人教A版选修45 比较法 课件（38张）.ppt

第二讲 证明不等式的基本方法 课程目标 双基目标 1 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法 比较法 综合法 分析法 反证法 放缩法 2 学会利用不等式的性质证明各种类型的不等式 掌握证明不等式的分析技巧和思维策略 通过学习证明不等式的基本方法 提高代数式的变形能力 逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力 情感目标 培养独立思考和勇于探索的学习精神 养成良好的思考问题的方式 方法和习惯 内容简述 本讲分为三节 一是比较法 二是综合法与分析法 三是反证法与放缩法 学法探究 1 用比较法证明不等式的难点就在于变形这步 如何变形是解题的关键 对于求差比较法的变形 通常是通分 因式分解 配方等 对于求商比较法 通常运用指数函数的性质 2 分析法的优点是利于思考 因为它方向明确 思路自然 易于掌握 而综合法的优点是易于表达 条理清晰 形式简洁 因而证明不等式时 常用分析法寻找解题思路 再用综合法有条理地表达证明过程 有时解题 需一边分析 一边综合 称之分析综合法 或称为两头挤法 两头挤法充分表明分析与综合之间互为前提 互相渗透 互相转化的辩证统一关系 分析的终点是综合的起点 综合的终点又成为进一步分析的起点 4 证明不等式的各种方法中 比较法是最基本 最重要的方法 由于不等式的形式多种多样 所以不等式的证明没有固定的程序和统一的方法 具体问题具体分析是证明不等式的精髓 一般来说 对于较复杂的不等式 直接运用综合法往往不易入手 因此 通常用分析法探索解题途径 再用综合法叙述证明过程 一比较法 自主预习学案 建筑民用住宅时 民用住宅窗户的总面积应小于该住宅的占地面积 而窗户面积与占地面积的比值越大 住宅的采光条件越好 同时增加相等面积 问采光变好了还是变差了 该怎么解决这个问题呢 a b 0 a b 0 a b 0 作差 变形 定号 下结论 a b a b 思考运用 1 作差比较法和作商比较法的实质分别是什么 提示 作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为判断一个数或式子与0的大小关系 作商比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为判断一个数或式子与1的大小关系 2 作商比较法适用于哪些类型的问题 提示 主要适用于积 商 幂 对数 根式等形式的不等式证明 互动探究学案 命题方向1 作差比较法证明不等式 方法技巧 作差比较法证明不等式的技巧 1 作差比较法中 变形具有承上启下的作用 变形的目的在于判断差的符号 而不用考虑差能否化简或值是多少 2 变形所用的方法要具体情况具体分析 可以配方 可以因式分解 可以运用一切有效的恒等变形的方法 3 因式分解是常用的变形手段 为了便于判断差式的符号 常将差式变形为一个常数 或几个因式积的形式 当所得的差式是某字母的二次三项式时 常用判别式法判断符号 b 解析 因为a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 a2b bc2 b2c ab2 c2a ca2 b a2 c2 b2 c a ac c a a c ba bc b2 ac a c a b b c 因为a b c 所以a c 0 a b 0 b c 0 所以 a c a b b c 0 即a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 命题方向2 作商比较法证明不等式 分析 由于不等式两边对数的底数不同 故不宜采用作差比较法 解答本题可采用作商比较法 方法技巧 作商比较法证明不等式的一般步骤 1 作商 将不等式左右两边的式子进行作商 2 变形 化简商式到最简形式 3 判断 判断商与1的大小关系 也就是判断商大于1或小于1或等于1 命题方向3 比较法在综合题目中的应用 分析 大比较大小时 作差法的差式与 n 的取值有关 且大小关系随 n 的变化而变化 解析 1 证明 由已知sn 1 2sn n 5 n 2时 sn 2sn 1 n 4 两式相减 得sn 1 sn 2 sn sn 1 1 即an 1 2an 1从而an 1 1 2 an 1 当n 1时 s2 2s1 1 5 a1 a2 2a1 6 方法技巧 此类题是典型的结论不唯一的比较大小的问题 在数列中 大小问题可能会随 n 变化而变化 往往n 1 2 前几个自然数对应的值与后面n n0的值大小不一样 这就要求在