人教A版选修21 空间向量的平行与垂直 课件（43张）.pptx

高中数学人教a版选修2 1第三章 四川省成都市新都一中肖宏 no 1middleschool mylove 我们已经用向量表示出空间内的点 那么如何用向量表示出空间内的直线和平面呢 为此我们引入直线的方向向量和平面的法向量 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 预学1 直线的方向向量与平面的法向量 1 直线的方向向量 若向量a平行于直线l 则向量a叫作直线l的方向向量 2 平面的法向量 若表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面 则称这个向量垂直于平面 记作a 若a 则向量a叫作平面 的法向量 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 议一议 如何理解直线的方向向量 解析 对直线方向向量的三点说明 1 方向向量的选取 在直线上任取两点p q 可得到直线的一个方向向量 2 方向向量的不唯一性 直线的方向向量不是唯一的 可以分为方向相同和相反两类 它们都是共线向量 解题时 可以选取坐标最简的方向向量 3 非零性 直线的方向向量是非零向量 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 预学2 求平面的法向量的步骤 1 设平面的法向量为n x y z 2 找出 求出 平面内的两个不共线的向量的坐标a a1 b1 c1 b a2 b2 c2 3 根据法向量的定义建立关于x y z的方程组 4 解方程组 取其中的一个解 即得法向量 议一议 如何理解平面的法向量 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 解析 1 平面法向量的选取 平面 的一个法向量垂直于与平面 共面的所有向量 即只需作一条垂直于平面的直线 选取该直线的方向向量 2 平面法向量的不唯一性 一个平面的法向量不是唯一的 一个平面的所有法向量共线 在应用时 可以根据需要进行选取 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 补充内容 向量的 向量积 no 1middleschool mylove 准备知识 行列式符号叫做 二阶行列式 它等价于ad bc 第4课时空间向量的平行与垂直 向量a与b的向量积又叫做向量的 外积 或 叉积 记为a b已知向量a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b a2b3 a3b2 a3b1 a1b3 a1b2 a2b1 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 向量积的性质1 两个向量的向量积仍然是一个向量2 a b a b sin 3 向量a b a b依序构成右手系4 a b a a b b因此 我们通常利用向量积求法向量 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 预学3 用向量的方法证明线线 线面 面面之间的平行与垂直关系设直线l m的方向向量分别为a b 平面 的法向量分别为u v 当l m不重合 不重合且l m不在平面 内时 有 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 设直线l m的方向向量分别为a b 平面 的法向量分别为u v 当l m不重合 不重合且l m不在平面 内时 有 1 l m a b 存在k r 使a kb 2 l m a b a b 0 3 l a u a u 0 4 l a u 存在k r 使a ku 5 u v 存在k r 使u kv 6 u v u v 0 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 议一议 利用空间向量证明线面垂直 主要有哪几种方法 解析 1 证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直 2 证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 预学4 在运用向量方法解决立体几何中的平行问题的注意事项与证明垂直的常用方法平行问题的注意事项 1 向量共线与直线平行的关系 注意重合的情况 2 正确理解向量共面与线面平行的关系 注意直线在平面内的情况 3 平面的法向量平行与平面平行的关系 注意平面重合的情况 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 垂直关系的常用证法 要证线线垂直 可以转化为对应的向量垂直 要证线面垂直 可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直或证明直线的方向向量与平面的法向量共线 要证面面垂直 可以转化为证明两个平面的法向量垂直 在具体解题的过程中要注意将传统法与向量法相结合 以简化解题过程 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 想一想 在空间直角坐标系o xyz中 已知点p 2cosx 1 2cos2x 2 0 和点q cosx 1 3 其中x 0 若直线op与直线oq垂直 则x的值为 解析 由题意得 所以cosx 2cosx 1 2cos2x 2 0 所以2cos2x cosx 0 解得cosx 0或cosx 又x 0 所以x 或x 答案 或 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 1 求平面的法向量例1 如图 已知四边形abcd是直角梯形 abc 90 sa 平面abcd sa ab bc 1 ad 试建立适当的坐标系 求 1 平面abcd与平面sab的一个法向量 2 平面scd的一个法向量 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 方法指导 一般情况下 使用待定系数法求平面的法向量的步骤 设出平面的法向量为n x y z 找出 求出 平面内的两个不共线的向量a a1 b1 c1 b a2 b2 c2 根据法向量的定义建立关于x y z的方程组 解方程组 取其中的一个解 即得法向量 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 解析 以点a为原点 ad ab as所在的直线分别为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的坐标系 则a 0 0 0 b 0 1 0 c 1 1 0 d 0 0 s 0 0 1 1 sa 平面abcd 0 0 1 是平面abcd的一个法向量 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 ad ab ad sa 又ab sa a ad 平面sab 0 0 是平面sab的一个法向量 2 在平面scd中 1 0 1 1 1 设平面scd的法向量为n x y z 则n n no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 所以 得方程组 令y 1 得x 2 z 1 所以平面scd的一个法向量为n 2 1 1 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 2 方法二 由方法一可知 1 0 1 1 1 记平面sdc的法向量为n 则n 1 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 变式训练1 已知正方体abcd a b c d 中 e f g分别是ab bc aa 的中点 求平面efg的一个法向量 解析 不妨设正方体的边长为a 建立空间直角坐标系d xyz 如图 则e a 0 f a 0 g a 0 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 设平面efg的法向量为n x y z 0 0 令x 1 得平面的一个法向量为n 1 1 1 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 2 用向量法证明垂直关系例2 如图 在三棱锥v abc中 vc 底面abc ac bc d是ab的中点 且ac bc a 求证 平面vab 平面vcd 方法指导 通过建立空间直角坐标系 证明直线ab 平面vcd 再根据面面垂直的判定定理判断面面垂直 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 解析 分别以ca cb cv所在的直线为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 则c 0 0 0 a a 0 0 b 0 a 0 d a a 0 设v 0 0 t t 0 则 0 0 t a a 0 a a 0 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 所以 a a 0 0 0 t 0 即ab cv a a 0 a a 0 a2 a2 0 0 即ab cd 又cv cd c 所以ab 平面vcd 又ab 平面vab 所以平面vab 平面vcd no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 变式训练2 已知在正方体abcd a1b1c1d1中 e是bb1的中点 f是cd的中点 求证 平面a1d1f 平面ade 解析 建立如图所示的空间直角坐标系 令aa1 2 则d 0 0 0 d1 0 0 2 a 2 0 0 e 2 2 1 f 0 1 0 2 0 0 0 2 1 0 1 2 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 设n x y z 是平面ade的法向量 则n n 取y 1 则n 0 1 2 n d1f 平面ade 又d1f 平面a1d1f 平面a1d1f 平面ade no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 3 用向量法证明平行关系例3 如图 已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直 ab af 1 m是线段ef的中点 求证 am 平面bde no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 方法指导 可以用空间向量的直角坐标运算 利用共线向量定理 找到平面bde内与am平行的直线 从而证明出线面平行 也可以利用空间向量的直角坐标运算 通过证明直线am的方向向量和平面的法向量垂直证明线面平行 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 解析 法一 以 为正交基底 建立如图空间直角坐标系 则e 0 0 1 g 0 a 0 m 1 1 1 ge am 又ge 平面bde am 平面bde am 平面bde no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 法二 以 为正交基底 建立空间直角坐标系 则e 0 0 1 d 0 0 b 0 0 a 0 m 1 0 1 0 1 1 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 设平面bde的法向量为n a b c n n 令c 1 则a b n 1 n 0 am 平面bde am 平面bde no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 变式训练3 如图所示 平面pad 平面abcd 四边形abcd为正方形 pad是直角三角形 且pa ad 2 e f g分别是线段pa pd cd的中点 求证 pb 平面efg no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 解析 平面pad 平面abcd 且四边形abcd为正方形 ab ad ap两两垂直 以a为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系axyz 则a 0 0 0 b 2 0 0 c 2 2 0 d 0 2 0 p 0 0 2 e 0 0 1 f 0 1 1 g 1 2 0 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 2 0 2 0 1 0 1 1 1 设平面efg的法向量为n x y z 则n n 得 得 令x 1 得n 1 0 1 n 2 0 2 0 pb 平面efg pb 平面efg no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 1 求解平面的法向量时 方程组 有无数多个解 只需给x y z中的一个变量赋予一个值 即可确定平面的一个法向量 赋的值不同 所求平面的法向量就不同 但它们是共线向量 2 证明直线与直线垂直 只需要证明两条直线的方向向量垂直 而直线与平面垂直 平面与平面垂直均可转化为直线与直线垂直证明 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 3 利用向量作为工具证明线面平行问题可以选择的方法较多 可以用共线向量定理 找平面内与已知直线平行的直线 也可以利用共面向量定理证明直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面 还可以通过证明直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明直线与平面平行 no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 如图 在三棱台def abc中 ab 2de 点g h分别为ac bc的中点 求证 bd 平面fgh 解析 因为def abc是三棱台 且ab 2de 所以bc 2ef ac 2df 因为点g h分别是ac bc的中点 所以gh ab no 1middleschool mylove 第4课时空间向量的平行与垂直 因为ab 平面fgh gh 平面fgh 所以ab