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第三讲 柯西不等式与排序不等式 二一般形式的柯西不等式 自主预习学案 上节课研究的二维形式柯西不等式 大家对柯西不等式有了初步认识 那能否将二维柯西不等式推广到一般形式的柯西不等式吗 推广后又能解决什么问题呢 三维形式的柯西不等式1 设a1 a2 a3 b1 b2 b3为实数 不等式 叫做三维形式的柯西不等式 一般形式的柯西不等式2 设a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn是实数 则 当且仅当bi 0 i 1 2 n 或存在一个数k 使得ai kbi i 1 2 n 时等号成立 此不等式称为一般形式的柯西不等式 a1b1 a2b2 a3b3 2 解析 不可以 因为若出现bi 0 i 1 2 3 的情况 则分式不成立了 但是 可以利用分式的形式来形象地记忆 互动探究学案 命题方向1 利用一般形式的柯西不等式证明不等式 方法技巧 利用柯西不等式证明不等式时常用的技巧 1 构造符合柯西不等式的形式及条件 可以巧拆常数 2 构造符合柯西不等式的形式及条件 可以重新安排各项的次序 3 构造符合柯西不等式的形式及条件 可以改变式子的结构 从而达到使用柯西不等式的目的 4 构造符合柯西不等式的形式及条件 可以添项 命题方向2 利用柯西不等式求最值 方法技巧 利用柯西不等式求最值的方法技巧利用柯西不等式可求某些含有约束条件的多变量函数的最值问题 其关键是对原目标函数通过巧变结构 巧拆常数 巧换位置 巧添项等技巧以保证柯西不等式的结构特征且出现常数结果 同时要注意等号成立的条件 解析 因为f x x a x b c x a x b c a b c 当且仅当 a x b时 等号成立 又a 0 b 0 所以 a b a b 所以f x 的最小值为a b c 又已知f x 的最小值为4 所以a b c 4 辨析 由基本不等式得到u ax by cz 5是正确的 但这只是能说明u的最大值有小于或等于5两种可能 并不能得出u的最大值一定是5 事实上 如果u的最大值为5 错解中的三个不等式应同时取 于是a x b y c z 从而得出a2 b2 c2 x2 y2 z2 即t 5 这
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