人教A版选修21 2.3.1　双曲线及其标准方程 学案.doc

2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程1.了解双曲线的定义及焦距的概念.2.了解双曲线的几何图形、标准方程.(重点)3.能利用双曲线的定义和待定系数法去求双曲线的标准方程.(重点)基础初探教材整理1双曲线的定义阅读教材p52p53“探究”以上部分，完成下列问题.把平面内与两个定点f1，f2距离的_等于非零常数(小于|f1f2|)的点的轨迹叫做双曲线，这_叫做双曲线的焦点，_叫做双曲线的焦距.【答案】差的绝对值两个定点两焦点间的距离判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同.()(2)点a(1,0)，b(1,0)，若|ac|bc|2，则点c的轨迹是双曲线.()(3)在双曲线标准方程1中，a0，b0，且ab.()【答案】(1)(2)(3)教材整理2双曲线的标准方程阅读教材p53p54“例1”以上部分，完成下列问题.焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程_(a0，b0)_(a0，b0)焦点f1_，f2_f1_，f2_a，b，c的关系c2_【答案】11(c,0)(c,0)(0，c)(0，c)a2b2若方程1表示双曲线，则实数m满足()a.m1且m3b.m1c.m或md.3m1【解析】因为方程1表示双曲线，而m210恒成立，所以m230，解得m或m，故选c.【答案】c小组合作型双曲线定义的应用已知双曲线1的左、右焦点分别是f1、f2，若双曲线上一点p使得f1pf260，求f1pf2的面积.【精彩点拨】在f1pf2中，分析三角形中已有的条件，结合定义和余弦定理可得|f1f2|、|pf1|、|pf2|三者的关系.【自主解答】由1，得a3，b4，c5.由定义和余弦定理得|pf1|pf2|6，|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos 60，所以102(|pf1|pf2|)2|pf1|pf2|，所以|pf1|pf2|64，sf1pf2|pf1|pf2|sin f1pf26416.求双曲线中的焦点三角形pf1f2面积的方法(1)根据双曲线的定义求出|pf1|pf2|2a；利用余弦定理表示出|pf1|、|pf2|、|f1f2|之间满足的关系式；通过配方，整体的思想求出|pf1|pf2|的值；利用公式spf1f2|pf1|pf2|sinf1pf2求得面积.(2)利用公式spf1f2|f1f2|yp|求得面积.再练一题1.已知定点a的坐标为(1,4)，点f是双曲线1的左焦点，点p是双曲线右支上的动点，则|pf|pa|的最小值为_.【解析】由双曲线的方程可知a2，设右焦点为f1，则f1(4,0).|pf|pf1|2a4，即|pf|pf1|4，所以|pf|pa|pf1|pa|4|af1|4，当且仅当a，p，f1三点共线时取等号，此时|af1|5，所以|pf|pa|af1|49，即|pf|pa|的最小值为9.【答案】9求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)过点p，q且焦点在坐标轴上；(2)c，经过点(5,2)，焦点在x轴上.【精彩点拨】(1)所求双曲线的焦点位置不确定，怎样求解？(2)已知半焦距时，如何设双曲线的标准方程？【自主解答】(1)设双曲线方程为1(mn0).p，q两点在双曲线上，解得所求双曲线的方程为1.(2)焦点在x轴上，c，设所求双曲线的方程为1(06).双曲线过点(5,2)，1，解得5或30(舍去)，所求双曲线的方程为y21.1.求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程；(2)求出a2，b2的值.2.当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为ax2by21(ab50，所以界线是以a，b为焦点的双曲线的右支的一部分.如图所示，以ab所在直线为x轴，线段ab的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0).因为a25，c25，所以b2c2a23 750.故双曲线的标准方程为1.注意到点c的坐标为(25，60)，故y的最大值为60，此时x35.故界线的曲线方程为1(25x35,0y60).利用双曲线解决实际问题的基本步骤(1)建立适当的坐标系.(2)求出双曲线的标准方程.(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题.注意：解答与双曲线有关的应用问题时，除要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用；实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.再练一题3.如图232，b地在a地的正东方向4 km处，c地在b地的北偏东30方向2 km处，河流的沿岸pq(曲线)上任意一点到a地的距离比到b地的距离远2 km.现要在河岸pq上选一处m建码头，向b，c两地转运货物.经测算，修建公路的费用是a万元/km，求修建这两条公路的总费用最低是多少.图232【解】以ab所在的直线为x轴，ab的中点为原点建立平面直角坐标系(图略).根据题意，得c(3，).因为|ma|mb|2|ab|，所以点m的轨迹是双曲线x21的右支.总费用为a|mb|a|mc|a(|mb|mc|).因为|mb|mc|ma|2|mc|ac|222，当m，a，c三点共线时，等号成立，所以总费用最低为(22)a万元.1.已知m，nr，则“mn0”是“方程1表示双曲线”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件【解析】方程1表示双曲线，必有mn0；当mn0时，方程1表示双曲线，所以“mn0”是“方程1表示双曲线”的充要条件.【答案】c2.以椭圆1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是()a.y21b.y21c.1d.1【解析】椭圆1的焦点为f1(0,1)，f2(0，1)，长轴的端点a1(0,2)，a2(0，2)，所以对于所求双曲线a1，c2，b23，焦点在y轴上，双曲线的方程为y21.【答案】b3.设m是常数，若点f(0,5)是双曲线1的一个焦点，则m_. 【导学号：37792067】【解析】由点f(0,5)可知该双曲线1的焦点落在y轴上，所以m0，且m952，解得m16.【答案】164.求满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，4)和；(2)与双曲线1有公共焦点，且过点(