人教A版选修21 空间向量的数量积 课件（30张）.pptx

高中数学人教a版选修2 1第三章 四川省成都市新都一中肖宏 no 1middleschool mylove 在空间中 某物体在50n的力的作用下位移了10米 如果力所做的功为250j 那么该力的方向与物体位移的方向所成的夹角怎么计算 no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 预学1 向量的夹角和数量积已知两个非零向量a b 在空间任取一点o 作 a b 则 aob叫作向量a与b的夹角 记作 a b cos叫作a b的数量积 记为a b 即a b a b cos 议一议 数量积的运算结果为什么是实数 这个实数的符号是由什么决定的 no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 解析 空间向量数量积的运算结果是实数 而不是向量 它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积 运算符 其中a b中的圆点是数量积的运算符号 不能省略也不能用 代替 数量积的符号由两向量夹角的余弦值决定 no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 预学2 向量数量积的运算律 1 a b a b 2 交换律 a b b a 3 分配律 a b c a b a c 预学3 向量夹角的范围规定0 且 若 则称a与b互相垂直 记作a b 议一议 空间向量的夹角与向量的位置关系如何 no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 解析 1 当 0时 向量a b方向相同 2 当 时 向量a b方向相反 3 当 时 向量a b no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 预学4 向量数量积的几何意义 性质及其应用 1 设e为单位向量 向量a 在e方向上的正射影是a e cos 2 a b a b 0 用于判定垂直问题 3 a 2 a a 用于求模运算问题 4 cos 用于求角运算问题 no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 想一想 已知 a 3 b 2 a b 3 则 no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 解析 因为 a 3 b 2 a b 3 所以cos 又 0 所以 答案 1 空间向量数量积的应用已知空间四面体oabc中 aob boc aoc 且oa ob oc m n分别是oa bc的中点 g是mn的中点 求证 og bc 方法指导 要证og bc 也就是证明 由题意可知可用 分别表示 然后进行数量积的运算即可 no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 解析 如图 连接on 设 aob boc aoc a b c 则 a b c a b c c b no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 a b c c b a c a b b c b2 c2 b c a 2 cos a 2 cos a 2 a 2 0 即og bc no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 变式训练1如图所示 在空间四边形pabc中 pa 平面abc ac bc 若a在pb pc上的射影分别是e f 求证 ef pb no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 解析 由已知可得 0 0 0 0 又 共面 所以存在实数x y 使得 x y 所以 x y x y 0 0 0 所以ef pb no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 2 空间向量的夹角例2 已知s abc是棱长为1的正四面体 m n分别是ab sc的中点 求异面直线sm与bn所成角的余弦值 方法指导 先把 分别用 表示出来 再根据数量积公式求解余弦值 no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 解析 设 a b c 则a b b c a c a b c b a c a b b c b2 1 cos 异面直线所成角的范围是 0 异面直线sm与bn所成角的余弦值为 no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 变式训练2如图 已知正四棱锥s abcd的侧棱长与底面边长都相等 e是sb的中点 则ae与sd所成角的余弦值为 a b c d no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 解析 设 a b c 侧棱长为m 依题意 可得a b 0 a c b c m2cos60 a2 b2 c2 m2 又 b c 设ae与sd所成的角为 则有cos cos no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 所以ae与sd所成角的余弦值为 答案 b no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 3 空间距离或向量的模例3 如图 在平行四边形abcd中 ab ac 1 acd 90 将它沿对角线ac折起 使ab与cd成60 角 求b d两点间的距离 方法指导 利用向量的模就是线段的长度进行转化计算 即利用 2 2进行向量的数量积运算 求出两点间的距离 no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 解析 acd 90 0 同理 0 ab与cd成60 角 60 或120 又 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 cos 2或 即b d两点之间的距离为2或 no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 变式训练3如图 在三棱柱abc a1b1c1中 ab ac 1 aa1 2 m是bc的中点 a1ab a1ac bac 60 求a1m no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 解析 设 a b c 则a b 1 1 cos60 b c a c 1 2 cos60 1 因为 c 所以a1m 1 用向量法证明垂直关系的步骤 1 把几何问题转化为向量问题 2 用已知向量表示所证向量 3 结合数量积公式和运算律证数量积为0 4 将向量问题回归到几何问题 no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 2 1 由于向量夹角的取值范围为 0 而异面直线所成的角的取值范围为 0 因此利用向量数量积求异面直线所成的角时 要注意角度之间的关系 当 0 时 它们相等 而当 时 它们互补 no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 2 利用数量积求异面直线所成的角 的余弦值的步骤 取向量 求向量夹角的余弦值cos 定结果cos cos 3 用空间向量求两点间距离的一般步骤 1 将此线段用向量表示 2 用其他已知夹角和模的向量表示此向量 3 利用a a a 2 通过向量运算求 a 4 a 即为所求距离 no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 如图 已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a 点e f g分别是ab ad dc的中点 则下列向量的数量积等于a2的是 a 2 b 2 c 2 d 2 no 1middleschool mylove 第2课时空间向量的数量积 解析 2 a2 故a错 2 a2 故b错 2 a2 故d错 只有c正确 答案 c