苏教版必修2 第二章 2．2　圆与方程 教案.doc

第1课时圆的标准方程伫立在北京天坛祈年殿前，赞美之情油然而生这座完美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形圆三层汉白玉圆形台基、三层蓝琉璃圆顶大殿，与附近的圆形皇穹宇和圜丘交相辉映，好一片圆美世界！问题1：怎样定义圆？提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合问题2：若将圆放在平面直角坐标系中，怎样确定圆的位置？提示：只要确定圆心位置，就可确定圆的位置问题3：在平面直角坐标系中，若以(a，b)为圆心，r为半径，可否确定圆的方程？提示：可以圆的标准方程(1)圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆，定点是圆心，定长是半径(2)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2，其中点(a，b)为圆心，r为半径1圆的标准方程的左边是平方和的形式，右边是平方的形式，要从其结构形式上认识并准确记忆2由圆标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径的大小；反过来，给出圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性3确定圆的标准方程需要三个独立的条件，一般运用待定系数法求a，b，r.例1求下列各圆的标准方程(1)圆心在原点，半径为；(2)圆心为点c(8，3)，且经过点p(5，1)；(3)以p1(1，2)，p2(3，4)为直径的端点思路点拨解答本题可直接求出圆心坐标和半径，代入求解精解详析(1)因圆心为(0，0)，半径为.故圆的标准方程为x2y22.(2)由题意可知，圆的半径rpc 5，所以圆的标准方程为(x8)2(y3)225，(3)由题意可知，p1、p2的中点p的坐标为(1，3)又p1p2 2，所以圆的半径为p1p2.即所求圆的标准方程为(x1)2(y3)25.一点通确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和圆的半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般从确定圆的两个要素入手，直接代入求解1经过点(0，0)，圆心在x轴负半轴上，半径等于5的圆的方程为_解析：根据条件得出圆心为(5，0)，r5，方程为(x5)2y225.答案：(x5)2y2252(辽宁高考)已知圆c经过a(5，1)，b(1，3)两点，圆心在x轴上，则圆c的方程为_解析：设圆心为(a，0)，则，解得a2，故r.圆c的方程为(x2)2y210.答案：(x2)2y210例2已知圆心为c的圆经过点a(0，2)和b(3，3)，且圆心c在直线l：xy50上求圆c的标准方程思路点拨思路一：设出圆的标准方程，由条件列方程组求出a，b，r，从而得出标准方程思路二：利用几何法求解，即圆心为线段ab的垂直平分线与l的交点精解详析法一：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则解得圆的标准方程为(x3)2(y2)225.法二：因为a(0，2)，b(3，3)，所以线段ab的中点坐标为(，)，直线ab的斜率kab，故线段ab的垂直平分线方程是y3(x)，即3xy70.由得所以圆心c的坐标为(3，2)圆的半径rac5，所以圆c的标准方程为(x3)2(y2)225.一点通3一个圆经过点p(2，1)，圆心在直线x2y10上，且半径为3，则圆的方程为_解析：设圆心坐标为(a，b)，则a2b10，即a12b，故设所求圆的方程为(x12b)2(yb)29，又圆过点p(2，1)，所以b1或b，从而所求圆方程为(x1)2(y1)29或9.答案：9或(x1)2(y1)294求圆心在直线5x3y8上，且圆与两坐标轴都相切的圆的方程解：设所求圆方程为(xa)2(yb)2r2.圆与坐标轴相切，故圆心满足ab0或ab0又圆心在直线5x3y8上，5a3b8.解方程组或得或圆心坐标为(4，4)或(1，1)可得半径r4或r1.所求圆方程为(x4)2(y4)216或(x1)2(y1)21.5已知abc的三个顶点的坐标分别是a(5，1)，b(7，3)，c(2，8)，求abc的外接圆的方程解：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，因为a(5，1)，b(7，3)，c(2，8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是解得故所求abc的外接圆方程是(x2)2(y3)225.例3已知两点m(3，8)和n(5，2)(1)求以mn为直径的圆c的方程；(2)试判断p1(2，8)，p2(3，2)，p3(6，7)是在圆上，在圆内，还是在圆外？思路点拨解答本题可先确定圆c的圆心和半径，从而求出圆的标准方程，然后再用定点到圆心c的距离与半径比较来确定点与圆的位置关系精解详析(1)法一：设圆心c(a，b)，半径r，则由c为mn的中点得a4，b5，由两点间的距离公式得rcm .所求圆的方程为(x4)2(y5)210.法二：直径所对的圆周角是直角，对于圆上除m，n外任意一点p(x，y)，有pmpn，即kpmkpn1，1(x3且x5)化简得x2y28x10y310，即(x4)2(y5)210.又m(3，8)，n(5，2)的坐标满足方程，所求圆的方程为(x4)2(y5)210.(2)分别计算点到圆心的距离cp1 ，cp2 ，cp3 ，因此，点p2在圆上，点p1在圆外，点p3在圆内一点通(1)求圆的方程，只需确定圆心和半径就可以写出其标准方程；(2)判定点与圆的位置关系，可以判定该点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，也可将该点坐标代入圆的方程判断，方法如下：点a(x0，y0)到圆心c(a，b)的距离为|ac|.当点a(x0，y0)在圆上时，|ac|r，即(x0a)2(y0b)2r2；当点a(x0，y0)在圆内时，|ac|r，即(x0a)2(y0b)2r，即(x0a)2(y0b)2r2.6若过点p(a，0)不能作圆(x1)2(y2)25的切线，则a的取值范围为_解析：由题意知点p(a，0) 在圆内(a1)245，(a1)21，a22a0，0ar(ma)2(nb)2r2点m 在圆c内|cm|r(ma)2(nb)2r2课下能力提升(二十一)1已知圆的方程是(x2)2(y3)24，则点p(3，2)与圆的位置关系是_解析：圆心a为(2，3)，r2.则|pa| 2，所以p点在圆内答案：在圆内2与圆(x2)2(y3)216同圆心且过点p(1，1)的圆的方程是_解析：由题意，设所求圆的方程为(x2)2(y3)2r2，则有(12)2(13)2r2，即r225，故所求圆的方程为(x2)2(y3)225.答案：(x2)2(y3)2253圆心为c(1，2)，且一条直径的两个端点落在两坐标轴上的圆的方程是_解析：因为直径的两个端点在两坐标轴上，所以该圆一定过原点，所以半径r ，又圆心为c(1，2)，故圆的方程为(x1)2(y2)25.答案：(x1)2(y2)254圆(x2)2y25关于原点p(0，0)对称的圆的方程为_解析：圆(x2)2y25的圆心为(2，0)，其关于原点p(0，0)的对称点为(2，0)，故所求圆的圆心坐标为(2，0)，又两圆的半径相等，故所求圆的方程为(x2)2y25.答案：(x2)2y255(重庆高考)已知圆c1：(x2)2(y3)21，圆c2：(x3)2(y4)29，m，n分别是圆c1，c2上的动点，p为x轴上的动点，则|pm|pn|的最小值为_解析：两圆的圆心均在第一象限，先求|pc1|pc2|的最小值，作点c1关于x轴的对称点c(2，3)，则(|pc1|pc2|)min|cc2|5，所以(|pm|pn|)min5(13)54.答案：546已知直线l与圆c相交于点p(1，0)和点q(0，1)(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆c的半径为1，求圆c的方程解：(1)pq中点m(，)，kpq1，所以圆心所在的直线方程为yx.(2)由条件设圆的方程为：(xa)2(yb)21，由圆过p，q点得：解得或所以圆c的方程为：x2y21或(x1)2(y1)21.7在圆x2y22x6y0内，过点e(0，1)的最长弦和最短弦分别为ac和bd，则四边形abcd的面积为_解析：圆x2y22x6y0可化为标准方程(x1)2(y3)210，则圆心坐标为m(1，3)，半径长为.由圆的几何性质可知，过点e的最长弦ac即为点e所在的直径，则|ac|2.bd是过点e的最短弦，则点e为线段bd的中点，且acbd，e为ac与bd的交点，则由垂径定理可得|bd|222.故四边形abcd的面积为|ac|bd|2210.答案：108有强弱两个喇叭分别在o，a两处，若它们的强度之比为14，且相距60 m，问在什么位置听到两个喇叭传来的声音强度相等(提示：物理学中，声音强度与距离的平方成反比)?解：以oa所在的直线为x轴，以o为原点建立平面直角坐标系，如图所示设在点p(x，y)处听到o，a两处的喇叭声音强度相等，则，即，整理得(x20)2y2402，由此可知：当p在以(20，0)为圆心，以40为半径的圆周上时，听到o，a两处传来的喇叭声音强度相等第2课时圆的一般方程问题1：你能写出圆的标准方程吗？提示：(xa)2(yb)2r2.问题2：上述方程能否化为二元二次方程的形式？提示：可以x2y22ax2bya2b2r20.问题3：若给出方程x2y2dxeyf0，能否判断它表示一个圆？提示：可以，但需满足d2e24f0.问题4：给出二元二次方程ax2bxycy2dxeyf0，若该方程表示圆，可否根据圆的标准方程确定成立的条件？提示：可以圆的一般方程1圆的一般方程的定义当d2e24f0时，称二元二次方程x2y2dxeyf0为圆的一般方程2方程x2y2dxeyf0表示的图形方程条件方程解的情况图形x2y2dxeyf0d2e24f0没有实数解不表示任何图形d2e24f0只有一个实数解表示点(，)d2e24f0无数个表示以(，)为圆心，以为半径的圆1圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点(1)x2、y2的系数相等且不为0；(2)没有xy项2圆的一般方程必须满足d2e24f0的条件，而确定圆的一般方程，往往由待定系数法来确定d，e，f三个未知数例1若x2y2xym0表示一个圆的方程，则m的取值范围是_思路点拨解答本题既可利用二元二次方程表示圆的条件，列不等式来解得m的范围，也可利用配方来解决精解详析法一：由方程x2y2xym0表示一个圆的方程可知d1，e1，fm，d2e24f(1)2124(m)0，得m.法二：原方程可化为(x)2(y)2m，令m0，得m.答案m一点通形如x2y2dxeyf0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义令d2e24f0，成立则表示圆，否则不表示圆，(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2y2dxeyf0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解1直线3xya0过圆x2y22x4y0的圆心，则a的值为_解析：把x2y22x4y0化为(x1)2(y2)25，知圆心是(1，2)，又直线过圆心，故132a0，a1.答案：12下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心及半径(1)x2y2x10；(2)x2y22axa20(a0)；(3)2x22y22ax2ay0(a0)解：(1)d1，e0，f1，d2e24f1430，方程不表示任何图形(2)d2a，e0，fa2，d2e24f4a24a20，方程表示点(a，0)(3)两边同除以2，得x2y2axay0，da，ea，f0， d2e24f2a20，方程表示圆，它的圆心为(，)，半径r |a|.例2已知abc三个顶点的坐标为a(1，3)，b(1，1)，c(3，5)，求这个三角形外接圆的一般方程，并判断点m(1，2)，n(4，5)，q(2，3)与圆的位置关系思路点拨解答本题，可设出圆的一般方程，用待定系数法求解也可根据圆的性质，求圆心、半径，再写方程精解详析(1)法一：设所求圆的方程为x2y2dxeyf0(d2e24f0)此圆过a，b，c三点，解得圆的方程为x2y24x4y20.法二：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则，得解得a2，b2.r210.圆的方程为(x2)2(y2)210.圆的一般式方程为x2y24x4y20.法三：ab的中垂线方程为y1(x0)，bc的中垂线方程为y2(x2)，联立解得圆心坐标为(2，2)设圆半径为r，则r2(12)2(32)210，圆的方程为(x2)2(y2)210.圆的一般式方程为x2y24x4y20.法四：由于kab2，kac，kabkac1，abac，abc是以a为直角的直角三角形，外接圆圆心为bc的中点，即(2，2)，半径r|bc|，圆的方程为(x2)2(y2)210.圆的一般式方程为x2y24x4y20.(2)判断m，n，q与圆的关系：m(1，2)，12224142210，点n(4，5)在圆外q(2，3)，22324243270，点q(2，3)在圆外一点通本题法一二中采用了待定系数法用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数d，e，f.法三则是充分利用了圆的性质：“弦的中垂线过圆心”通过求两条弦的中垂线的交点求出圆心，再求出半径后写出圆的标准方程，再将标准方程化成一般方程圆的标准方程和一般方程有如下关系：(1)由圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，可以直接看出圆心坐标(a，b)和半径r，圆的几何特征明显(2)由圆的一般方程x2y2dxeyf0(d2e24f0)，知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆的代数特征明显(3)3求经过点c(1，1)和d(1，3)，且圆心在x轴上的圆的一般方程解：设圆的方程为x2y2dxeyf0，则圆心(，)，由条件知解得d4，e0，f6，方程为x2y24x60.4若点a(1，1)，b(1，4)，c(4，2)，d(a，1)共圆，求a的值解：设圆的方程为x2y2dxeyf0，将a、b、c三点坐标代入，整理得方程组解得d7，e3，f2.圆的方程为x2y27x3y20.又点d在圆上，a217a320.a0或a7.例3已知动点m到点a(2，0)的距离是它到点b(8，0)的距离的一半(1)求动点m的轨迹方程；(2)若n为线段am的中点，试求点n的轨迹思路点拨(1)由题意，将条件mamb转化为方程即可；(2)设点n坐标，利用中点坐标公式，用n点坐标表示m点坐标再代入m的轨迹方程，即可求出n点轨迹精解详析(1)设动点m(x，y)为轨迹上任意一点，则点m的轨迹就是集合pm|mamb由两点距离公式，点m适合的条件可表示为 ，平方后再整理，得x2y216.可以验证，这就是动点m的轨迹方程(2)设动点n的坐标为(x，y)，m的坐标是(x1，y1)由于a(2，0)，且n为线段am的中点，所以x，y，所以有x12x2，y12y由(1)知，m是圆x2y216上的点，所以点m坐标(x1，y1)满足：xy16将代入整理，得(x1)2y24.所以n的轨迹是以(1，0)为圆心，2为半径的圆一点通求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示动点p的坐标；(2)写出适合条件的点p的集合mp|m(p)；(3)用坐标表示条件m(p)，列出方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)0为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点5已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点a(0，2)的距离都是2，求这条曲线的方程，并说明是什么曲线解：设点m(x，y)是曲线上任意一点，根据题意，有：2.两边平方，得x2(y2)24.因为曲线在x轴上方，y0，所以曲线方程应是x2(y2)24(y0)曲线是圆心为(0，2)，半径为2的圆在x轴上方的部分6已知圆的方程为x2y26x6y140，求过点a(3，5)的直线交圆的弦pq的中点m的轨迹方程解：设所求轨迹上任一点m(x，y)，圆的方程可化为(x3)2(y3)24，圆心c(3，3)cmam，kcmkam1，即1，即x2(y1)225.所求轨迹方程为x2(y1)225(已知圆内的部分)1利用待定系数法求圆的方程时，应尽量注意特殊位置圆的特点，恰当运用平面几何知识，可使解法灵活简便2圆的标准方程和一般方程的特点及相互转化(1)由圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，可以直接求出圆心坐标和半径，圆的几何特征较为明显(2)由圆的一般方程x2y2dxeyf0(d2e24f0)，知道圆是一种特殊的二元二次方程，圆的代数特征很明显(3)圆的标准方程和一般方程的转化3与圆有关的轨迹问题常用的方法(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程(3)相关点法：若动点p(x，y)随着圆上的另一动点q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点p的轨迹方程课下能力提升(二十二)1方程x2y24x2y5m0不表示圆，则m的取值范围是_解析：由42(2)245m0得m1.答案：m12如果圆的方程为x2y2kx2yk20，且圆的面积为，则圆心坐标为_解析：因为圆x2y2kx2yk20的面积为，所以圆的半径为1，而半径r 1，所以k0，此时圆心坐标为(0，1)答案：(0，1)3如果方程x2y2dx2yf0与x轴相切于原点，则d_，f_解析：方程化为(x)2(y1)21f由于圆与x轴相切于原点，所以0，1f1，故d0，f0.答案：004经过圆x22xy20的圆心c，且与直线xy0垂直的直线方程是_解析：将圆方程化为(x1)2y21，故c(1，0)，由题意，所求直线方程为yx1，即xy10.答案：xy105已知点p(1，4)在圆c：x2y22ax4yb0上，点p关于直线xy30的对称点也在圆c上，则a_，b_解析：点p(1，4)在圆c：x2y22ax4yb0上，所以2ab10.点p关于直线xy30的对称点也在圆c上，所以圆心(a，2)在直线xy30上，即a230，解得a1，b1.答案：116等腰三角形abc的底边一个端点b的坐标为(1，3)，顶点a的坐标为(0，6)，求另一个端点c的轨迹方程，并说明轨迹的形状解：由题意得caab，则点c到定点a的距离等于定长ab，所以c的轨迹是圆又ab，c的轨迹方程为x2(y6)282(因为a，c，b不能共线，则需除去点(1，15)和点(1，3)，即c的轨迹形状是以点a(0，6)为圆心，半径为的圆，除去点(1，15)及(1，3)7求经过a(4，2)，b(1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程解：设所求圆的方程为x2y2dxeyf0.圆经过a(4，2)，b(1，3)两点，则有即令中的x0，得y2eyf0，由根与系数的关系得y1y2e.令中的y0，得x2dxf0，由根与系数的关系得x1x2d.由于所求圆在两坐标轴上的四个截距之和为2，从而有x1x2y1y22，即ed2，也就是de20. 由可得到所求圆的方程为x2y22x120.8已知a(2，0)，b(0，2)，m，n是圆x2y2kx2y0上两个不同的点，p是圆上的动点，如果m，n两点关于直线xy10对称(1)求圆心坐标及半径；(2)求pab面积的最大值解：(1)因为m，n两点关于直线xy10对称，故圆心(，1)在直线xy10上，则110，k4，则圆的方程为x2y24x2y0，即(x2)2(y1)25，所以圆心坐标为(2，1)，半径为.(2)直线ab的方程为xy20，则圆心到直线ab的距离为，故圆上的点到ab的最大距离为，又|ab|2，所以pab面积的最大值为s|ab|23.第3课时直线与圆的位置关系“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，他描述了黄昏日落时分塞外特有的景象如果我们把太阳看成是一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片问题1：图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？提示：(1)相离(2)相切(3)相交问题2：结合初中学过的知识，想一想直线与圆有哪些位置关系？提示：相交、相切、相离三种位置关系问题3：怎样判断直线和圆的位置关系？提示：可利用圆心到直线的距离与圆的半径的关系来判断直线与圆的三种位置关系及判定位置关系相离相切相交 图片几何法d与r的大小drdrdr代数法依据方程组解的情况0方程组无解0方程组只有一解0方程组有两个不同解判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何法则较简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法例1已知直线y2x1和圆x2y24，试判断直线和圆的位置关系思路点拨思路一：利用代数法；思路二：利用几何法；思路三：利用直线方程(此题直线过定点(0，1)精解详析法一：5x24x30.判别式4245(3)760.直线与圆相交法二：x2y24，圆心为(0，0)，半径r2.又y2x1，圆心到直线的距离d2r.直线与圆相交法三：由题意知，直线过定点(0，1)，而021214.所以点(0，1)在圆内，从而直线与圆相交一点通直线与圆位置关系的判定方法 1圆x2y21与直线ykx2没有公共点，则实数k的取值范围是_解析：由题意知， 1，解得k.答案：(，)2若直线(1a)xy10与圆x2y22x0相切，则a的值为_解析：将圆方程化为(x1)2y21，知圆心(1，0)，半径为1，故1，解得a1.答案：13已知圆x2y28，定点p(4，0)，问过p点的直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆：(1)相切，(2)相交，(3)相离？解：法一：设过p点的直线的斜率为k(由已知k存在)，则其方程为yk(x4)由消去y，得x2k2(x4)28，即(1k2)x28k2x16k280，(8k2)24(1k2)(16k28)32(1k2)(1)令0，即32(1k2)0，当k1时，直线与圆相切(2)令0，即32(1k2)0，1k1，当1k1时，直线与圆相交(3)令0，即32(1k2)0，k1或k1，当k1或k1时，直线与圆相离法二：设圆心到直线的距离为d，过p点的直线斜率为k，由题意，知斜率k存在，则其方程为yk(x4)，则d.(1)dr，即，k21，k1时，直线与圆相切(2)dr，即，k21，即1k1时，直线与圆相交(3)dr，即，k21，即k1或k1时，直线与圆相离.例2求过点(1，7)且与圆x2y225相切的直线方程思路点拨解答此类题目的关键是先判断点与圆的位置关系，在此基础上选择代数法或几何法求切线方程精解详析法一：由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y7k(x1)，即kxyk70.5.解得k或k.所求切线方程为y7(x1)或y7(x1)，即4x3y250或3x4y250.法二：由题意知切线斜率存在，设切点为(x0，y0)，则解得或切线方程为4x3y250或3x4y250.法三：由题意知切线斜率存在设切线斜率为k，则切线方程为y7k(x1)，即yk(x1)7，由得x2k(x1)7225，即(k21)x2(2k214k)xk214k240.(2k214k)24(k21)(k214k24)0.解得k或k.所求切线方程为y(x1)7或y(x1)7.即4x3y250或3x4y250.一点通(1)求过圆上一点的圆的切线的一般步骤求切点与圆心连线的斜率k；由垂直关系得切线斜率为；代入点斜式方程得切线方程(2)过圆外一点求圆的切线方程的方法几何法：设切线方程为yy0k(xx0)，即kxykx0y00，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圆的方程，得一个关于x的一元二次方程，由0求得k，切线方程即可求出4圆x2y24x0在点p(1，)处的切线方程为_解析：由于点p在圆上，故所求切线斜率为，故所求切线方程为y(x1)，即为xy20.答案：xy205若圆c1：x2y216与圆c2：(x4)2(y3)2r2(r0)在交点处的切线互相垂直，则r_解析：圆c1的圆心为点c1(0，0)，半径r14，圆c2的圆心为点c2(4，3)，半径r2r.所以两圆圆心的距离|c1c2|5.因为交点处的切线互相垂直，所以过交点处的两半径也互相垂直，于是|c1c2|2rr，即5242r2，解得r3.答案36过点m(2，4)向圆(x1)2(y3)21引切线，求其切线方程解：当斜率存在时，设切线方程为y4k(x2)，即kxy42k0，由于直线与圆相切，故1，解得k，所以切线方程为24x7y200；又当切线斜率不存在时，其切线方程为x2.综上，所求切线方程为x2或24x7y200.例3直线l经过点p(5，5)并且与圆c：x2y225相交截得的弦长为4，求l的方程思路点拨设出点斜式方程，利用r、弦心距及弦长的一半构成三角形可求精解详析据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y5k(x5)与圆c相交于a(x1，y1)，b(x2，y2)，法一：联立方程组消去y，得(k21)x210k(1k)x25k(k2)0.10k(1k)24(k21)25k(k2)0，解得k0.又x1x2，x1x2.由斜率公式，得y1y2k(x1x2)|ab| 4.两边平方，整理得2k25k20，解得k或k2符合题意，故直线l的方程为x2y50或2xy50.法二：如图所示，oh是圆心到直线l的距离，oa是圆的半径，ah是弦长ab的一半，在rtaho中，oa5，ahab42.oh.，解得k或k2.直线l的方程为x2y50或2xy50.一点通解决与圆有关的弦长问题时，多采用几何法即在弦心距、弦长一半及半径构成直角三角形中求解7(1)过原点且倾斜角为60的直线被圆x2y24y0所截得的弦长为_(2)k为任意实数，直线(k1)xky10被圆(x1)2(y1)24截得的弦长为_解析：(1)法一：圆的标准方程为x2(y2)24.如图所示由平面几何知识可知，弦长为2.法二：过原点倾斜角为60的直线方程为yx，圆的标准方程为x2(y2)24，圆心(0，2)到直线的距离为d1，又r2，所求弦长为22.(2)圆心到直线的距离d0，即圆心在直线(k1)xky10上直线被圆截得的弦长为2r4.答案：(1)2(2)48已知圆c和y轴相切，圆心在直线x3y0上，且被x轴截得的弦长为4，求圆c的方程解：由圆心在直线x3y0上，可设圆心为(3a，a)由圆c和y轴相切，得r|3a|.由圆被x轴截得的弦长为4，得(2)2a2r29a2.解得a1.当a1时，圆心为(3，1)，半径为3，圆的方程为(x3)2(y1)29.当a1时，圆心为(3，1)，半径为3，圆的方程为(x3)2(y1)29.综上可得，所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.1解直线与圆的位置关系问题一般可从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(圆心到直线的距离)去考虑，其中几何特征解题较为简捷2涉及与切线有关的问题时，常用其几何特征，即圆心到直线的距离等于半径来解决，应注意过圆外一点求圆的切线一定有两条3关于圆中的弦长问题，我们要尽可能地运用圆的几何性质，使解法简捷，运用代数法要合理引入参数，设点而不求点，简化运算，减少运算量课下能力提升(二十三)1已知点m(a，b)在圆o：x2y21外，则直线axby1与圆o的位置关系是_解析：点m(a，b)在圆x2y21外a2b21.圆o(0，0)到直线axby1距离d1圆的半径，故直线与圆相交答案：相交2若p(2，1)为圆c：(x1)2y225的弦ab的中点，则直线ab的方程是_解析：由题意知，pcab，kab1，直线ab的方程为y1x2，即xy30.答案：xy303已知圆c与直线xy0及xy4都相切，圆心在直线xy0上，则圆c的方程为_解析：设圆心为点c(a，a)，由点到直线的距离公式得，解得a1，所以圆c的圆心为(1，1)，半径为，圆的方程为(x1)2(y1)22.答案：(x1)2(y1)224若圆(x3)2(y5)2r2上有且只有两个点到直线4x3y2的距离等于1，则半径r的取值范围是_解析：由已知圆心(3，5)到直线4x3y2的距离d5，又d1rd1，4r6.答案：(4，6)5过点(3，1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短的弦长为_解析：最短的弦为过点(3，1)且与圆心(2，2)和点(3，1)连线的垂直的弦，弦长l22.答案：26求与x轴相切，圆心在直线3xy0上，且被直线yx截得的弦长等于2的圆的方程解：因圆心在直线3xy0上，故可设圆心o(a，3a)又因为圆与x轴相切，所以r|3a|.从而设圆方程为(xa)2(y3a)2(3a)2.由弦心距d|a|，所以(a)2()2(3a)2，解得a1.当a1时，3a3，r3，圆方程为(x1)2(y3)29；当a1时，3a3，r3，圆方程为(x1)2(y3)29.7已知圆c：x2y28y120，直线l：axy2a0.(1)当a为何值时，直线l与圆c相切；(2)当直线l与圆c相交于a、b两点，且ab2时，求直线l的方程解：将圆c：x2y28y120化为标准方程为x2(y4)24，则圆c的圆心为(0，4)，半径为2.(1)若直线l与圆c相切则有2，解得a.(2)过圆心c作cdab，则根据题意和圆的性质，得解得a7或1.直线l的方程为7xy140或xy20.8已知圆c：x2y22x4y30.(1)若圆c的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)在直线l：2x4y30上找一点p(m，n)，过该点作圆c的切线，切点记为m，使得|pm|最小解：(1)将圆c的方程整理，得(x1)2(y2)22.则圆心(1，2)，半径.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为ykx，由直线与圆相切，得，解得k2，从而切线方程为y(2)x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为xya0，由直线与圆相切，得，解得a1或3，从而切线方程为xy10或xy30.(2)因为圆心c(1，2)到直线l的距离d r，所以直线l与圆c相离当|pm|取最小值时，|cp|取得最小值，此时直线cpl，所以直线cp的方程为2xy0.解方程组得点p的坐标为.第4课时圆与圆的位置关系观察下面生活中常见的一些图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？问题1：根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？提示：5种，即内含、内切、相交、外切、相离问题2：能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？提示：可以，利用圆心距与半径的关系可判断圆与圆的位置关系及判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断一元二次方程1几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两圆的位置关系2代数法是把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判法只能判断出不相交、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判定方法一样，能判定出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系3一般情况下，常使用几何法判定两圆的位置关系问题例1已知圆c1：x2y22mx4ym250，与圆c2：x2y22x0.(1)m1时，圆c1与圆c2有什么位置关系？(2)是否存在m使得圆c1与圆c2内含？思路点拨(1)参数m的值已知，求解时可先找出圆心及半径，然后比较两圆的圆心距d与r1r2和|r1r2|的大小关系(2)假设存在m使得圆c1与圆c2内含，则圆心距d|r1r2|.精解详析(1)m1，两圆的方程分别可化为：c1：(x1)2(y2)29.c2：(x