人教A版选修45 数学归纳法、用数学归纳法证明不等式举例 课件（44张）.ppt

第四讲 用数学归纳法证明不等式 课程目标 双基目标 1 了解数学归纳法原理及其使用范围和基本步骤 会用数学归纳法证明一些简单问题 2 会用数学归纳法证明某些特定的不等式 证明贝努利不等式 1 x n 1 nx x 1 x 0 n为大于1的正整数 了解当n为实数时贝努利不等式也成立 情感目标 1 经历探索新事物 发现新规律的过程 从而提高观察问题 分析问题的能力 形成良好的思维习惯 2 通过数学归纳法的学习 开阔学生视野 培养崇尚数学的理性精神 内容简述 本讲内容分为两部分 第一部分介绍了数学归纳法原理 并举例说明了如何应用数学归纳法证明一些简单的数学问题 第二部分介绍了用数学归纳法证明不等式 数学归纳法也是证明不等式的一种基本方法 学法探究 通过学习数学归纳法及其应用 认识归纳法及其归纳思想在数学中的重要性 体会到数学的严谨性与逻辑性 养成科学严谨的数学品质 培养自己观察 比较 归纳 猜想 证明等一系列的数学思维方法 一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式 自主预习学案 某班共有30名学生 现已知第一位是男生 第二位是男生 第三位是男生 由此可得 该班的学生都是男生 很显然 结论是错误的 可见 不完全归纳虽然简捷 但结论不一定可靠 那今天我们接触一个结论可靠的归纳方法 数学归纳法 1 数学归纳法一般地 当要证明一个命题对于不小于某正数n0的所有正整数n都成立时 可以用以下两个步骤 1 证明当 时命题成立 2 假设当 时命题成立 证明 时 命题也成立 完成两个步骤后 就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立 这种证明方法称为 n n0 n k n n 且k n0 n k 1 数学归纳法 2 贝努利 bernoulli 不等式如果x是实数 且x 1 x 0 n为大于1的自然数 那么有 1 x n 3 贝努利不等式的一般形式当 是实数 并且满足 1或者 1 当 是实数 并且满足0 1 1 nx 1 x 1 x 思考运用 1 在应用贝努利不等式时应注意什么 提示 不一定 2 数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1 提示 不可以 这两个步骤缺一不可 只完成步骤 而缺少步骤 就作出判断可能得出不正确的结论 因为单靠步骤 无法递推下去 即n取n0以后的数时命题是否正确 我们无法判定 同样 只有步骤 而缺少步骤 时 也可能得出不正确的结论 缺少步骤 这个基础 假设就失去了成立的前提 步骤 也就没有意义了 3 在用数学归纳法证明数学命题时 只有第一步或只有第二步可以吗 为什么 提示 在应用贝努利不等式时要注意应用条件x 1 且x 0 特别关注 1 贝努利不等式成立的两个条件一是x的范围是x 1有x 0 x r 二是n为大于1的自然数 2 贝努利不等式的推广当指数n推广到任意实数 时 x 1时 若01 则 1 x 1 x 当且仅当x 0时等号成立 互动探究学案 命题方向1 数学归纳法证明等式 分析 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题 关键是第二步 要注意当n k 1时 等式两边的式子与n k时等式两边的式子的联系 解析 1 当n 1时 左边 1 1 2 右边 21 1 2 等式成立 2 假设当n k时等式成立 即 k 1 k 2 k k 2k 1 3 2k 1 则当n k 1时 k 2 k 3 k 1 k k 1 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 k 1 k 2 k k 2 2k 1 2k 1 3 2k 1 2 2k 1 2k 1 1 3 2k 1 2k 1 即当n k 1时 等式也成立 由 1 2 可知 对一切n n 等式成立 方法技巧 利用数学归纳法证明恒等式的注意点利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点 一是要准确表达n n0时命题的形式 二是要准确把握由n k到n k 1时 命题结构的变化特点 并且一定要记住 在证明n k 1成立时 必须使用归纳假设 b 解析 根据等式左边的特点 各数是先递增再递减 由于n k 左边 12 22 k 1 2 k2 k 1 2 22 12 n k 1时 左边 12 22 k 1 2 k2 k 1 2 k2 k 1 2 22 12 比较两式 从而等式左边应添加的式子是 k 1 2 k2 命题方向2 数学归纳法证明数列不等式 方法技巧 用数学归纳法证明不等式的技巧 1 证明不等式时 由n k到n k 1时的推证过程与证明等式有所不同 由于不等式中的不等关系 需要我们在证明时 对原式进行 放大 或者 缩小 才能使用到n k时的假设 所以需要认真分析 适当放缩 才能使问题简单化 这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一 2 数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起 如比较法 放缩法 配凑法 分析法和综合法 才能完成证明过程 命题方向3 用数学归纳法证明有关函数中的不等关系 当n 1时 21 2 12 1 当n 2时 22 4 22 当n 3时 23 852 25 当n 6时 26 64 62 36 故猜测当n 5 n n 时 2n n2 下面用数学归纳法加以证明 1 当n 5时 2n n2显然成立 2 假设n k k 5 且k n 时 不等式2n n2成立 方法技巧 利用数学归纳法解决比较大小问题的方法利用数学归纳法比较大小 关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系 猜测出证明的方向 再用数学归纳法证明结论成立 解析 根据题中条件可知 由f k k2 必能推得f k 1 k 1 2 但反之不成立 因为d中f 4 25 42 故可推得k 4时 f k k2 故只有d正确 d 当n 1时 设g x ex x x 0 因为x 0时 g x ex 1 0 所以g x 在 0 上是增函数 故g x g 0 1 0 即ex x x 0 所以 当n 1时 不等式 成立 假设n k k n 时 不等式 成立 即xk0 有h x k 1 ex k 1 xk k 1 k ex xk 0 故h x k 1 ex xk 1 x 0 为增函数 所以h x h 0 k 1 0 即xk 1 k 1 ex 这说明当n k 1时不等式 也成立 根据 可知不等式 对一切n n 都成立 故原不等式对一切n n 都成立 命题方向4 用数学归纳法解决探索型不等式 方法技巧 利用数学归纳法解决探索不等式的思路是 先通过观察 判断 猜想出结论 然后用数学归纳法证明 这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的 特别是在求解存在性或探索性问题时 解析 分析 猜想当t 3时 对一切自然数n使3n n2成立 证明 当n 1时 31 3