人教A版选修45 3.1二维形式的柯西不等式 教案.docxVIP

3.1二维形式的柯西不等式一、教学目标1认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义2通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题二、课时安排1课时三、教学重点认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义四、教学难点通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题五、教学过程（一）导入新课复习基本不等式。（二）讲授新课教材整理二维形式的柯西不等式内容等号成立的条件代数形式若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)当且仅当 时，等号成立向量形式设，是两个向量，则|当且仅当 ，或，等号成立三角形式设x1，y1，x2，y2r，那么当且仅当时，等号成立（三）重难点精讲题型一、二维柯西不等式的向量形式及应例1已知p，q均为正数，且p3q32.求证：pq2.【精彩点拨】为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量【自主解答】设mp，q，n(p，q)，则p2q2ppqq|mn|m|n|.又(pq)22(p2q2)，p2q2，则(pq)48(pq)又pq0，(pq)38，故pq2.规律总结：使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量同时，要注意向量模的计算公式|a|对数学式子变形的影响再练一题1若本例的条件中，把“p3q32”改为“p2q22”，试判断结论是否仍然成立？【解】设m(p，q)，n(1,1)，则pqp1q1|mn|m|n|.又p2q22.pq2.故仍有结论pq2成立.题型二、运用柯西不等式求最值例2若2x3y1，求4x29y2的最小值【精彩点拨】由2x3y1以及4x29y2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(1212)作为一个因式而解决问题【自主解答】由柯西不等式得(4x29y2)(1212)(2x3y)21.4x29y2，当且仅当2x13y1，即x，y时取等号4x29y2的最小值为.规律总结：1利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果2常用的配凑的技巧有：巧拆常数；重新安排某些项的次序；适当添项；适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的再练一题2若3x4y2，试求x2y2的最小值及最小值点.【解】由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2，得25(x2y2)4.所以x2y2，当且仅当时，“”成立为求最小值点，需解方程组因此，当x，y时，x2y2取得最小值，最小值为，最小值点为.题型三、二维柯西不等式代数形式的应用例3已知|3x4y|5，求证：x2y21.【精彩点拨】探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明【自主解答】由柯西不等式可知(x2y2)(3242)(3x4y)2，所以(x2y2).又因为|3x4y|5，所以1，即x2y21.规律总结：1利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形2变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口再练一题3设a，br且ab2.求证：2.【证明】根据柯西不等式，有(2a)(2b)()2()2(ab)24.2，当且仅当，即ab1时等号成立2.（四）归纳小结二维柯西不等式（五）随堂检测1设x，yr，且2x3y13，则x2y2的最小值为()a. b169 c13 d.0【解析】(2x3y)2(2232)(x2y2)，x2y213.【答案】c2已知a，br，且ab1，则()2的最大值是()a2 b. c6 d.12【解析】()2(11)2(1212)(4a14b1)24(ab)22(412)12，当且仅当，即ab时等号成立故选d.【答案】d3平面向量a，b中，若a(4，3)，|b|1，且ab5，则向量b_.【解析】|a|5，且 |b|1，ab|a|b|，因此，b与a共线，且方向相同，