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第二章 圆锥曲线与方程 2 1曲线与方程 自主预习学案 在我们的日常生活中 许多物体都呈现出多种多样的曲线 你所熟悉的曲线有哪些 你知道它们有怎样的特性吗 曲线的方程与方程的曲线的定义一般地 在直角坐标系中 如果某曲线c 看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹 上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下的关系 1 曲线上点的坐标都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么 这个方程叫做 这条曲线叫做 曲线的方程 方程的曲线 c c a b 8x2 2x 8y2 4y 5 0 互动探究学案 命题方向1 曲线与方程的概念 c 规范解答 直接法 原说法写成命题形式即 若点m x y 是曲线l上的点 则m点的坐标适合方程f x y 0 其逆否命题即 若m点的坐标不适合方程f x y 0 则m点不在曲线l上 故选c 特值法 作如图所示的曲线l 考查l与方程f x y x2 1 0的关系 显然a b d中的说法全不正确 选c 规律总结 说明曲线c是方程f x y 0的曲线 方程f x y 0是曲线c的方程时 必须严格考察纯粹性和完备性 即 多一点不行 少一点不可 命题方向2 方程的曲线 c 规律总结 判断方程表示什么曲线 必要时要对方程适当变形 变形过程中一定要注意与原方程等价 既不能扩大也不能缩小变量的取值范围 命题方向3 求曲线的方程 规律总结 1 求曲线的方程时 若题设条件中无坐标系 则需要先建立坐标系 建系时 尽量取已知的相互垂直的直线为坐标轴 或利用图形的对称性选轴 或使尽可能多的点落在轴上 求曲线的方程与求轨迹是有区别的 若是求轨迹 则不仅要求出方程 而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形 即说出图形的形状 位置等 2 判断点p是否在曲线c上 只需将点p的坐标代入c的方程 若成立 则p在c上 否则p不在c上 曲线方程与其他数学知识的交汇问题 1 曲线的方程探求中 在给出的条件中刻画条件关系时 常用其他部分的知识来表达 如数列 集合 函数 平面向量等 2 平面向量既有数的特点又有形的特点 因而它与解析几何的联系尤为密切 如平行关系可用向量共线关系来表示 垂直关系可用向量垂直的关系来表示 3 解答此类问题时 只要充分运用诸如向量的数量积 数列等相关概念即可求得 规律总结 求解此类平面向量 曲线方程 数列等多知识点交汇的问题的思路是 先转化 即利用平面向量的坐标表示 去掉平面向量的 外衣 再应用数列的相关公式与性质 转化为关于x y的关系式 最后下结论 解析 根据曲线方程的概念 曲线c的方程是f x y 0 包含 曲线c上的点的坐标都是这个方程f x y 0的解 和 以方程f x y 0的解为坐标的点都在曲线c上 两层含义 b 解析 4x2 y2 6x 3y 2x y 2
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