人教A版选修45 1.1.3三个正数的算术——几何平均不等式(一) 作业.doc

课后导练基础达标1当x0时,求y=x2+的最小值.解析:y=x2+3,且能取“=”,y的最小值为3.答案:3.2在边长为a的正方形铁皮的四个角上剪去同样大小的四个小正方形(如图),然后制成一个长方体容器,则制成的容器的体积的最大值是( )a. b.c. d.解析:设剪下的小正方形边长为x,易见容器的容积是v=(a-2x)2x(0x).v=(a-2x)2x=(a-2x)(a-2x)(4x)3=a3(当且仅当a-2x=4x,即x=时,取“=”),容器容积的最大值是a3.答案:b3用长度分别为2,3,4,5,6(单位:cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为( )a. cm2 b. cm2c. cm2 d.20 cm2解析:令p=,则p=10.由海伦公式s=知s=20.由于等号成立的条件为10-a=10-b=10-c,故“=”不成立,s20.排除c,d.由以上不等式推测,当三边长相等时面积最大,故考虑当a,b,c三边长最接近时面积最大,此时三边长为7,7,6,面积为,故选b.答案:b4已知a,b,cr+,求证:(1)()()9;(2)(a+b+c)(a2+b2+c2)9abc.证明:运用均值不等式得(1)()（）=9;(2)(a+b+c)(a2+b2+c2)=9abc.5设0x0,且p3+q3=2,求证:p+q2.证明:p,q0,p11,q11.p+q=2.原不等式成立.7制造一个能盛放108千克的无盖长方体形水箱,问如何选择尺寸,才能使用料最省?解析:所谓用料最省,是指长方体的表面积最小.设长方体的长,宽为a,b(分米),高为h(分米),易知该水箱的容积为108立方分米,即abh=108,设该水箱的用料面积为s,则s=ab+2(ah+bh)=ab+2ah+2bh=108,即s108(平方分米)(当且仅当ab=2ah=2bh,即a=b=6,h=3时,取“=”).水箱的底面是边长为6分米的正方形,高为3分米时,用料最省.8如果a,b,cr+,求证:3()2().证明:直接运用均值不等式可得,也只能得到0,0,尚不能证出3()2(),因此应该对结论式进行分析,变形,寻找突破口.3()2()c+.考虑到式右边的特点,可联想到应用三个正数的算术平均数不小于其几何平均数,但式左边形式上是两个数相加,因此把它变为三个数相加,即c+=c+=.3()2().9设a,b,c0,求证:(a+b+c)(+)27.证明:a0,b0,c0,即a+b+c3.同理,+3.又式中的“=”成立的条件不同,即“=”不同时成立,得(a+b+c)(+)33=27,即(a+b+c)(+)27.拓展探究10试利用ab(a,b0),证明(a,b,c0).证法一:a,b,c0,a+b,c+2,a+b+c+=.故a+b+c3,即,其中等号当且仅当a=b,c=且=,即a=b=c时成立 .证法二:设a=,由a,b,c0,得a0,且a+b+c=3a,于是a=a4abca,a,即,等号当且仅当a=b,c=a,且,即a=b=c时成立.备选习题11甲,乙两人同时从a地出发走向b地,甲先用的时间以速度p行走,再用的时间以速度q行走,最后用的时间用速度r行走;乙在前的路程用速度p行走,中f间的路程用速度q行走,最后的路程用速度r行走(pqr).问甲,乙两人谁先到达b地,为什么?解析:设a,b两地间的距离为s(s0).甲从a地到b地所用的时间为t1,乙从a地到b地所用时间为t2,由题意,得s=p+q+r,得t1=,而t2=p+q+r=().由均值不等式,得t2=t1(pqr,“=”不成立).t10,由不等式x+2,x+3,启发我们可以得出以下结论:x+n+1(nn*),则a=_.解析:x+=(n+1)=n+1,故a=nn.答案:nn13已知实数x,y满足:xy0且x2y=2,则xy+x2的最小值应是_,取最小值时x=_,y=_.解析:xy+x2=xy+xy+x23=3,xy+x2的最小值为3,此时x=1,y=2.答案:3 1 214已知xy0,求证:x+3.证明:x=(x-y)+y,由xy0,知x-y0,x+=(x-y)+y+3=3,当且仅当x=2,y=1时取“=”.原不等式成立.15已知x,y,z是三角形的三边长,求证:3.证明:x,y,z是三角形的三边长,x+y-z0,x+z-y0,y+z-x0.(y+z-x)+(z+x-y)+(x+y-z)3,3.由得(y+z-x)+(z+x-y)+(x+y-z)33=9,即(x+y+z)()9.(+1)+(+1)+(+1)9.6.3,即原不等式成立.16某地区农民的年总收入:第一年至第二年增长的百分率为m1,第二年至第三年增长的百分率为m2,第三年至第四年增长的百分率为m3，若m1+m2+m3为定