dv=hv/R=97m/s,设喷射气体质量为Dm,取飞船原来运动作为参照物.有动量守恒(沿半径方向):Dm(v-Dv)-(m-Dm)Dv=0,同理得Dm=mDv/v=115kg. 22. 从地球表面与竖直方向成a角发射一质量为m的导弹，初速度，M为地球的质量，R为地球的半径，忽略空气的阻力和地球自转的影响，求导弹上升的最大高度。（答案：Rcosa） 解：因导弹的发射速度较大,它的运动不是普通的斜抛运动,导弹的运动可等效于椭圆轨道的运动.取在发射点和离地球最远点两点，有开普勒定律：v0Rsina=vr-有机械能守恒：-有二式解得r1=R(1+cosa); r2=R(1-cosa).r1是对应椭圆的远地点，r2是对应椭圆的近地点，故r=R(1+cosa)。导弹上升的最大高度h=r-R=Rcosa. 23. （1）用第一宇宙速度从地面垂直向上发射一枚导弹,并在离发射点不远处返回地面,试求该导弹在空中运行的时间.已知地面上的重力加速度取g=10m/s2,地球的半径R=6400km.（2）两个质点质量分别为m1和m2，相距为d，开始时两质点处于相对静止，m2固定，如果它们之间只有万有引力作用，无初速释放m1，问经多少时间它们相碰？答案：（1）4112s；（2） 解:面积速度为，周期短半轴两边运动的时间之比。（1）因导弹的发射速度较大,它的运动不是匀变速度运动,导弹的运动可等效于椭圆轨道的运动.由-. 导弹运动的轨迹如图,由机械能守恒-由、得远点r=2R,因在远点卫星的速率接近零v=0，由vr=rv，所以近点r=0。即a=R,根据对称性，所以椭圆轨道焦点(地心)与椭圆顶点重合,导弹运动的面积速度为v1rsina=bv1,所以导弹运行的周期-导弹由A至B,矢量r扫过的面积-导弹由A至B运行的时间（不是T）t=,代入数据得t=4112s. （2）提示：长轴为d的椭圆运动的周期于直径为d的圆周运动的周期相等。请同学们自己求解（答案） 24. 在发射导弹时要考虑g的变化。要使导弹从A地发射到B地，AB两地的直线距离为x。已知地球的半径为R，质量为M，引力常量为G。求导弹的最小发射速度。（答案：） 解：在地面附近抛一物体，要使它的水平位移为x，初速度v0到少多大？，当a=45时，v0最小，。 导弹在地球引力范围内运动，它的能量小于零，它的运动轨道为椭圆，椭圆的一个焦点在地心，根据对称性，椭圆的长轴与如图所示的AB垂直，由能量：可知，要发射的速度最小，即要求椭圆的半长轴a最短，由椭圆知识可知，椭圆的两个焦点到椭圆上任一点的距离之和为2a，因OB=R是一定的，当椭圆另一个焦点在如图的P点时a最小，由几何关系可知：根据机械能守恒定律得：得发射导弹的最小速度为：。六.综合题例25. 如图所示,有一个质量为M的光滑大环,用轻绳悬挂在O点,有两个质量均为m的小环同时从大环的顶点向两侧由静止开始下滑(1)当两小环同时到达最低点时(设两小环正好没有接触)OA绳子的张力.(2)当m至少多大时,使OA细线在某时刻的拉力能等于零.答案：(1) (M+10m)g；(2) 3M/2 解:(1)(M+10m)g. (2)mv2=mg(R-Rsina)和N+mgsina=,得N=2mg-3mgsina,水平方向环平衡,竖直方向Fy=2Nsina=4mgsina-6mgsin2a,当sina=时Fy最大,且大于Mg,得m=3M/2. 26. 如图所示,光滑圆柱被固定在水平平台上,质量为m1=0.2Kg的小球用轻绳跨过圆柱与小球m2相连.开始时让m1放在平台上,两边绳竖直,两球从静止开始运动,m1上升、m2下降,当m1上升到圆柱的最高点时,m1对圆柱顶的压力恰好为零.求:(1)m2的质量.(2)当m1上升到圆柱的最高点时m1加速度的大小.答案：（1）0.24kg；(2)1.14g 解（1）m1上升2R时，m2下降（R+pR/2），有机械能守恒：-m1上升到圆柱的最高点时,-解得：Kg。 (2)m1在竖直方向的加速度a1=g,在水平方向的加速度，有牛顿定律。最高点时m1加速度的大小. 27. 长为2b的轻绳,两端各系一质量为m的小球,中央系一质量为M的小球,三个小球均静止于光滑的水平桌面上,绳处于拉直状态.今给小球M以一冲击,使它获得水平速度v,v的方向与绳垂直(如图所示).求在两端的小球发生互碰前的瞬间绳子的张力.（答案：） 解:对M：2T=MaM-对m : -（或以M为参照物）有关系得-有能量守恒-有动量守恒-有得，代入 28. 玩具火箭在发射的时候利用火箭内的火药爆炸射出箭身,而使火箭头向前飞行.假设火箭放在地面上,在竖直向上发射的时候,箭头能上升的高度h=16m.现改为另一种方式发射:首先让火箭沿半径为R=5m的半圆形轨道滑行,如图所示,在到达轨道的最低点A时,再开动发动机发射火箭.试问,按这种方式发射的火箭能上升多高?已知箭身的质量为9m,火箭头的质量为m,不计摩擦和空气阻力.（答案：34.2m） 解:当火箭竖直向上发射时,火药爆炸时放出的能量都转化成火箭头的动能,所以火药爆炸时放出的能量E=mgh,火箭到达轨道的最低点A时的速度为v=10m/s,设火箭在A点发射后,火箭头的速度为v1,箭身的速度为v2,有动量守恒:9mv2+mv1=10mv-(1) 有能量守恒-(2)把数据代入(1)、(2)得90v22-1800v2+8680=0,得v2=8m/s,v1=28m/s, v2=12m/s,v1=-8m/s,不合题意,舍去.得箭头能离A点能上升的高度=39.2m,箭头能上升的高度h=H-h=34.2m. 问题:爆炸后箭头的机械能大于火药爆炸时放出的能量E=mgh,为这能量哪来的? 29. 一长为L的细轻杆的上端固定一个小球.杆立在很不光滑的水平硬地面上,处于不稳定平衡状态,杆经轻碰后开始下倒.求小球与地面碰撞时,其速度的竖直和水平分量的大小.（答案：,） 解:在水平地面的反作用力不为零时,小球沿圆周运动.对地面的反作用力变为零的瞬间,如图所示。有牛顿第二定律可得:mgcosa=,再有机械能守恒mv02=mgL(1-cosa),得cosa=2/3,v02=2gL/3,此后小球沿抛物线运动,速度的水平分量大小不变。速度的水平分量大小为:.当小球着地的瞬间有:v2=vx2+vy2=2gL,得着地时小球的速度的竖直分量大小为. 30. 如图所示,一个金属螺母处在一个光滑易碎（即螺母在拱面上只能滑动，不能碰撞）、半径为R的半球形圆拱上.圆拱顶部有个不大的孔,螺母可以进入其中.已知此螺母所处位置的半径和竖直方向夹角为a,问为了使螺母掉到孔里,需要给螺母的最小切向速度是多少? （答案：） 解:设螺母一直沿拱面滑动的最小初速度为v，则mv2=mgR(1-cosa)-mgcosa= -，得螺母的初始位置cosa=2/3, 当cosa2/3,螺母沿着拱面滑动掉到孔里,需要给螺母的最小切向速度是. 当cosam2,两球达到同一高度时,m1的高长变化不大,可以认为球m1仍处于原来的高度,且它的速度为水平方向.设两球刚好能达同一高度,这时两球的速度都为v,且都为水平.以两球组成的系统为研究对象,在水平方向合外力趋于零,水平方向动量守恒,有动量守恒得:m2vmin=(m1+m2)v-(1) 有机械能守恒有: 有(1)、(2)得m/s. 即当v02.42m/s时,两球将能达同一高度. 32. 从赤道上的 C 点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点 N，要求发射所用的能量最少。假定地球是一质量均匀分布的半径为 R 的球体，R6400 km。已知质量为 m 的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量 E 与椭圆半长轴 a 的关系为.式中 M 为地球质量，G 为引力常量。(1)假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向（用速度方向与地心O到发射点 C 的连线之间的夹角表示）。(2)若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？(3)试导出 。答案：(1)7.2 km/s，与 OC 的夹角67.5; (2) 7.4 km/s; (3)略 解：（1）物体和地球构成的系统的能量 要求发射的能量最少，