人教A版选修21 3.2立体几何中的向量方法（二） 教案.docx

3.2立体几何中的向量方法（二）教学目标 1.知识与技能能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，能用向量方法判断有关直线和平面垂直关系的立体几何问题2过程与方法通过本节教学使学生理解体会用向量方法解决立体几何问题的思想及过程3情感、态度与价值观引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神教学重点：用向量方法判断有关直线和平面垂直关系的立体几何问题教学难点：用向量语言证明立体几何中有关垂直关系的问题本节课重点和难点在于用向量证明垂直关系，应利用探究式教学以及多媒体帮助分散难点，强化重点线线垂直问题导思立体几何中怎样证明两条直线互相垂直？【答案】(1)证明两直线所成的角为90.(2)证明两直线的方向向量垂直(3)转化为先证直线与平面垂直，再用线面垂直的性质设直线l的方向向量为a(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b(b1，b2，b3)，则lmab0a1b1a2b2a3b30.线面垂直问题导思1如果已知直线的方向向量与平面的法向量，怎样证明直线与平面垂直？【答案】证明直线的方向向量与平面的法向量共线2除上述方法外，还有其他证明方法吗？【答案】可以证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量都垂直设直线l的方向向量是a(a1，b1，c1)，平面的法向量是u(a2，b2，c2)，则lauaku(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kr)面面垂直若平面的法向量u(a1，b1，c1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，则uvuv0a1a2b1b2c1c20.课堂探究利用向量证明线线垂直例1已知正三棱柱abca1b1c1的各棱长都为1，m是底面上bc边的中点，n是侧棱cc1上的点，且cncc1.求证：ab1mn.图3210解法一设a，b，c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|b|c|1，acbc0，ac，(ab)，bc，abc，(ac)(abc)cos 600000.，ab1mn.法二设ab中点为o，作oo1aa1.以o为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系由已知得a(，0,0)，b(，0,0)，c(0，0)，n(0，)，b1(，0,1)，m为bc中点，m(，0)(，)，(1,0,1)，00.，ab1mn.变式训练在棱长为a的正方体oabco1a1b1c1中，e、f分别是ab、bc上的动点，且aebf，求证：a1fc1e.证明以o为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则a1(a,0，a)，c1(0，a，a)设aebfx，e(a，x,0)，f(ax，a,0)(x，a，a)，(a，xa，a)(x，a，a)(a，xa，a)axaxa2a20，即a1fc1e.利用向量证明线面垂直例2在正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是bb1、d1b1的中点，求证：ef平面b1ac.解法一设a，c，b，则()()(abc)ab，(abc)(ab)(b2a2cacb)(|b|2|a|200)0，即efab1，同理，efb1c.又ab1b1cb1，ef平面b1ac.法二设正方体的棱长为2，建系如图则a(2,0,0)，c(0,2,0)，b1(2,2,2)，e(2,2,1)，f(1,1,2)(1,1,2)(2,2,1)(1，1,1)，(2,2,2)(2,0,0)(0,2,2)，(0,2,0)(2,0,0)(2,2,0)而(1，1,1)(0,2,2)(1)0(1)2120，(1，1,1)(2,2,0)2200，efab1，efac.又ab1aca，ef平面b1ac.变式训练如图3211，长方体abcda1b1c1d1中，abad1，aa12，点p为dd1的中点，求证：直线pb1平面pac.图3211证明依题设，以d为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系dxyz，则c(1,0,0)，p(0,0,1)，a(0,1,0)，b1(1,1,2)，于是(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,1)，(1,1,0)(1,1,1)0，(1,0,1)(1,1,1)0，故，即pb1cp，pb1ca，又cpcac，且cp平面pac，ca平面pac.故直线pb1平面pac.利用向量证明面面垂直例3如图3212，在直三棱柱abca1b1c1中，abbc，abbc2，bb11，e为bb1的中点，求证：平面aec1平面aa1c1c.图3212解由题意得ab，bc，b1b两两垂直，以b为原点，分别以ba，bc，bb1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(2,0,0)，a1(2,0,1)，c(0,2,0)，c1(0,2,1)，e(0,0，)，则(0,0,1)，(2,2,0)，(2,2,1)，(2,0，)设平面aa1c1c的一个法向量为n1(x，y，z)，则令x1，得y1，n1(1,1,0)设平面aec1的一个法向量为n2(x，y，z)，则令z4，得x1，y1.n2(1，1,4)n1n2111(1)040，n1n2.平面aec1平面aa1c1c.变式训练在正方体abcda1b1c1d1中，e为cc1的中点，证明：平面b1ed平面b1bd.证明以da，dc，dd1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则d(0,0,0)，b1(1,1,1)，e(0,1，)，(1,1,1)，(0,1，)，设平面b1de的法向量为n1(x，y，z)，则xyz0且yz0，令z2，n1(1,1，2)同理求得平面b1bd的法向量为n2(1，1,0)，由n1n20，知n1n2，平面b1de平面b1bd.课堂检测1若直线l的方向向量a(1,0,2)，平面的法向量为n(2,0，4)，则()alblcl dl与斜交【解析】n(2,0，4)2(1,0,2)2a，na，l.【答案】b2若平面、的法向量分别为a(2，1,0)，b(1，2,0)，则与的位置关系是()a平行 b垂直c相交但不垂直 d无法确定【解析】ab2200，ab，.【答案】b3设直线l1与l2的方向向量分别为a(1，1，3)，b(2，1，x)，若l1l2，则x()a1b2c3d4【解析】l1l2，ab213x0，x1.【答案】a4正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，在如图3214所示的坐标系下求证：bd1平面acb1.图3214证明如题图a(1,0,0)，c(0,1,0)，b1(1,1,1)，d1(0,0,1)，b(1,1,0)(1，1,1)，(1,1,0)，(0,1,1)由1100，0110bd1ac，bd1ab1，又acab1abd1平面acb1.课堂小结1用空间向量解决立体几何中的垂直问题，主要运用直线的方向向量与平面