人教A版选修21 曲线与方程 学案 (1).doc

2.1 曲线与方程曲线与方程提出问题在平面直角坐标系中：问题1：直线x5上的点到y轴的距离都等于5，对吗？提示：对问题2：到y轴的距离都等于5的点都在直线x5上，对吗？提示：不对，还可能在直线x5上问题3：到y轴的距离都等于5的点的轨迹是什么？提示：直线x5.导入新知曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线c(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：曲线上点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线化解疑难“纯粹性”与“完备性”(1)定义中的关系说明曲线上任何点的坐标都满足方程，即曲线上所有的点都符合这个条件而无例外，这是轨迹的“纯粹性”(2)定义中的关系说明符合条件的所有点都在曲线上而无遗漏，这是轨迹的“完备性”.求曲线的方程提出问题在平面直角坐标系中，已知a(2,0)，b(2,0)问题1：平面上任一点p(x，y)到a点的距离是多少？提示：|pa|.问题2：平面上到a，b两点距离相等的点(x，y)满足的方程是什么？提示： .问题3：到a，b两点距离相等的点的运动轨迹是什么？提示：轨迹是一条直线导入新知求曲线的方程的步骤化解疑难1步骤(1)中“建立适当的坐标系”指坐标系建立的要恰当、合理如定点作为原点，互相垂直的直线作为坐标轴等合理地建立坐标系，能使运算更方便2步骤(2)可以不必写出，也就是说可以根据等量关系列出方程，即(2)(3)步合并3步骤(5)没有特殊情况可以省略不写如有特殊情况，可以适当的说明，缺少的补上，多余的剔除.曲线的方程与方程的曲线的概念例1分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点a(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy5之间的关系；(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程xy0之间的关系解(1)过点a(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|2的解；但以方程|x|2的解为坐标的点不一定都在过点a(2,0)且平行于y轴的直线上因此，|x|2不是过点a(2,0)平行于y轴的直线的方程(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy5；但以方程xy5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy5.(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足xy0；反之，以方程xy0的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上因此，第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是xy0.类题通法这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则活学活用命题“曲线c上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是真命题，下列命题中正确的是()a方程f(x，y)0的曲线是cb方程f(x，y)0的曲线不一定是ccf(x，y)0是曲线c的方程d以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线c上解析：选b“曲线c上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”，但“以方程f(x，y)0的解为坐标的点”不一定在曲线c上，故a，c，d都不正确，b正确.曲线与方程的关系例2下列方程分别表示什么曲线：(1)(xy1)0；(2)4x2y26x3y0.解(1)由方程(xy1)0，可得或x10，即xy10(x1)或x1.故方程表示一条射线xy10(x1)和一条直线x1.(2)方程可化为(2xy)(2xy3)0，即2xy0或2xy30.故原方程表示的是两条直线2xy0和2xy30.类题通法判断方程表示什么曲线，常需对方程进行变形，如配方、因式分解或利用符号法则、基本常识转化为熟悉的形式，然后根据化简后的特点判断特别注意，方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线另外，当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想活学活用已知方程x2(y1)210.(1)判断点p(1，2)，q(，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点m在此方程表示的曲线上，求m的值解：(1)12(21)210，()2(31)2610，点p在方程x2(y1)210表示的曲线上，点q不在方程x2(y1)210表示的曲线上(2)x，ym适合方程x2(y1)210，即2(m1)210，解得m2或m.所以m的值为2或.求曲线的方程例3过点p(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于a点，l2交y轴于b点，求线段ab的中点m的轨迹方程解法一：设点m的坐标为(x，y)m为线段ab的中点a点坐标是(2x,0)，b点坐标是(0,2y)l1，l2均过点p(2,4)，且l1l2，papb，当x1时，kpakpb1.而kpa，kpb，1，整理，得x2y50(x1)当x1时，a，b点的坐标分别为(2,0)，(0,4)，线段ab的中点坐标是(1,2)，它满足方程x2y50，综上所述，点m的轨迹方程是x2y50.法二：设点m的坐标为(x，y)，则a，b两点坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接pm.l1l2，2|pm|ab|.而|pm|，|ab|，2.化简，得x2y50，即为所求轨迹方程类题通法直接法、定义法、代入法是求轨迹方程(或轨迹)的常用方法，对于此类问题，在解题过程中，最容易出错的环节是求轨迹方程中自变量的取值范围，一定要慎重分析和高度重视活学活用已知圆c：x2(y3)29，过原点作圆c的弦op，求op的中点q的轨迹方程解：法一(直接法)：如图所示，连接qc，因为q是op的中点，所以oqc90.设q(x，y)，由题意，得|oq|2|qc|2|oc|2，即x2y2x2(y3)29，所以op的中点q的轨迹方程为x22(去掉原点)法二：(定义法)：如图所示，因为q是op的中点，所以oqc90，则q在以oc为直径的圆上故q点的轨迹方程为x22(去掉原点)法三：(代入法)：设p(x1，y1)，q(x，y)，由题意得即又因为x(y13)29，所以4x2429，即x22(去掉原点)典例(12分)在rtabc中，斜边长是定长2a(a0)，求直角顶点c的轨迹方程解题流程 活学活用已知线段ab在直线y2上移动，|ab|4，o为坐标原点求aob的外心m的轨迹方程解：点a，b在直线y2上，且|ab|4，故设a(x1，2)，b(x14，2)，直线oa的垂直平分线为y1，直线ab的垂直平分线为xx12.联立消去x1，得x24(y2)故m的轨迹方程为x24(y2)随堂即时演练1方程x2xyx表示的曲线是()a一个点b一条直线c两条直线 d一个点和一条直线解析：选c由x2xyx，得x(xy1)0，即x0或xy10.由此知方程x2xyx表示两条直线2已知两定点a(2,0)，b(1,0)，如果动点p满足|pa|2|pb|，则点p的轨迹所围成的图形的面积等于()a b4c8 d9解析：选b设p(x，y)，由|pa|2|pb|，得2，整理得x24xy20，即(x2)2y24.所以点p的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，则其面积是224.3若点p(2，3)在曲线x2ky21上，则实数k_.解析：将点p(2，3)代入曲线方程得49k1，k.答案：4设a为圆(x1)2y21上的动点，pa是圆的切线，且|pa|1，则动点p的轨迹方程是_解析：圆(x1)2y21的圆心为点b(1,0)，半径r1，则|pb|2|pa|2r2.|pb|22.p的轨迹方程为(x1)2y22.答案：(x1)2y225一个动点到直线x8的距离是它到点a(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程解：设动点坐标为(x，y)，则动点到直线x8的距离为|x8|，到点a的距离为.由已知，得|x8|2，化简得3x24y248.所以动点的轨迹方程为3x24y248.课时达标检测一、选择题1已知直线l：xy30及曲线c：(x3)2(y2)22，则点m(2,1)()a在直线l上，但不在曲线c上b在直线l上，也在曲线c上c不在直线l上，也不在曲线c上d不在直线l上，但在曲线c上解析：选b将点m(2,1)的坐标代入方程知ml，mc.2曲线yx2与x2y25的交点坐标是()a(2,1)b(2,1)c(2,1)或(2，5)d(2,1)或(2，5)解析：选b将x24y代入x2y25，得y24y50，得(y5)(y1)0，解得y5或y1，y5不符合题意，舍去，y1，则x24，解得x2.3方程x|y1|0表示的曲线是()解析：选b方程x|y1|0可化为|y1|x0，则x0，因此选b.4已知两点m(2,0)，n(2,0)，点p为坐标平面内的动点，满足|0，则动点p(x，y)的轨迹方程为()ay28xby28xcy24x dy24x解析：选b设点p的坐标为(x，y)，则(4,0)，(x2，y)，(x2，y)，|4，|，4(x2)根据已知条件得4 4(2x)整理得y28x.点p的轨迹方程为y28x.5已知a(1,0)，b(2,4)，abc的面积为10，则动点c的轨迹方程是()a4x3y160或4x3y160b4x3y160或4x3y240c4x3y160或4x3y240d4x3y160或4x3y240解析：选b由两点式，得直线ab的方程是，即4x3y40，线段ab的长度|ab|5.设点c的坐标为(x，y)，则510，即4x3y160或4x3y240.二、填空题6方程x22y24x8y120表示的图形为_解析：对方程左边配方得(x2)22(y2)20.(x2)20,2(y2)20，解得从而方程表示的图形是一个点(2，2)答案：一个点(2，2)7已知两点m(2,0)，n(2,0)，点p满足pmpn12，则点p的轨迹方程为_解析：设p(x，y)，则pm(2x，y)，pn(2x，y)于是pmpn(2x)(2x)y212，化简得x2y216，此即为所求点p的轨迹方程答案：x2y2168已知点a(0，1)，当点b在曲线y2x21上运动时，线段ab的中点m的轨迹方程是_解析：设m(x，y)，b(x0，y0)，则y02x1.又因为m为ab的中点，所以即将其代入y02x1得，2y12(2x)21，即y4x2.答案：y4x2三、解答题9在平面直角坐标系中，已知动点p(x，y)，pmy轴，垂足为m，点n与点p关于x轴对称，且4，求动点p的轨迹方程解：由已知得m(0，y)，n(x，y)，则(x，2y)，故(x，