人教A版选修22 1.3.3 函数的最大（小）值与导数 课件（61张）.ppt

1 3 3函数的最大 小 值与导数 1 函数y f x 在闭区间 a b 上取得最值的条件如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是 的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 1 求函数y f x 在 内的极值 2 将函数y f x 的 与端点处的 比较 其中 的一个是最大值 的一个是最小值 一条连续不断 a b 各极值 函数值f a f b 最大 最小 1 判一判 正确的打 错误的打 1 函数的最大值一定是函数的极大值 2 开区间上的单调连续函数无最值 3 函数f x 在区间 a b 上的最大值和最小值一定在两个端点处取得 解析 1 错误 最大值也可能是端点的值 2 正确 在开区间上的单调函数无极值且端点处函数值取不到 故无最值 3 错误 函数f x 在 a b 上的最大值和最小值也有可能在区间内部某个极值点处取得 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 设函数f x e2x 3x x r 则f x 填 有 或 无 最值 2 已知函数y x3 x2 x 该函数在区间 0 3 上的最大值是 3 已知函数f x x3 3x2 m x 2 2 f x 的最小值为1 则m 解析 1 因为函数f x e2x 3x x r 所以f x 2e2x 3 0 所以函数f x 在r上单调递增 没有最值 答案 无 2 y 3x2 2x 1 3x 1 x 1 当0 x0 所以当x 1时 y取得极小值 即最小值 为 1 又当x 0时 y 0 当x 3时 y 15 所以该函数在区间 0 3 上的最大值是15 答案 15 3 f x 3x2 6x 3x x 2 令f x 0 解得x 0或x 2 当x 2 2 时 解f x 0 得0 x 2 所以f x 在区间 2 0 上单调递减 在区间 0 2 上单调递增 故f x 在x 0处取得极小值 也即最小值 所以f 0 m 1 因此m 1 答案 1 要点探究 知识点函数的最大 小 值与导数1 对函数最值的三点说明 1 闭区间上的连续函数一定有最值 开区间内的连续函数不一定有最值 若有惟一的极值 则此极值必是函数的最值 2 函数的最大值和最小值是一个整体性概念 3 函数y f x 在 a b 上连续 是函数y f x 在 a b 上有最大值或最小值的充分而非必要条件 2 函数极值与最值的关系 1 函数的极值是函数在某一点附近的局部概念 函数的最大值和最小值是一个整体性概念 2 函数的最大值 最小值是比较整个定义区间的函数值得出的 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的 函数的极值可以有多个 但最值只能有一个 3 极值只能在区间内取得 最值则可以在端点处取得 有极值的未必有最值 有最值的未必有极值 极值有可能成为最值 最值不在端点处取得时必定是极值 知识拓展 开区间 a b 上连续函数y f x 的最值的几种情况图 1 中的连续函数y f x 在开区间 a b 上有最大值无最小值 图 2 中的连续函数y f x 在开区间 a b 上有最小值无最大值 图 3 中的连续函数y f x 在开区间 a b 上既无最大值也无最小值 图 4 中的连续函数y f x 在开区间 a b 上既有最大值也有最小值 微思考 1 函数的极值是否一定是函数的最值 提示 不一定 端点值也可能是函数的最值 2 如果在开区间 a b 上的连续函数y f x 只有一个极值且为极小值 那么函数在开区间 a b 上有最值吗 提示 有最小值 无最大值 若x0是函数的极值点 则函数在 a x0 是减函数 在 x0 b 是增函数 故f x 在x x0处取得最小值 即时练 关于函数f x 2x x2 ex 则下列四个结论 f x 0的解集为 x 0 x 2 f x 的极小值为f 极大值为f f x 没有最小值 也没有最大值 f x 没有最小值 有最大值 其中正确结论为 a b c d 解析 选a 由f x 0可得 2x x2 ex 0 因为ex 0 所以2x x2 0 所以0或x0得 x 所以f x 的单调减区间为 单调增区间为 所以f x 的极大值为f 极小值为f 故 正确 因为x 2和x 0时 f x 0恒成立 所以f x 无最小值 但有最大值f 所以 不正确 正确 故选a 题型示范 类型一求函数的最值 典例1 1 函数f x lnx x在区间 0 e 上的最大值为 a 1 eb 1c ed 0 2 求f x x3 3x2 9x 5在 4 4 上的最大值和最小值 解题探究 1 题 1 中f x 在 0 e 内的符号是什么 2 题 2 中求闭区间上函数最大最小值的关键是什么 探究提示 1 在 0 1 时 f x 0 在 1 e 时 f x 0 2 关键是要找到函数f x 在 4 4 内的极值与端点值 自主解答 1 选b f x 当x 0 1 时 f x 0 当x 1 e 时 f x 0 所以f x 在 0 1 上递增 在 1 e 上递减 故当x 1时 f x 取得极大值 也为最大值 f 1 1 故选b 2 f x 3x2 6x 9 3 x 1 x 3 令f x 0得x1 1 x2 3 所以f x 在x 1处有极大值f 1 10 f x 在x 3处有极小值f 3 22 在区间端点处f 4 71 f 4 15 比较上述结果得 f x 在 4 4 上的最大值为f 1 10 最小值为f 4 71 方法技巧 求函数最值的四个步骤第一步求函数的定义域 第二步求f x 解方程f x 0 第三步列出关于x f x f x 的变化表 第四步求极值 端点值 确定最值 变式训练 已知函数f x x2 cosx x 的值域是 解析 因为f x x 2 cos x x2 cosx f x 所以函数为偶函数 求导函数 可得f x 2x sinx 当x 0 时 f x 0 函数为单调增函数 因为f 0 0 1 1 f 所以函数f x x2 cosx x 0 的值域是 1 所以函数f x x2 cosx x 的值域是 1 答案 1 补偿训练 已知函数f x x3 ax2 b的图象在点p 1 0 处的切线与直线3x y 0平行 1 求常数a b的值 2 求函数f x 在区间 0 m 上的最小值和最大值 m 0 解析 1 f x 3x2 2ax f 1 3 2a 3 所以a 3 f 1 a b 1 0 所以b 2 2 f x x3 3x2 2 f x 3x2 6x 令f x 0得 x1 0 x2 2 当x2时 f x 0 当0 x 2时 f x 0 所以f x 的增区间为 0 和 2 减区间为 0 2 f 0 2 令f x x3 3x2 2 2得x 0或x 3 所以f 0 f 3 2 当03时 f x min f 2 2 f x max f m m3 3m2 2 类型二由函数的最值求参数的值 范围 典例2 1 若函数f x 3x x3在区间 a2 12 a 上有最小值 则实数a的取值范围是 a 1 b 1 4 c 1 2 d 1 2 2 2012 北京高考 已知函数f x ax2 1 a 0 g x x3 bx 若曲线y f x 与曲线y g x 在它们的交点 1 c 处具有公共切线 求a b的值 当a 3 b 9时 若函数f x g x 在区间 k 2 上的最大值为28 求k的取值范围 解题探究 1 题 1 中f x 的极小值是什么 2 题 2 中由在交点 1 c 处具有公切线 可以得出什么条件 探究提示 1 先求f x 的导函数f x 然后可知当x 1时取极小值为 2 2 可以得 1 c 在f x 与g x 上且在此点处两个函数的导数值相等 自主解答 1 选c 由题知f x 3 3x2 令f x 0解得 11 由此得函数在 1 上是减函数 在 1 1 上是增函数 在 1 上是减函数 故函数在x 1处取到极小值 2 判断知此极小值必是区间 a2 12 a 上的最小值 所以a2 12 1 a 解得 1 a 又当x 2时 f 2 2 故有a 2 综上知a 1 2 故选c 2 f x 2ax g x 3x2 b f 1 a 1 c 由已知可得g 1 1 b c 解得a b 3 2a 3 b f x 3x2 1 g x x3 9x h x f x g x x3 3x2 9x 1 h x 3x2 6x 9 令h x 0 得x1 3 x2 1 当x变化时h x 及h x 的变化情况如下表 当x 3时 取极大值28 当x 1时 取极小值 4 而h 2 3 h 3 28 如果h x 在区间 k 2 上的最大值为28 则k 3 方法技巧 1 含参数的函数最值问题的两类情况 1 能根据条件确定出参数 从而化为不含参数函数的最值问题 2 不能求出参数时 常需分类讨论 若参数对导数的正负有影响时 需讨论参数 若极值与函数端点值比较大小不能确定 也需分类讨论以确定最值 2 已知函数最值求参数值 范围 的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值 范围 是求函数最值的逆向思维 一般先求导数 利用导数研究函数的单调性及极值点 探索最值点 根据已知最值列方程 不等式 解决问题 变式训练 已知函数f x 4x2 4ax a2 其中a 0 1 当a 4时 求f x 的单调递增区间 2 若f x 在区间 1 4 上的最小值为8 求a的值 解析 1 当a 4时 f x 4x2 16x 16 定义域为 0 f x 8x 16 令f x 0得02 所以f x 的单调递增区间为 2 2 f x 令f x 0得x 或x f x 在定义域上的单调性为上增 上减 上增 从而需要讨论与1及4的大小 当 4或 1 即a 40或 2 a 0时 f x 在 1 4 上增 故f x 的最小值为f 1 4 4a a2 8 解得a 2 均舍去 当 1且 4 即 10 a 8时 f x 在 1 4 上减 故f x 的最小值为f 4 2 64 16a a2 8 解得a 10或a 6 舍去 当1 4 即 8 a 2时 因为 0 所以不成立 当1 4 即 40 a 10时f x 在上增 在上减 f x 的最小值为f 1 与f 4 中的一个 根据上面的 得均不成立 综上所述a 10 补偿训练 函数f x xa ax 0 a 1 在区间 0 内的最大值点x0的值为 a 1b c 0d a 解题指南 先求出函数f x 的导数 再求出其极值点 因为在区间 0 内是惟一的极值点 也即最大值点 解析 选a 因为f x xa ax 所以f x axa 1 a a xa 1 1 00 当x 1时 f x 0 所以当x 1时 函数f x xa ax 0 a 1 取得极大值 也即在区间 0 内取得最大值 故函数f x xa ax 0 a 1 在区间 0 内的最大值点x0的值为1 故选a 类型三与函数最值有关的不等式的恒成立问题 典例3 1 函数f x x3 3x 1 若对于区间 3 2 上的任意x1 x2都有 f x1 f x2 t 则实数t的最小值是 a 20b 18c 1d 0 2 已知函数f x ekx 2x k为非零常数 当k 1时 求函数f x 的最小值 若f x 1恒成立 求k的值 解题探究 1 题 1 中 f x1 f x2 t等价于什么 2 题 2 中 要求最小值先求什么 探究提示 1 对于区间 3 2 上的任意x1 x2都有 f x1 f x2 t 等价于对于区间 3 2 上的任意x 都有f x max f x min t 利用导数确定函数的单调性 求最值 即可得出结论 2 将k 1代入函数f x 应先求出导函数f x 0的根 确定出函数的极小值即最小值 自主解答 1 选a 对于区间 3 2 上的任意x1 x2都有 f x1 f x2 t 等价于对于区间 3 2 上的任意x 都有f x max f x min t 因为f x x3 3x 1 所以f x 3x2 3 3 x 1 x 1 因为x 3 2 所以函数在 3 1 1 2 上单调递增 在 1 1 上单调递减 所以f x max f 2 f 1 1 f x min f 3 19 所以f x max f x min 20 所以t 20 所以实数t的最小值是20 故选a 2 因为f x ex 2x 所以f x ex 2 令f x 0 得x ln2 所以当xln2时 f x 0 可得f x 在 ln2 上单调递增 所以f x 的最小值为f ln2 2 2ln2 因为f x kekx 2 当k0时 f x f 0 1 所以不符合f x 1恒成立 当k 0时 令f x 0 得当x时 f x 0 可知f x 在 上单调递增 所以f x 的最小值为f 因为f x 1恒成立 即f x min 1恒成立 所以 1 构造函数g x x xlnx x 0 则有g 1 因为g x 1 lnx 1 lnx 所以g x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 所以g x g 1 1 当且仅当x 1时取得最大值 结合g 1 所以 1 所以k 2 延伸探究 若将题 1 中的 任意x1 x2都有 f x1 f x2 t 改为 任意x都有f x t 结果如何 解析 选c 对于区间 3 2 上的任意x都有f x t 等价于对于区间 3 2 上的任意x 都有f x max t 因为f x x3 3x 1 所以f x 3x2 3 3 x 1 x 1 因为x 3 2 所以函数在 3 1 1 2 上单调递增 在 1 1 上单调递减 所以f x max f 2 f 1 1 所以t 1 方法技巧 分离参数求解不等式恒成立问题 变式训练 已知函数f x ax lnx x 1 e 1 若a 1 求f x 的最大值 2 若f x 0恒成立 求a的取值范围 解析 1 若a 1 则f x x lnx f x 因为x 1 e 所以f x 0 所以f x 在 1 e 上为增函数 所以f x max f e e 1 2 要使x 1 e f x 0恒成立 只需x 1 e 时 f x max 0 显然当a 0时 f x ax lnx在 1 e 上单增 所以f x max f e ae 1 0 不合题意 当a 0时 f x 令f x 0 x 当x 时 f x 0 当x 时 f x 0 当 1 即a 1时 f x 在 1 e 上为减函数 所以f x max f 1 a 0 所以a 1 当 e 即 a 0时 f x 在 1 e 上为增函数 所以f x max f e ae 1 0 a 所以a 当1 e 即 1 a 时 f x 在 1 上单增 f x 在 e 上单减 所以f x max f 1 ln 因为1 e 所以0 ln 1 所以f 0成立 由 可得a 补偿训练 设f x lnx g x f x f x 1 求g x 的单调区间和最小值 2 求a的取值范围 使得g a g x 0成立 解题指南 1 先求函数f x 的导数 得到函数g x 的解析式 再利用导数求函数g x 的单调区间和最小值 2 要使g a g x 恒成立 等价于g a g x min 成立 解析 1 由题设知f x g x 所以g x 令g x 0得x 1 当x 0 1 时 g x 0 故 0 1 是g x 的单调递减区间 当x 1 时 g x 0 故 1 是g x 的单调递增区间 因此 x 1是g x 在 0 上的惟一极值点 且为极小值点 从而是最小值点 所以最小值为g 1 1 2 由 1 知g x 的最小值为1 所以 g a g x 对任意x 0成立 g a 1 即lna 1 从而得0 a e 误区警示 解决题 1 时 一定要注意函数自变量的取值范围 拓展类型 与最值有关的不等式的求解或证明问题 备选典例 1 函数f x 的定义域为r f 1 2 对任意x r f x 2 则f x 2x 4的解集为 a 1 1 b 1 c 1 d 2 已知m r 函数f x x2 mx m ex 若函数没有零点 求实数m的取值范围 当m 0时 求证f x x2 x3 解析 1 选b 构造函数g x f x 2x 4 则g 1 f 1 2 4 2 2 0 又因为f x 2 所以g x f x 2 0 可知g x 在r上是增函数 所以f x 2x 4可化为g x 0 即g x g 1 利用单调性可知 x 1 选b 2 由已知条件f x 0无解 即x2 mx m 0无实根 则 m2 4m 0 解得0 m 4 实数m的取值范围是 0 4 当m 0时 f x x2ex 设g x ex x 1 所以g x ex 1 g x g x 随x变化情况如下 由此可知对于x r g x g 0 即ex x 1 0 因此x2 ex x 1 0 整理得 x2ex x3 x2 即f x x3 x2 方法技巧 用导数证明不等式的方法 1 利用导数证明不等