苏教版必修2 1.3.1 空间几何体的表面积 学案.docx

1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积学习目标1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.3.培养空间想象能力和思维能力知识点一直棱柱和正棱锥的表面积思考1直棱柱和正棱锥的特征是什么？答案直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱；正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面中心思考2下图是直六棱柱的展开图，你能根据展开图归纳出直棱柱的侧面面积公式吗？答案s直棱柱侧面积ch，即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积思考3下图是正四棱锥的展开图，设底面周长为c，你能根据展开图，归纳出正n棱锥的侧面面积公式吗？答案s正棱锥侧面积nahch，即正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半思考4如何求多面体的表面积？答案一般地，我们可以把多面体展开成平面图形，求出展开图中各个小多边形的面积，然后相加即为多面体的表面积梳理(1)直棱柱的侧面积侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱直棱柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c，宽等于直棱柱的高h，因此，直棱柱的侧面积是s直棱柱侧ch.底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱(2)正棱锥的侧面积如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥正棱锥的侧棱长都相等棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积如果正棱锥的底面周长为c，斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)为h，它的侧面积是s正棱锥侧ch.知识点二正棱台的表面积思考1什么是正棱台？正棱台的侧面展开图是怎样的图形？答案正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形思考2如图是正四棱台的展开图，设下底面周长为c，上底面周长为c，你能根据展开图，归纳出正n棱台的侧面面积公式吗？答案s正棱台侧面积n(aa)h(cc)h.思考3正棱台的侧面积除了用展开图的方法求外，你还有其他方法吗？棱台的表面积如何求？答案可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出棱台的表面积等于侧面积与底面积的和梳理正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台与正棱锥的侧面积公式类似，若设正棱台的上、下底面的周长分别为c，c，斜高为h，则其侧面积是s正棱台侧(cc)h.知识点三圆柱、圆锥、圆台的表面积思考1圆柱oo及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案s侧2rl，s表2r(rl)思考2圆锥so及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案底面周长是2r，利用扇形面积公式得s侧2rlrl，s表r2rlr(rl)思考3圆台oo及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案由题图知，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，则，解得xl.s扇环s大扇形s小扇形(xl)2rx2r(rr)xrl(rr)l，所以s圆台侧(rr)l，s圆台表(r2rlrlr2)梳理图形表面积公式旋转体圆柱底面积：s底2r2，侧面积：s侧2rl，表面积：s2r(rl)圆锥底面积：s底r2，侧面积：s侧rl，表面积：sr(rl)圆台上底面面积：s上底r2，下底面面积：s下底r2，侧面积：s侧(rlrl)，表面积：s(r2r2rlrl)1多面体的表面积等于各个面的面积之和()2斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中c是底面周长，l为侧棱长()3圆柱的一个底面积为s，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2s.()类型一求多面体的侧面积和表面积例1正四棱台两底面边长分别为a和b(a0)用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求a的取值范围解两个相同的直棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，有四种情况：四棱柱有一种，边长为5a的边重合在一起，表面积为24a228.三棱柱有三种，边长为4a的边重合在一起，表面积为24a232；边长为3a的边重合在一起，表面积为24a236；两个相同的直三棱柱竖直放在一起，表面积为12a248.最小的是一个四棱柱，即24a22812a248，即a20，0a.a的取值范围为.1将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是_答案2解析底面圆半径为1，高为1，侧面积s2rh2112.2已知一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32，则母线长为_答案4解析l，s侧(rr)l2l232，l4.3若正三棱锥的斜高是高的倍，则该正三棱锥的侧面积是底面积的_倍答案2解析，.设底面边长为a，正三棱锥的侧面积为3ha，正三棱锥的底面积为3oma，则正三棱锥的侧面积与底面积的比为hom2，故该正三棱锥的侧面积是底面积的2倍4已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，表面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为_ cm2.答案112或72解析设底面边长、侧棱长分别为a cm，l cm，则或s侧447112(cm2)或s侧46372 (cm2)5以圆柱的上底中心为顶点，下底为底作圆锥，假设圆柱的侧面积为6，圆锥的侧面积为5，求圆柱的底面半径解如图所示，设圆柱底面圆的半径为r，高为h，则圆锥的底面半径为r，高为h，设圆锥母线长为l，则有l.依题意，得由，得r，即圆柱的底面半径为.1多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积2有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解3s圆柱表2r(rl)；s圆锥表r(rl)；s圆台表(r2rlrlr2)一、填空题1正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的侧面积为_答案a2解析如图，在正三棱锥sabc中，过点s作so平面abc于点o，则o为abc的中心，连结ao并延长与bc相交于点m，连结sm，sm即为斜高h，在rtsmo中，ha，所以侧面积s3aaa2.2若圆柱的底面面积为s，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是_答案4s解析设圆柱的底面半径为r，则r2s，r.又侧面展开图是正方形，所以圆柱的侧面积s侧24s.3正六棱台的上，下两底面的边长分别是1 cm,2 cm，高是1 cm，则它的侧面积为_ cm2.答案解析正六棱台的侧面是6个全等的等腰梯形，上底长为1 cm，下底长为2 cm，高为正六棱台的斜高又边长为1 cm的正六边形的中心到各边的距离是 cm，边长为2 cm的正六边形的中心到各边的距离是 cm，则梯形的高为(cm)，所以正六棱台的侧面积为6(12)(cm2)4若圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为83，则该圆台的表面积为_考点柱体、锥体、台体的表面积题点台体的表面积答案216解析设圆台上底与下底的半径分别为r，r，由勾股定理可得rr5.rr38，r3，r8.s侧(rr)l(38)13143，则表面积为1433282216.5底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是_答案160解析设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l1，l2，所以l15252，l9252.又ll4a2，即1525292524a2，所以a8，所以s侧面积ch485160.6一个长方体的长，宽，高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为_答案3解析由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面积之和，即2r32r2，所以r3.7.如图，在正方体abcd a1b1c1d1中，三棱锥d1ab1c的表面积与正方体的表面积的比为_答案1解析设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥d1ab1c为正四面体，每个面都是边长为的正三角形，其表面积为42，所以三棱锥d1ab1c的表面积与正方体的表面积的比为1.8若一个圆台的轴截面如图所示，则其侧面积等于_答案3解析圆台的母线长为，s圆台侧(12)3.9一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为_答案21解析s圆柱222aa2，s圆锥2aa2，s圆柱s圆锥21.10如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积为_答案(2)a2解析由已知可得正方体的边长为a，新几何体的表面积为s表2aa42(2)a2.11.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为_答案36解析易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，1，s表222422()21236.该几何体的表面积为36.二、解答题12.如图所示，abc的三边长分别是ac3，bc4，ab5，作cdab，垂足为点d.以ab所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积解在abc中，由ac3，bc4，ab5知，ac2bc2ab2，所以acbc.所以cd，记为r，那么abc以ab所在直线为轴旋转所得的旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r，母线长分别是ac3，bc4，所以s表面积r(acbc)(34).所以，所求旋转体的表面积是.13一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其中有一个高为x cm的内接圆柱(1)求圆锥的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值解(1)圆锥的母线长为2(cm)，所以圆锥的侧面积s224 (cm2)(2)画出轴截面如图所示设圆柱的半径为r.由题意知，所以r，所以圆柱的侧面积s2rx(x26x)，所以当x3 cm时，s最大6 cm2.三、探究与拓展14已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则该圆台较小底面的半径为_答案7